2024年高中数学专题1-3重难点题型培优精讲集合间的基本关系教师版新人教A版必修第一册

集合间的基本关系1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念假如集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念【题型1子集、真子集的概念】【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是推断A⊆B的常用方法．②不能简洁地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的全部元素．③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.【例1】（2024•新疆模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个【解题思路】化简集合A，再求子集个数即可．【解答过程】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，∴A的子集共有23＝8，故选：C．【变式1-1】（2024•新疆模拟）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．7个【解题思路】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集个数．【解答过程】解：∵A＝{x|x2＜3，x∈N}＝{0，1}，∴A有22﹣1个真子集，即3个真子集．故选：C．【变式1-2】（2024春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（）A．A62 B．C62 C．6【解题思路】有2个元素，相当于从6个数中随机抽取2个．【解答过程】解：从6个数中随机选取2个，即为C6故选：B．【变式1-3】（2024秋•尚志市校级月考）已知集合A={xA．5个 B．6个 C．7个 D．8个【解题思路】解出集合A，再由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．【解答过程】解：已知集合A＝{x∈N|86-x∈N}＝{2，4，5}，则集合A真子集的个数为23故选：C．【题型2集合的相等与空集】【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2024秋•新余期末）下列集合与集合A＝{2024，1}相等的是（）A．（1，2024） B．{（x，y）|x＝2024，y＝1} C．{x|x2﹣2024x+2024＝0} D．{（2024，1）}【解题思路】利用集合相等的定义干脆推断．【解答过程】解：对于A，（1，2024）≠{2024，1}，故A错误；对于B，{（x，y）|x＝2024，y＝1}≠{2024，1}，故B错误；对于C，{x|x2﹣2024x+2024＝0}＝{2024，1}，故C正确；对于D，{（2024，1）}≠{2024，1}，故D错误．故选：C．【变式2-1】（2024秋•大姚县校级期中）下列四个集合中，是空集的是（）A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4}【解题思路】空集的定义：无任何元素的集合，即可得出结论．【解答过程】解：空集的定义：无任何元素的集合，选项B是空集．故选：B．【变式2-2】（2024秋•西宁期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解题思路】由P＝Q，求出a，b的值，再计算a﹣b的值．【解答过程】解：∵P＝Q，∴a=-1∴a﹣b＝0，故选：C．【变式2-3】（2024秋•海安市期中）设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【解题思路】由集合元素的互异性，可求出结果．【解答过程】解：∵集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，且P＝Q，∴﹣b＝1，a＝﹣1，∴a+b＝﹣2，故选：A．【题型3集合间关系的推断】【方法点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来推断两集合之间的关系．②元素特征法：依据集合中元素满足的性质特征之间的关系推断．③图示法：利用数轴或Venn图推断两集合间的关系．【例3】（2024春•麒麟区校级期中）已知集合M={y|y=2x+1A．M＝N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N＝ϕ【解题思路】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可．【解答过程】解：因为集合M＝{y|y=2x+13，x∈集合N＝{y|y=23x﹣1，x∈Z}＝{y|y=2x-3即M＝N．故选：A．【变式3-1】（2024•河南模拟）已知集合M={xA．N⊆M B．M⊆N C．M＝N D．M∩N＝∅【解题思路】将两集合中的元素满足的条件化归统一即可推断．【解答过程】解：∵M={x|x=kπ4+π2，k∈Z}={故选A．【变式3-2】（2024•广西模拟）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，则下列关系正确的是（）A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B＝∅【解题思路】依据集合A中的随意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，推断即可．【解答过程】解：∵A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，∴B⊆A，故选：C．【变式3-3】（2024•兴庆区校级三模）下面五个式子中：①a⊆{a}；②∅⊆{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}⊆{a}；⑤a∈{b，c，a}．正确的有（）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【解题思路】依据“∈”用于元素与集合；“⊆”用于集合与集合间；∅是不含任何元素的集合且是随意集合的子集，可推断式子正误．【解答过程】解：①a是集合{a}中的元素，应表示为a∈{a}，故①错误，②∅是不含任何元素的集合且是随意集合的子集，所以∅⊆{a}，故②正确，③“∈”用于元素与集合，故③错误，④随意非空集合是其本身的真子集，所以{a}⊆{a}，故④正确，⑤元素a属于集合{b，c，a}，故⑤正确，故正确的有②④⑤．故选：A．【题型4有限集合子集、真子集的确定】【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，依据子集所含元素的个数依次写出．③留意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．【例4】（2024秋•兰山区校级期中）满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．15个【解题思路】利用真子集、子集的定义，结合列举法能求出结果．【解答过程】解：满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M有：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，[2，3}，{1，2，3}，共7个．故选：B．【变式4-1】（2024秋•渝中区校级月考）已知{1，3}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】A是至少含有1和3这2个元素是本题的关键．【解答过程】解：A＝{1，3}或A＝{1，3，2}或A＝{1，3，4}或A＝{1，3，5}或A＝{1，3，2，4}或A＝{1，3，2，5}或A＝{1，3，4，5}．故选：C．【变式4-2】（2024秋•开福区校级期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，则符合条件的实数a的值共（）A．1个 B．2个 C．3个 D．多数个【解题思路】求解集合T＝{1，﹣1}，由S⊆T，分S＝∅和S≠∅两种状况，分别求解．【解答过程】解：集合T＝{x|x2﹣1＝0}＝{1，﹣1}，因为S⊆T，所以当S＝∅时，a＝0，符合题意；当S≠∅时，由ax＝1得x=1所以1a=1或解得a＝1或﹣1，所以符合条件的a有3个，故选：C．【变式4-3】（2024•青岛开学）已知集合A＝{a1，a2，a3}的全部非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3＝（）A．1 B．2 C．3 D．6【解题思路】由题意知集合A＝{a1，a2，a3}的全部非空真子集可以分为二类，从而求和知3（a1+a2+a3）＝9，即可解得．【解答过程】解：集合A＝{a1，a2，a3}的全部非空真子集可以分为二类，集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有一个元素，分别为{a1}，{a2}，{a3}，集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有两个元素，分别为{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，则3（a1+a2+a3）＝9，故a1+a2+a3＝3，故选：C．【题型5利用集合间的关系求参数】【方法点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应留意端点处是实点还是虚点．②当集合为不连续数集时，常依据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应留意分类探讨思想的运用．【例5】（2024•葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A．{1} B．{3} C．{1，﹣1} D．{3，【解题思路】若B⊆A，则m2＝1，即可求解满足条件的m【解答过程】解：∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则m2＝1∴m＝1或m＝﹣1实数m的取值集合为{1，﹣1}故选：C．【变式5-1】（2024秋•舒城县校级期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（）A．13或-12 B．-13或12【解题思路】先求出A＝{﹣3，2}，依据B⊆A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅，从而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．【解答过程】解：A＝{﹣3，2}；∵B⊆A；∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅；∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；∴a=-1故选：D．【变式5-2】（2024•佛山模拟）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【解题思路】由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A，B，依据B⊆A，可得参数a的取值范围．【解答过程】解：集合A＝{x|x＞3或x＜1}，集合B＝{x|x＜a}，由B⊆A，可得a≤1，故选：D．【变式5-3】（2024秋•眉山期末）设集合A＝{x|0＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤2024} C．{a|a≥2024} D．{a|0＜a＜2024}【解题思路】依据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．【解答过程】集合A＝{x|0＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，因为A⊆B，所以a≥2024；故选：C．【题型6集合间关系中的新定义问题】【方法点拨】依据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合间的关系，进行转化求解即可.【例6】（2024•衡水模拟）定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（）A．12 B．14 C．15 D．16【解题思路】先求出集合A★B，由此能求出集合A★B的非空真子集的个数．【解答过程】解：∵A★B＝{2，3，4，6}，∴集合A★B的非空真子集的个数为24﹣2＝14．故选：B．【变式6-1】（2024秋•和平区校级月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【解题思路】依据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．【解答过程】解：依据题意得，P*Q的元素个数为C3∴P*Q的真子集个数为26﹣1＝63个．故选：B．【变式6-2】（2024秋•西乡塘区校级月考）定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（）A．7 B．8 C．15 D．16【解题思路】先依据定义求出集合A*B，再利用集合的非空子集个数公式2n﹣1，即可求出结果．【解答过程】解：若x＝0，不论y取何值，则ω＝0，若x＝1，y＝2，则ω＝1×2（1+2）＝6，若x＝1，y＝3，则ω＝1×3（1+3）＝12，所以A*B＝{0，6，12}，所以A*B的非空子集个数是23﹣1＝7，故选：A．【变式6-3】（2024秋•同安区校级月考）对于随意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（）A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣1【解题思路】由所给的定义，对a※b＝16，a∈N*，b∈N*进行分类探讨，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两类进行探讨，确定出元素的个数即可求出集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个