初中数学逆向思维的教学案例

初中数学逆向思维的教学案例【案例背景：】人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维和它的魅力。

有一道趣味题是这样的：有四个相同的瓶子，怎样摆放才能使其中任意两个瓶口的距离都相等呢？可能我们琢磨了很久还找不到答案。那么，办法是什么呢？原来，把三个瓶子放在正三角形的顶点，将第四个瓶子倒过来放在三角形的中心位置，答案就出来了。把第四个瓶子“倒过来”，多么形象的逆向思维啊！一、从正、逆两个方向去理解概念数学概念、定义总是双向的，因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深理解概念的内涵和外延。作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的。因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。如：讲述：“同类二次根式”时明确“化简后被开方数相同的几个二次根式是同类二次根式”。反过来，若两个根式是同类二次根式，则必须在化简后被开方数相同。例1、若与是同类二次根式，求x略解，2x-1=2-x，即x＝1。如：“方程的解”这一概念，它就包含了以下两方面的特征：“凡使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解”与“方程的解，就是使方程左右两边的值相等的未知数的值”。还可以通过下列问题进一步认识方程的解的特征。例2、不解方程，求作一个新方程，使它的根分别是方程x2－6x＋5＝0的两根的2倍。略解，若设所求方程的根y，依题意，y=2x，则x=，因为是已知方程的根，所以（）2－6×+5＝0，即y2－12y＋20=0即为所求方程．例3、已知a≠b，且a2＋3a－7＝0，b2＋3b一7=0，求a2＋b2解：由方程根的定义知，a、b是方程x2＋3x－7=0的两根，∴a＋b＝－3，ah=一7，∴a2＋b2=（a＋b）2-2ab=23。二、加强公式逆向应用的训练数学中的公式都具有双向性。正向运用它们的同时，加强公式的逆向应用训练，不仅可以加深学生对公式的理解的掌握，培养学生灵活运用公式的能力，还可以培养学生的双向思维能力。例4、设a、b、c、d均为实数，且ad－bc=1，＝l，求abcd的值。分析：由第二个等式联想到用完全平方公式．由已知得，即：即得a＝b=d＝－c，而ad－bc=l，可得=，从而得abcd=一=-三、逆用运算法则的训练数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如：加法和减法、乘法和除法、乘方和开方都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系。而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念，减法可以转化为加法，利用倒数的概念，除法可以转化为乘法。例5、计算，有些学生竟然对它进行通分，却不会逆用分式的减法法则作变形。解：原式＝例6、已知：，，求：的值.分析：该题将同底数幂除法法则逆用后得到结果。解：原式.四、定理教学中逆向思维的训练不是所有的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且能激发学生去探索新的知识。勾股定理、一元二次方程根的判别式定理、韦达定理的逆定理都是存在的，应用也十分广泛。例7、设、、满足，求：的取值范围。解：原方程组变形得：，根据韦达定理的逆定理可知：、为关于的一元二次方程的两根，的取值范围为：。五、加强执果索因的思维方法训练（即分析法训练）分析法是执果索因，综合法是由因导果。在研究问题时，往往兼用这两种思维方法，从分析中得到思路，用综合法严谨地表述解题过程。这样可促进双向思维的培养，也可简化思维过程。例8、已知a，b，c，d均为正数，求证，即证明就是要证，找到证题起点。、已知p＞0,q＞0且＝2，求证p＋q≤2，即证：显然成立。六、加强从反面思考的思维方式训练（一）加强反证法训练反证法是一种间接证法，当某些数学问题用直接证法相当困难时，常常被采用的证法。它是从待证结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证结论的反面，肯定待证的结论。加强反证法的训练是促进学生逆向思维逐步形成的必要措施．例10、取什么实数时，抛物线的顶点不在第四象限？［分析］抛物线的顶点“不在第四象限”，所指的范围很广，可以在第一象限、第二象限、第三象限，还可以在坐标轴上。如果对上述各种情况逐一讨论，在各种情况下求出的集合，再取其并集，可见其讨论范围之大。若反过来，从问题的反面考虑，直接求出抛物线的顶点在第四象限时的集合，再取其补集，显然简便得多。解：令抛物线的顶点在第四象限，由顶点坐标公式得：解这个不等式得：．可知，当时，抛物线的顶点在第四象限。所以，当≤2或≥4时，抛物线的顶点不在第四象限。例11、若关于的方程至多有一个负根，求的取值范围。分析：逆向思维，用反证法，“一元二次方程至多一个负根”的反面就是“两个根都是负根”，由此下手，此题可解。解：假设两个根都是负根，则必须满足下列不等式组：解得：，∴的取值范围为。（二）加强举反例训练用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，只要举出一个满足命题的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题，这样的例子就是通常意义下的反例。学会构造反倒不仅对加深记忆，深入理解定义、定理或公式等起着重要的作用，同时它也是纠正错误的常用方法，是培养逆向思维能力的重要手段。例如：命题“若两多边形的对应边成比例，则必相似”，只需举一个菱形或一个正方形即可判其为假命题。说明“一组对边平行，一组对边相等的四边形为平行四边形”为假命题，只需举一个等腰梯形即可。七、编排逆向训练的习题为了训练学生的逆向思维，在教学中，可有意识地编排顺逆双向配对的练习题供学生训练。学生通过练习，可以逐步养成逆向思维的习惯，提高逆向思维的能力。总之，在初中数学教学中，确保学生具备丰富而扎实的“双基”知识的前提下，量力而行；有意识地对