苏教版八年级数学暑假第04讲线段、角的轴对称性练习(学生版+解析)

第04讲线段、角的轴对称性【学习目标】理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。【基础知识】1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【考点剖析】一．角平分线的性质（共6小题）1．（真题•焦作期末）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤52．（真题•渑池县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（）A．2 B．4 C．6 D．83．（真题•锡山区期末）如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是．4．（真题•石城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长．5．（真题•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为cm2．6．（2022春•丹徒区月考）如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．二．线段垂直平分线的性质（共7小题）7．（真题•高青县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（）A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm8．（真题•江都区期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（）A．40° B．44° C．48° D．52°9．（2022•工业园区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝°；（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．10．（真题•鼓楼区校级月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．11．（真题•梁溪区校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC＝8，求△DAF的周长．12．（2022•建湖县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，则△ACD的周长为cm．13．（2022•宿城区校级开学）如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝．【过关检测】一、单选题1．（2020·江苏八年级月考）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点2．（2021·江苏八年级期中）如图所示，在四边形ABCD中，，于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（）A． B． C． D．3．（2021·江苏八年级专题练习）到三角形三个顶点距离相等的点是（）的交点．A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点4．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（）A． B． C． D．5．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④二、填空题6．（2020·南京市金陵汇文学校八年级开学考试）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=___________°．7．（2021·江苏八年级期中）如图，△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝5，△AEC的周长为12，则AB＝___．8．（2021·江苏八年级期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为_____．9．（2019·江苏）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________．10．（2019·江苏苏州·八年级月考）如图，在中，，O为的两角平分线的交点，且，，，则点O到边AB的距离为__________．三、解答题11．（2018·江苏）作图题：（1）在图1中，画出关于直线的对称图形．（2）在图2中，已知和、两点，在内部找一点，使，且到的两边、的距离相等．12．（2018·苏州市吴江区青云中学八年级月考）作图题：（1）近年来，国家实施农村医疗卫生改革，某县计划在甲村、乙村之间设立一座定点医疗站点，甲、乙两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须符合下列条件：①到两公路、的距离相等；②到甲、乙两村的距离也相等．请确定点的位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）如图，先将向下平移3个单位得到，再以直线为对称轴将翻折得到，请在所给的方格纸中依次作出和．13．（2019·江苏）已知，如图，在△ACB中，∠C=90°．（1）作∠B的平分线BD交AC于点D．（要求尺规作图，保留痕迹）（2）过点D作斜边AB的垂线段，垂足为点E．（要求尺规作图，保留痕迹）（3）求证：CD=ED．第04讲线段、角的轴对称性【学习目标】理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。【基础知识】1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【考点剖析】一．角平分线的性质（共6小题）1．（真题•焦作期末）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤5【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，∴点P到OB的距离为5，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．2．（真题•渑池县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出DE，根据角平分线的性质求出CD．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则AB×DE＝16，即8×DE＝16，解得，DE＝4，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE＝4，故选：B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．（真题•锡山区期末）如图，已知△ABC的周长是10，∠B和∠C的平分线交于P点，过P点作BC的垂线交BC于点D，且PD＝2，则△ABC的面积是10．【分析】过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，由角平分线的性质可求PE＝PF＝PD＝2，结合三角形的周长，利用S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC可求解．【解答】解：过P点分别作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，连接AP，∵∠B和∠C的平分线交于P点，PD⊥BC，∴PE＝PF＝PD＝2，∵△ABC的周长是10，∴AB+BC+AC＝10，∴S△ABC＝S△ABP+S△PBC+S△APC＝10．【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解PE＝PF＝PD＝2是解题的关键．4．（真题•石城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE＝5，求BC的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠2＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案；（2）根据角平分线的性质求出CD，根据含30°的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，∴DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠2＝∠B，∵AD平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵∠C＝90°，∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝5，∴BC＝CD+BD＝15．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5．（真题•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，BC＝7cm，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为14cm2．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出DE＝AD＝4cm，再根据三角形的面积公式求出答案即可．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，对角线BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵AD＝4cm，∴DE＝4cm，∵BC＝7cm，∴S△BCD14（cm2），故答案为：14．【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．6．（2022春•丹徒区月考）如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．【分析】根据角平分线的性质和垂直的定义、三角形内角和，可以得到∠DCE的度数，从而可以证明结论成立．【解答】证明：∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∴∠ABE＝90°，∠AED＝90°，∠4+∠1＝90°，∴∠3+∠6＝90°，∠6+∠5＝90°，∴∠3＝∠5，∴∠4+∠5＝90°，∴∠DCE＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°，∴DC⊥BC．【点评】本题考查三角形内角和、平分线的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．二．线段垂直平分线的性质（共7小题）7．（真题•高青县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（）A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝18（cm），故选：B．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（真题•江都区期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝114°，则∠EAF为（）A．40° B．44° C．48° D．52°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，结合图形计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝114°，则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵EG是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝66°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠EAB+∠FAC）＝114°﹣66°＝48°，故选：C．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．（2022•工业园区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝20°；（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EBA＝∠A＝35°，计算即可；（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝35°，∴∠CBE＝55°﹣35°＝20°，故答案为：20；（2）∵EB＝EA＝3，∴BC2，∴△ABC的面积CA×BC＝4．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．10．（真题•鼓楼区校级月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC＝15，求△AEG的周长．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵GF是线段AC的垂直平分线，∴GA＝GC，∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝15．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．11．（真题•梁溪区校级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠DAF的度数；（2）如果BC＝8，求△DAF的周长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，则利用等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，接着根据三角形内角和计算出∠B+∠C＝75°，然后利用∠DAF＝∠BAC﹣（∠B+∠C）进行计算即可；（2）由于DA＝DB，FA＝FC，则利用等线段代换得到△DAF的周长＝BC．【解答】解：（1）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∵∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝105°﹣75°＝30°；（2）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+CF＝BC＝8．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．12．（2022•建湖县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，若AC＝5cm，BC＝12cm，则△ACD的周长为18cm．【分析】由勾股定理先求解AB的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得CD＝BD，继而可得△ACD的周长为：AC+AB，则可求得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，∴AB（cm），∵DE是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18（cm），故答案为：18．【点评】本题考查的是勾股定理，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．（2022•宿城区校级开学）如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝70°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠B＝30°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，∵∠C＝50°，∴∠EAC＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2020·江苏八年级月考）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．【详解】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．2．（2021·江苏八年级期中）如图所示，在四边形ABCD中，，于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到，再根据垂线段最短即可得出结论．【详解】解：∵，E是BD的中点，∴．又∵于点B，∴AE是斜线段，BE是垂线段．∴AE>BE．∴AE>CE．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，和垂线段最短的定理，正确理解并应用这些知识点是解题关键．3．（2021·江苏八年级专题练习）到三角形三个顶点距离相等的点是（）的交点．A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可判断．【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故选：Ａ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是：掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．4．（2021·江苏泰州中学附属初中八年级月考）如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接DE，如图，利用基本作图得到AE=CE，则DE为斜边AC的中线，所以DE=AE=CE，则∠ADE=∠A=34°，接着证明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性质计算∠BFC的度数．【详解】解：连接DE，如图，由作法得MN垂直平分AC，∴AE=CE，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDE=90°，∵DE为斜边AC的中线，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A=34°，∵BD=CE，∴BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．故选：B．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．5．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【答案】B【分析】证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．【详解】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．二、填空题6．（2020·南京市金陵汇文学校八年级开学考试）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=___________°．【答案】45【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．【详解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，∵∠ADB=90°．∴∠ABC=∠BAD=45°．故答案为：45．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．7．（2021·江苏八年级期中）如图，△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝5，△AEC的周长为12，则AB＝___．【答案】7【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∵△AEC的周长为12，∴AC+AE+EC＝12，∴AC+AE+EB＝AC+AB＝12，∴AB＝12﹣5＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（2021·江苏八年级期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为_____．【答案】24【分析】如图，过点作于，于．证明，求出，即可解决问题．【详解】解：如图，过点作于，于．由作图可知，平分，，，，，，，，故答案为24．【点睛】本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题是解题的关键．9．（2019·江苏）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________．【答案】6【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD=∠CBD，根据角平分线的性质得出AD=DP=6，即可得出选项．【详解】解：∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠C+∠CBD=90°，∵∠A=90°∴∠ABD+∠ADB=90°，∵∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，当DP⊥BC时，DP的长度最小，∵AD⊥AB，∴DP=AD，∵AD=6，∴DP的最小值是6，

故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小是解此题的关键．10．（2019·江苏苏州·八年级月考）如图，在中，，O为的两角平分线的交点，且，，，则点O到边AB的距离为__________．【答案】2．【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到OE＝OD＝OF，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，∵点O为∠ABC与∠CAB的平分线的交