高中数学必修3第三章概率

第三章概率

§1随机事件的概率

1.1频率与概率

学习目标1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性（重点）.2.正确理解概

率的含义，理解频率与概率的区别与联系（重点）.3.会初步列举出重复试验的结果

（重、难点）.

|课前预习：自主学习，积淀基础

预习教材PU9-123完成下列问题：

知识点1必然事件'不可能事件与随机事件

事件类型定义

在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件，

必然事件

简称必然事件

在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事

不可能事件

件，简称不可能事件

必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定

确定事件

事件

在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的

随机事件

随机事件，简称随机事件

确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母A，8，C，……

事件

表示

【预习评价】

随机事件概念中的“在条件S下能否去掉？”

提示不能，事件是试验的结果，而在不同条件下试验的结果往往是不一样的.

如常温下水是液态的，能流动，若在零下10°C,就是不可能事件，在零上5°C,

就是必然事件.

知识点2随机事件的频率

1.随机试验

(1)试验可以在相同的条件下重复进行；

(2)试验的结果都明确可知，但不止一种；

⑶每次试验总是出现这些结果中的一种，但在一次试验之前却不能确定这次试

验会出现哪一种结果.

称这样的试验是一种随机试验，简称试验.

2.随机事件的频率

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称〃次试验中事

件A出现的次数〃人为事件A出现的频数，称事件A出现的比例启4)=詈为事件

A出现的频率.

【预习评价】

两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币100次，得到正面向上的频率一定相

同吗？

提示不一定相同.

知识点3随机事件的概率

对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率以A)随着试验次数的增加稳定

在某个常数上，把这个常数记作P(A)，则P(A)称为事件A的概率，简称为A的

概率.

【预习评价】

1.频率就是概率，这种说法正确吗？

提示这种说法不正确，频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随

机的；而概率是一个确定的值，通常通过大量的重复的试验，用随机事件发生的

频率作为它的概率的估计值.

2.(1)天气预报中“明天北京降水的概率是60%,上海降水的概率是70%”，有

没有可能北京降雨了，上海没有降雨？试从概率的角度加以分析.

⑵连续掷硬币100次，结果100次全部是正面朝上，出现这样的结果，你会怎

么想？原因何在？

提示⑴“降水的概率”说明了北京与上海降雨这个随机事件发生的可能性.上

海降雨的可能性比北京大，并不能说北京降雨了，上海就一定降雨，完全有可能

北京降雨，而上海没有降雨.

(2)出现这样的情况，我们可以认为该硬币的质地是不均匀的，如果抛硬币试验

中，该硬币是质地均匀的，则出现正面朝上和出现反面朝上的机率是一样的，即

出现正面向上与出现反面向上的次数不会相差太大.

I课堂互和一题型剖析；:互动探究

题型一必然事件'不可能事件与随机事件的判断

【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：

(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；

(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；

(3)若xGR，则f+12；

(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫

画书.

解(1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件.

(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件.

(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.

规律方法要判断事件是何种事件，首先要看清条件，因为事件都是相对于一定

条件而言的，然后看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.一定发

生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.

【训练1】下列事件中的随机事件为()

A.若a，8，c都是实数，则a(bc)={ab)c

B,没有水和空气，人也可以生存下去

C.抛掷一枚硬币，反面向上

D.在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾

解析A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a,b,c是恒成立的，故A

是必然事件.在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可

能事件.抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面

向上，故C是随机事件.在标准大气压的条件下，只有温度达到100C,水才会

沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件.

答案c

题型二试验与重复试验的结果分析

[例2]下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果.

（1）抛掷两枚质地均匀的硬币；

⑵从集合A=仅，人，c，町中任取3个元素组成集合A的子集.

解（1）一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次"，试验的可能结果有4

个：（正，反），（正，正），（反，反），（反，正）.

⑵一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试

验的结果共有4个：{a,b,c},{a,b,d],{a,c,d],{b,c,d].

规律方法1.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一

些事件，指出试验结果，这是求概率的基础.

2.在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据

日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏.

【训练2】袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试

验的条件和结果.

（1）从中任取1球；（2）从中任取2球.

解⑴条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑4种.

（2）条件为：从袋中任取2球.若记（红，白）表示一次试验中取出的是红球与白球,

结果为：（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）6种.

互动

题型三频率与概率的关系及求法

探究

【探究1】给出下列三个命题，其中正确的命题有个.

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②

3

做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是条③随机事

件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.

解析①错，不一定是10件次品；②错，]是频率而非概率；③错，频率不等于

概率，这是两个不同的概念.

答案0

【探究2]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，

有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，

则这批米内夹谷约为()

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

OR

解析因为样品中米内夹谷的比为翁，所以这批米内夹谷为1534X翁

弋169(石).

答案B

【探究3】某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所

示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机(

铅笔《可乐

会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，\

下表是活动进行中的一组统计数据.又一V

转动转盘的次数〃1001502005008001000

落在“铅笔”区域的次

68111136345564701

数m

落在“铅笔”区域的频

率%

n

(1)计算并完成表格;

(2)请估计，当〃很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？

(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？

解⑴

转动转盘的次数〃1001502005008001000

落在“铅笔”区域的次数〃268111136345564701

落在“铅笔”区域的频率?0.680.740.680.690.7050.701

⑵当〃很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近07

(3)获得铅笔的概率约是07

规律方法1.频率是事件A发生的次数也与试验总次数〃的比值，利用此公式可

求出它们的频率.频率本身是随机变量，当〃很大时，频率总是在一个稳定值附

近摆动，这个稳定值就是概率.

2.解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概

率.

|课堂反馈，自主反馈，检测成效

课堂达标

1.下列事件：①明天下雨；②3〉2；③某国发射航天飞机成功；④xGR，/+2

<0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给xWR，x+2=0.

其中随机事件的个数为（）

A.lB.2

C.3D.4

解析①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件.

答案D

2.从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是（）

A.3人都是男生B.至少有1名男生

C.3人都是女生D.至少有1名女生

解析由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生.

答案B

3.从装有3个红球、2个绿球的袋子中任取两个小球，这两个小球都是绿色的.

这一事件是事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）.

解析因为取到的两个小球可能都是红球，也可能是一个红球和一个绿球或两个

都是绿球，故“两个小球都是绿色的”这一事件可能发生，也可能不发生，所以

是随机事件.

答案随机

4.从100个同类产品（其中有2个次品）中任取3个.

①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤

至少一个次品；⑥至少一个正品.

其中必然事件是，不可能事件是，

随机事件是.

解析从100个产品（其中2个次品）中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，

“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”.

答案⑥④①②③⑤

5.为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10

分.然后作了统计，下表是统计结果.

贫困地区：

参加测试的人数3050100200500800

得60分以上的人数162752104256402

得60分以上的频率

发达地区:

参加测试的人数3050100200500800

得60分以上的人数172956111276440

得60分以上的频率

（1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率;

（2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率.

解（1）贫困地区：

参加测试的人数3050100200500800

得60分以上的人数162752104256402

得60分以上的频率0.5330.5400.5200.5200.5120.503

发达地区:

参加测试的人数3050100200500800

得60分以上的人数172956111276440

得60分以上的频率0.5670.5800.5600.5550.5520.550

（2）随着测试人数增加，贫困地区和发达地区得60分以上的频率逐渐趋于0.5和

0.55,故概率分别为0.5和0.55.

课堂小结

1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判

断是一定发生（必然事件），还是不一定发生（随机事件），还是一定不发生（不可能

事件）.

2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情

况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算

事件发生的频率去估算概率.

3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依

次”“顺序”“放回”“不放回”等.

|课后作业强化训练，巩固提升

基础过关

1.下列事件中，是随机事件的有（）

①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；

②若。为整数，则为整数；

③发射一颗炮弹，命中目标；

④检查流水线上一件产品是合格品.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析当a为整数时，a+1一定为整数，是必然事件，其余3个均为随机事件.

答案C

2.下列事件中，不可能事件为（）

A.三角形内角和为180°

B.三角形中大边对大角，大角对大边

C.锐角三角形中两个内角和小于90°

D.三角形中任意两边的和大于第三边

解析若两内角的和小于90。，则第三个内角必大于90。，故不是锐角三角形，

，C为不可能事件，而A,B,D均为必然事件.

答案C

3.下列说法正确的是（）

A.一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是去

B.一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上

C.某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元

的回报

D.大量试验后，可以用频率近似估计概率

解析注意频率与概率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键.A的结果是

频率，不是概率；B,C都没有正确理解概率的含义，D正确.

答案D

4.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么大约进行了

次试验.

解析设进行了〃次试验，则有¥=0.02,得〃=500,故进行了500次试验.

答案500

5.某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1〜5进行了标记，

投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：

落在桌面的数字12345

频数3218151322

则落在桌面的数字不小于4的频率为.

解析落在桌面的数字不小于4,即4,5的频数共13+22=35.所以频率为祸35=

0.35.

答案0.35

6.一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球.从中先后取出2个球，共有

多少种不同的结果？

解方法一从袋中先后取出2个球，如记（红，白）表示从袋中先取出红球，再

取出白球，则所有的结果为：

红白黄黑

红（红，白）（红，黄）（红，黑）

白（白，红）一（白，黄）（白，黑）

黄（黄，红）（黄，白）（黄，黑）

黑（黑，红）（黑，白）（黑，黄）

共有12种不同的结果.

方法二如图.

白红

红黄黄

黑黑

红红

黄白白

黑黄

果.

的结

不同

12种

共有

，根

鱼苗

13尾

出85

能孵

鱼卵

00个

，100

孵化

人工

鱼的

某种

实行

验厂

产试

某水

7.

问题：

答下列

定义解

的统计

据概率

率)；

(孵化

化概率

卵的孵

这种鱼

(1)求

苗？

少尾鱼

化多

能孵

大约

鱼卵

00个

(2)300

卵？

个鱼

多少

得备

，大概

鱼苗

00尾

化50

(3)要孵

1a

oc

.

化概率

似的蜉

它为近

13,

0.85

而=

率为而

孵化频

鱼卵的

1)这种

解(

I

Sc

539,

=25

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000

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孵化x

(2)设能

鱼苗.

39尾

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