电路分析 第九章-正弦稳态功率和能量

1§9-1基本概念§9-4单口网络的平均功率功率因数§9-5单口网络的无功功率和视在功率§9-7正弦稳态最大功率传递定理§9-2电阻的平均功率§9-3电感、电容的平均储能第九章正弦稳态功率和能量2第9章正弦稳态功率和能量学习目的：掌握正弦稳态电路的功率计算。学习重点：计算平均功率、无功功率、视在功率、功率因数。学习难点：负载获得最大功率。关键词：功率、功率因数。3

若在dt时间内，由a点转移到b点的正电荷为dq，且由a到b为电压降u，则正电荷失去的能量，即ab段电路消耗或吸收的能量为

dw=u•dq

p(t)>0时，电路吸收功率

p(t)<0时，电路放出功率1.能量瞬时功率

p(t)=dw/dt=udq/dt=uiiu+–ab在关联参考方向下§9-1基本概念2.功率N0+–i(t)u(t)4

R:p

=

u·i=i2R>

0耗能元件L、C:p

>0吸收功率

p

<0释放功率

储能元件w(t)

=∫t0p(t

)dt消耗或吸收的能量为3.元件功率51.瞬时功率+u

i设：u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos

t

p(t)

=

u·i

=

Umcos

t

Imcos

t

=

UmImcos2(

t

)UmIm[cos(2

t)+1]=12(2)

p

>

0，电阻消耗能量。

(1)

p

随时间变化按正弦规律变化，变化的角频率为2

，是电压或电流角频率的2倍。

0

tipuu·i·pπ2π§9-2电阻的平均功率结论：62.平均功率(有功功率）

P

=T1∫T0UmIm12UmIm[cos(2

t)＋1]dt12=P

=

I2RR

U2P

=电阻平均功率的大小与电流的频率及初相角无关！进一步：71p(t)

=

Umcos

t

Imsin

t

=2UmImsin2

t

0

tipuu·i·pπ2π

A.p按正弦规律变化，变化的角频率为电压或电流角频率的两倍。

B.p>0吸收功率；p<0放出功率。P

=

0，

不消耗电能

(2)平均功率结论：-

+uiL设:u(t)

=

Umcos

ti(t)

=

Imcos(

t–90º)§9-3电感、电容的平均储能1.电感元件（1）瞬时功率

8（4）贮能w(t)=12Li2(t)=12LIm2sin2

t

=14LIm2(1-cos2

t

)LIm2

=14LIm2cos2

t

14平均贮能：LIm2=WL

=14LI212(3)瞬时功率的最大值—无功功率：无功功率QL反映了电感与电源之间能量交换的规模。单位为乏尔(var)

。QL

=

UI

=LI2=2WL无功功率又可表示为：i(t)

=

Imcos(

t–90º)9（1）瞬时功率

A.p按正弦规律变化，变化的角频率为电压或电流角频率的两倍

B.p>0吸收功率；P<0放出功率P

=

0不消耗电能

(2)平均功率21p(t)

=

–

Umcos

t

Imsin

t

=–UmImsin2

t

UIsin2

t

=–2.电容元件设:i(t)

=

Imcos(

t–90º)u(t)

=

Umcos(

t–180º)-

+uiC0

tipuu·i·pπ2π结论：10(3)瞬时功率的最大值—无功功率（4）贮能平均贮能：瞬时能量QC

=–

UI

=–

CU2=–2WC无功功率又可表示为：u(t)

=

Umcos(

t–180º)无功功率QC反映了电容与电源之间能量交换的规模。单位为乏尔(var)

。11

单一参数的交流电路小结元件类型瞬时值关系

大小关系

相量关系

功率纯电阻元件URm=RIRm

UR=RIR

UR=RIRP=IRUR=RIR2Q=0纯电感元件ULm=XLILm

UL=XLILXL=

LQ=ILUL=XLI2P=0纯电容元件UCm=

XCICmUC=XCIC

XC=1/

CQ=–ICUC=–

XCI2P=0uR=iRR12§9-4单口网络的平均功率功率因数设u(t)=Umcos(

t+

u)i(t)=Imcos(

t+

i)p(t)=UmImcos(

t+

u)cos(

t+

i)UmIm[cos(

u-

i)+cos(2

t+

u+

i)]21=UmImcos(

u-

i)+UmImcos(2

t+

u+

i)2121=N0

i(t)电源+u(t)

一.瞬时功率2cos

cos

=cos(

-

)+cos(

+

)N0

为不含独立源的网络电压与电流之间的相位差(阻抗角)

j=

u–

i13u·i·p0

tipuπ2π二.平均功率P=T1pdt∫T0一.瞬时功率P

=

∑PKnK=1根据功率守恒：j

：功率因数角=cosj：功率因数物理含义？14例：求单口网络的功率因数和平均功率。已知：I•j43

+–U

•I1•I2•–j5解：平均功率：或：15

在无独立源的单口网络交流电路中，可将电路等效为RLC的串联。I•U•UR•UL•

UC•UL•UC•相量图§9-5单口网络的无功功率和视在功率UX•由相量图：UX=UL–UCUXI=ULI–UCIQ=QL+QC一.无功功率QL=ULIQC＝–UCIUURUX–jXCRjXL–

+–

+–

+–

+UIURIUXI电压的有功分量有功功率无功功率

16电压三角形功率三角形§9-5单口网络的无功功率和视在功率S2=P2+Q2S=UIQ=UXIP=URI

视在功率：S=UI

（单位：伏安）Q

=

UIsinj

UURUX一.无功功率Q=QL+QC二.视在功率视在功率反映电源设备的容量17功率小结：1.平均功率(W):功率因数角、阻抗角、电压与电流的相位差电阻上消耗的功率之和S=UIQ=UXIP=URI

P

=

∑PKnK=1功率因数18功率小结：3.视在功率Q=QL+QC电感与电容无功功率的代数和2.无功功率(var)

S=UI

（伏安）S=UIQ=UXIP=URI

Q

=

UIsinj电感取正，电容取负。视在功率反映电源设备的容量。Q

=

∑QKnK=119解:

例1.

R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30

、L=127mH、C=40F，。求：(1)电流

i及电压uR，uL，uC；(2)功率P和Q。V)20314cos(2220o+=tu–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+A)73°314cos(24.4+=ti(1)20V)73°314cos(2132+=tuRV)163°314cos(2176+=tuLV)17°314cos(2352-=tuC（2）电路为电容性–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+求：(1)电流

i及电压uR，uL，uC；(2)功率P和Q。21

例2.试求电路中的平均功率P,无功功率Q，视在功率S

及功率因数cos

，已知：=1000ºV。U•解：Z=(3+j4)(–j2)3+j4–j2–6j+83+j2=10

–36.87º3.6

33.69º==2.78

–

70.56º

I=UZ••=1000º2.78

–

70.56º=36

70.56ºAP=UIcos

=100×36cos(0º–

70.56º)=1200WQ=UIsin

=100×36sin(0º–

70.56º)=–3400varS=UI=100×36=3600V·Acos

=cos(0º–70.56º)=0.33I•j43

+–U

•I1•I2•–j222

例3.电路如图所示，

V。

（1）求200

负载的功率P；

（2）求电源右侧电路功率因数l；

（3）求100

电阻上消耗的功率；

2H200

+us–100

j400

Ri·RL200

+Us–100

I·23·15I

=1000˚300

+

j400=1000˚500

53.1˚=(–53.1)˚A

P200Ω

=

I2RL

=

(

15)2

200

=

8W(2)l

=

cos(

u

–

i)

=

cos53.1˚

=

0.6(电压超前电流)(3)P100Ω

=

I2Ri

=

(

15)2

100

=

4W解：(1)US

=

1000˚V·j400

Ri·RL200

+Us–100

I·(1)求200

负载的功率P

；(2)求电源右侧电路功率因数l；(3)求100

电阻上消耗的功率.24例4.图示电路中电压源在

=400rad/s和超前功率因数0.8之下供电（即电流超前电压）,消耗在电阻上的功率是100W，试确定R和C的值。解：cosj=0.8j=–arccos0.8=–36.87°

R2

+

(

C1)2UI

=

RC1=

0.751j

C1

CR1=

R2

+

(

C)2Z

=

R

+

arctg(–)tg(–36.87˚)

=

–0.75Rj

C1I·+U

=

1000˚V–·RC1=

0.75

400

=

30025R2

+

(

C1)2U2P

=

I2R

=

R=

2C2RU21

+

2C2R2=

100=

100－－－(2)

2C2RU21

+

2C2R2

=

300－－－－－－(1)RC1300C1300

52.08

10-6

=R

=1

=

643001代入(2)C

=

52.08mF

RC

=Rj

C1I·+U

=

1000˚V–·26功率因数低引起的问题平均功率

P=UNIN

cos

功率因数(1)电源设备的容量不能充分利用(2)增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在P、U一定的情况下，cos

越低，I越大，损耗越大。情况下，cos

越低，P越小，设备得不到充分利用。P=UIcos

电压与电流的相位差、阻抗角、功率因数角在电源设备UN、IN一定的三.提高功率因数1.提高功率因数的意义27提高功率因数的方法+–uiiRLLRCiCI

•IC•IRL•U

•

1

电路功率因数低的原因

并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了整个电路的功率因数。同时总电流减小。通常是由于存在电感性负载将适当的电容与电感性负载并联因

<

1

故

cos

>cos

12、提高功率因数cos

的方法28例5.设有一台220V、50Hz、50kW的感应电动机，功率因数为0.5。求：(1)电源供应的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数为0.9，所需电容是多大，此时电源提供的电流是多少？解：（1）PL=UIL

cos

L

+–uiLPL=50kWiCiCQL=UIL

sin

L=2204550.866=86.7kvarcos

L=0.5

L=6029例5.设有一台220V、50Hz、50kW的感应电动机，功率因数为0.5（1）电源供应的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数为0.9，所需电容是多大，此时电源提供的电流是多少？+–uiLPL=50kWiCiC（2）并联电容后，电源提供的无功功率解：cos

=0.9

=25.84由QC

=–

CU2P=UIcos

30作业P-105习题94，96，910，914

31§9-7正弦稳态最大功率传递定理

Z0ZLI·+UOC-·+UL-·求负载获得最大功率的条件设UOC、Z0不变，ZL可变，·(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可变Z0+ZL

UOC(R0

+

RL)

+

j(X0

+

XL)

=I

=

UOC···=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(-arctgR0+RL)X0+XL32(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC2

RLPL=I2RL=当X=X0+XL=0时，分母最小，PL最大(R0

+

RL)2

UOC2

RLPL

=dPL(R0+RL)2–2RL(R0+RL)=0dRL=UOC2(R0+RL)4(R0

+

RL)2

–

2RL(R0

+

RL)

=

0R0

+

RL

–

2RL

=

0RL

=

R0负载获得最大功率的条件：共轭匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0Z0ZLI·+UOC-·+UL-·=(R0+RL)2+(X0+XL)2

UOC(-arctgR0+RL)X0+XL33(R0

+

RL

)2

UOC2

RL

=PLmax

=4R0

UOC2PLmax

=4R0

UOC2获得的最大功率Z0ZLI·+UOC-·+UL-·负载获得最大功率的条件：共轭匹配:RL=R0

XL=–X0*ZL

=

Z0(1)ZL=RL+jXL

RL和XL都可变34(R0+RL)2+X02

UOC2

RLPL=(2)负载为纯电阻ZL=RLdPL(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)dRL=[(R0+RL)2+X02]2UOC2=0(R0+RL)2+X02–2RL(R0+RL)=0R02+2R0RL+RL2+X02–2R0RL–2RL2=0R02–RL2+X02=0RL2=R02+X02RL=R02+X02=

Z0

模匹配PLmax=I2RLZ0ZLI·+UOC-·+UL-·35

(3)负载ZL的阻抗角固定而模可改变

ZL

=

R02

+

X02=

Z0

模匹配阻抗三角形XL

RL

ZLZL=RL

+

jXL=|ZL|∠j

在这种情况下，可以证明，负载获得最大功率的条件为：负载阻抗的模应与电源内阻抗的模相等，称为模匹配。

在这种情况下，负载所获得的最大功率并非为可能获得的最大值。如果负载阻抗的阻抗角也可调节，还能使负载得到更大一些的功率。Z0ZLI·+UOC-·+UL-·36负载获得最大功率的条件ZL=RL+jXL

RL和XL都可变*ZL

=

Z0负载为纯电阻

RLPLmax=I2RLZL的阻抗角固定而模可改变模匹配PLmax=I2RL模匹配共轭匹配37例1：电路如图，求（1）获得最大功率时ZL为何值？（2）最大功率值；（3）若ZL为纯电阻，ZL获得的最大功率。解：用戴维南定理求=

2

+

j2

=

2245˚k

（1）ZL

=

2

–

j2k

时获得最大功率ZL2120˚mAj4K2K2K(2

+

2)

103

j4

103(2

+