高中数学-《基本不等式》第一课时教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

一、教学三维目标

《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不

等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课

标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教

学目标确定为：

1、知识与能力目标：

理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；

培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：

在利用赵爽弦图和折纸游戏进行推导重要不等式和基本不等式

的过程中，按照创设情景，提出问题一剖析归纳证明一几何解释一

应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、

归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学

概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基

本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：.

通过对赵爽弦图的了解渗透数学文化，通过折纸游戏和情景剧场

的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看

世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的

良好品质；在学习过程中感受不等式证明的严谨性，从而培养严谨的

学习态度。

通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃

认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学

的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重难点

1、教学重点为：1.运用“实验（几何）一一猜想（代数）一一

证明一一结论（定理、概念）一一应用”解决数学问题的方法的形成

过程.2.基本（重要）不等式证明过程及应用.

2、难点：在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题

以及不等式的性质和解法，但学生对于基本不等式的证明和用不等式

模型来解决问题还是有一些困难；另外，教材中提出探究基本不等式

的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的

关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：

从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函

数最值.

三、教学方法和策略

采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用

的方法进行启发式教学；教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥

老师的主导作用和学生的主体作用；将探索过程设计为较典型的具有

挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

（1）新课标中对经历知识的发生过程提出了较高的要求，强调

使用“经历”、“感受”、“探索”等体现目标要求的行为动词，

学生要体验数学的发现与创造的过程.本节课是学生经历“学数学、

做数学、用数学”的一次机会，因此将经历基本（重要）不等式的发

现过程作为重要的教学目标之一，在此过程中学会数学地思考问题的

方法，培养学生良好的学习态度和习惯.

（2）教学中设置两条主线，一是知识与技能的主线，采用层层

递进的呈现方式，使学生学会初步运用基本（重要）不等式解决简单

问题的方法.二是感受过程与方法的主线，即学生经历“了解研究方

法一一感受研究方法一一自主研究”的过程.

（3）基本（重要）不等式的证明过程有很多种方法，如比较法、

综合法、分析法等，在此处证明过程只要求学生能用已有知识证出即

可，不作过多的说明和证明方法罗列.以往经验告诉我们，学生在解

题中易忽视基本不等式成立的条件，因此设计了在证明的过程中学生

自己发现成立条件的教学目标.

（4）教材用赵爽的弦图作为本节课的导入，借此可增强学生的

民族自豪感，通过了解中国数学文化，培养学生爱祖国、爱科学的精

神.通过图形探究重要不等式时，必然要经历不等到相等的过渡，而

此过程正能体现马克思主义哲学原理中量变与质变的辩证关系.基本

不等式在实际生活中应用较广泛，通过设置学生感兴趣的动画情境,

对学生进行明理诚信教育，通过设置生活化的问题情境，使学生树立

科学生态价值观.

（5）基本（重要）不等式的主要应用是求函数的最值或值域，由

于本课时是本节的第一课时一，主要还是以学生掌握不等式内容和探究

过程为主，只要会比较大小和会求y=or+2（a>0,b>0）型的函数在

X

尤＞0时的最小值即可,为第二课时求最值的“一正二定三相等”的一

般方法作准备.

教法分析及教学支持条件

本节课以数学实验为抓手，以问题为载体，为学生提供动手做、

动眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体

现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在动手折纸的基础上

辅以几何画板的动态演示，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究

数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，

增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中

买卖猪头肉的情景剧场，实现情感、态度、价值观目标.

四、教学过程：

1..创设情境，几何引入

【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.

(请学生在学案上课前完成：

1''S大正方形=4s直角三角形+S小正方形

c2=4x^ab+(a-b)2=a2+b2.)

ICM2002SatelliteConference

UniversityofScience&TechnologyChina

【引言】右图是在北京召开的第24届国际数学家大Aug.30---Sep.2,2002

会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽的弦

图构图巧妙、精致，该图给出了迄今为止勾股定理最早、最简洁的证

明，是数与形的完美统一。

探究一：在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一

经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着

怎样的不等关系呢?

师：从弦图中我们能抽象出哪些几何图形？

生：一大一小两个正方形，和4个全等的直角三角形

师：如果设直角三角形两条直角边长为〃力，

那么正方形的边长为“

求出4个直角三角形的面积之和S和正方形ABCD的面积$2,你

能得到什么不等关系？

生：4个直角三角形的面积之和岳=2而，正方形ABCD

的面积邑=/+〃.Z

12

由图可矢口>S],即a+b>2ah."lui

师：上式中何时等号成立？\L

生：当正方形EFGH缩为一个点，即。”时取等号.

教师几何画板进行动态弦图的展示，让学生有更加直观的感受和

认识。

||计算面积|

（请学生说明：当a=b时，a2+b2=lab;当b,/+/>2出?,教

师归纳：当且仅当a=力时.，等号成立.）

师：上式对正实数是成立的，那么对任意实数a、b,上式都成立

吗？请证明自己的结论.

生：证明如下（作差法）：

a2+b2—lab=（a—Z?）2>0

。2+从N2成，.当且仅当a=b时取等号.

【设计意图】使学生经历数学实验的过程，增强学好数学的信心.

同时通过了解中国数学文化，增强学生的民族自豪感和爱国主义精神,

增强学生对国家发展的信心.学生体会如何从实验中发现问题，如何

从特殊到一般地猜想问题.感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过

程，感受由量变到质变的数学问题中的辩证关系.

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折——।

成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构

造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直瓜

角边，多余部分折叠）.假设两个正方形的面积分别为。和〃（。>。），

考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：审〉痴（a>0力>0）

在什么情况下，这个不等式能取等号？

当且仅当a=b时取等号.

教师用几何画板来直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步

完善不等式结论。

7=12.63厘米2T=3.86厘米2

这个两个不等式有联系吗？

如果a>0,b>0,我们用4a,4b分别代替1式中的a,b,可得a+。

通常我们把上式写作土心2旅（。>0/>0）,称为基本不等式，本

2

节课我们就来研究基本不等式.（引入课题并板书）

［设计意图】学生在上一环节的学习中已感受到几何实验的作用,

此处再次设计实验使学生对用此研究方法产生更深刻的理解，提高了

学生探究问题的能力，也为后面利用实验的方法独立探究奠定基础.

2.代数证明，得出结论

问题：由图形验证的结论只是猜想，并不能代表一般的情况，你

能证明你的猜想吗？在证明的过程中你能发现不等式成立的条件

吗？

师生活动：教师适时点拨，证明不等式可以用比较法、或以某个

不等式为依据的方法推出结论.证明后点明此不等式为重要不等式.

预设方案一：比较法（作差）

a+br—a+b-24ab（⑷+（扬）-2y[ab（6-6）

-----7ab=--------=--------------=------->0

2222

（当且仅当时取等号.）

预设方案二：综合法由（。-420推出结论

由于a,6eR+,于是

要证明>4ab，

2

只要证明a+h>2y[ab,

即证（G）-2-fab+（〃）之0，

即（石-新『20,该式显然成立，所以审N箍,当a=b时取

等号.

分析法比较符合我们的思维习惯，

预设方案三：由（。-匕丁登）推出结论

（综合法）：由于。>0,。>0,于是-6『20

,（6）-2s[ab+（逐）20

a+b>2y/ab

分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条

件，直至寻求到已知条件上。综合法的特点是从已知条件开始推演,

一步步地推导结果，最后推出要证明的结果。分析法利于思考，综合

法宜于表述，在解决问题中，最好合并使用。对于一个新问题，我们

一般先用分析法寻求解决，然后用综合法有条理地表述出来。

【设计意图】虽然证明过程很简单，但对学生来说证明会稍有困

难，所以必要时要对学生进行适当的点拨.同时通过证明过程发现不

等式成立的条件，加深学生对知识的理解.

问题：应用重要不等式解决简单的比较大小的问题.

W小一2；像+（"_2;2x14x15_3⑷；

师生活动：各式与重要不等式的内容进行对比，分析上述代数

式的结构特征，，准确找到变量。、人分别由哪些量代替，学会以重要

不等式为依据、利用换元思想比较大小的方法.

【设计意图】为了使学生经历完整的研究问题的步骤和感受探究

新知后的成就感，此处采用及时的学习结果评价方法，检测阶段性的

学习效果.

得出结论，展示课题内容

基本不等式：

若贝IJ上＞^b（当且仅当a"时取等号.）

2

注：其实条件改为20,不等式仍然成立。

深化认识：

称而为。1的几何平均数；称上心为。力的算术平均数

2

基本不等式史心＞^b代数意义可叙述为：

2

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

3.几何证明，相见益彰

探究三：如图，AB是圆。的直径，点C是A8上一点，AC=a,

BC=b.过点C作垂直于AB的弦。E,连接.

根据射影定理可得：CD=YACBC=4^

由于RtCOO中直角边8〈斜边OD,

于是有＞4ab

当且仅当点C与圆心。重合时，即时等号成立.

故而再次证明：

当a＞0力＞0,,则史心＞4ab（当且仅当a=h时取等号.）

2

（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）

基本不等式业＞4ab几何意义可叙述为：半径不小于半弦

2

另外基本不等式巴吆NJ茄数列意义可叙述为：两个正数的正的

2

等差中项不小于它们的等比中项。

【设计意图】培养学生数形结合的意识，养成数形结合地分析问

题的习惯.

基本不等式：“当a,8都是正数时，有巴史＞^b”，如果将

2

条件“a,。都是正数”改为“a,6都非负”，基本不等式是否还能

成立？

答：能成立.

4.基本不等式的常见变形：

当。＞0/＞0时

①a+bN2\fab0ab＜"+]

I2）

（当且仅当a=b时取等号.）

（1）变式①可以把和化积，变式②可以把积化和。

（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：

①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立.即“一

正，二定，三相等”.

基本不等式是高中最重要的一个不等式，其结构简单、均匀对称,

意蕴深厚，应用广泛。

5.应用举例，巩固提高

班长爱吃猪头肉，肉店周老板说：现有一台天平，两臂长不相等，

其余均精确，只需将猪头肉放在左右托盘各称一次，则两次所称重量

的和的一半就是物体的真实重量.这种说法对吗？我听说请同学们都

是活雷锋，请你们帮帮忙班长，这猪头肉买不买？

请同学们畅所欲言，发表自己的观点看法。熟对熟非，敬请观看

班长和他的小伙伴们带来的情景剧，答案即将揭晓。

（提前安排预习任务，教师只负责提供“宏观”素材，其余部分

有班长和他的小伙伴们自导自演，任其发挥。若是不能正确应用基本

不等式解决实际问题，预案一是由课堂上其他同学来临时客串完成,

预案二是教师亲自赤膊上阵指点迷津。）

解析：不等臂天平左臂为L1,右臂为L2.某

先把要称的猪头肉M放在左盘,右盘放质量为a的祛码时天平平衡.

然后把物体M放在右盘,在左盘放质量为b的祛码天平平衡.

肉店周老板的计量结果为根=虫心，

2

在该题中如何合理的表示物体的质量呢？(实际结果为m=G,)：

m•Lj=a-L23n•J=b•L、

请班长分享一下计算过程=G〃1［乙2

/.m=Ja・b

由基本不等式：当a>03>0,,则如>^b(当且仅当a=b时取等

2

号.)

可知周老板是个奸商，所以有必要警告他务必诚信经营。

【设计意图】(1)利用学生感兴趣的背景，激发学习兴趣，培养

学生的应用意识.(2)学生体会利用科学的观点辩别是非的重要性.

(3)结合此类社会现象，坚决抵制不讲诚信、损人利己的做法，抵

制各种不良思想的影响，重温天津精神和我校校训提出的有关诚信的

要求，从而对学生进行诚信教育，树立正确的价值观和理性消费观.

例1.(1)用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形

的长、宽各为多少时一，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(2)一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽

为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：设矩形菜园的长、宽分别为xm、ym,则x产100,篱笆的长

为2(x+y)m.由苫上z而，可得x+y22Vi而，等号当且仅当下y时

成立，此时尸产10.因此这个矩形的长、宽各都为10m时一，所用篱

笆最短，最短的篱笆是40m.

解：设矩形菜园的长、宽分别为xm、ym,则2(x+y)=36,x+产18,

矩形菜园的面积为孙R由而<亨=当=9,可得切W81.等号当且

仅当产片10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为9m时-，菜园

的面积最大，最大面积是81m2.

（学生完成情况很好，要注意对答的要求）

师下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学

们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的

能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交

流了，让同学们课后去完成.

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征，实

现积与和的转化）

师生活动：建立函数模型解答问题，体会基本不等式在解题中的作用.

【设计意图】（1）使学生利用基本不等式解决简单的实际问题；

（2）尝试运用数学知识解决实际问题，树立科学的节能减排意识和

环保意识.体会在市场经济下，运用所学数学知识优化生活中的一些

问题的重要性.

对于a>0,6>0,,

（1）若a2=p,（定值），则当且仅当时一，a有最小值2）;

（2）若a+8=S（定值），则当且仅当a=。时，a.。有最大值义.

4

概括成一句话：和定积最大，积定和最小

练习：（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它

们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积

最大？

答案：（1）设这两个正数为则。为=36,

a+b>2\[ab=12（当且仅当a=〃=6时取等号）

（2）设这两个正数为a,b,则”+。=18,

（当且仅当a=0=9时取等号）

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还

锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神.）

【设计意图】求函数的最值是本节应用的重点，它需要一个循序

渐进的过程，本节课为后面学习打好基础,为学生铺路搭桥.使学生能

举一反三解决问题.

5.归纳小结，反思提高

重要不等式：则当且仅当a"时取等号.

基本不等式：a>0,b>0,,则色吆（当且仅当a=b时取等号.）

2

（1）基本不等式的代数证明，几何解释（数形结合思想）；

（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法.

师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指

出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想，强调数学文化及

用不等式解决生活问题时给我们带来的启示，提出思考问题为下节课

作准备.

【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成

及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提

升情感、态度、价值观目标.通过两个思考问题为下节课的学习埋下

伏笔.

6.布置作业，课后延拓

(1)基本作业：课本P100习题A组1、2题

(2)拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其

他几何解释，整理并相互交流.

【探究】如图，取正方形对角线上任意一点，分别作正方形两邻边的

垂线，切分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两正方形边长分别

为以〃，问：切分出的两正方形面积和与两矩形面

积和的大小关系？

22

生1：vS,+S2=«+/?,S3+=lab,由不等式

a2+b2>lab

得：S1+S2>S3+S,,当且仅当a时，等号成立.

生2：由正方形的对称性，将切分出的两矩形及较小的正方形分别向

较大的正方形翻折，并没有将较大的正方形完全覆盖，

故：S]+S22s3+S])

【引申】若设切分出的两正方形的面积分别为久b,

根据上述不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？

请学生说明：若两正方形的面积分别为以方，则其边长分别为&、痣，

得：a+b>2\[ab^a>0,b>0)

(当且仅当时，等号成立.)

设计意图：分层布置作业，因材施教。

7.目标检测设计

1.比大小

/\215'+16"2"+3"

(x+y)2xy；15x16-------；——-——6A2;

【设计意图】采用三道简单的比大小的题目，检测学生对基本不

等式内容的掌握和使用情况.

2.求下列函数的最小值，并求出自变量满足什么条件时取得最小

值.

°21

(l)y=x2+—(x^O);(2)y=x+----(x>1);

xx-\

(3)y=sinx+—);

sinxI2_

【设计意图】检测y=or+2(a>0,6>0)型函数在定义域为(0,+8)的

x

最小值的掌握情况.第(1)小题体现取最小值时4有两个值，第(2)

体现简单的配凑方法，检测学生对不等式形式的理解；第(3)题重

点突出换元思想和“=”成立条件的理解.此题为下节课的学习作准备.

学情分析

学习任务分析

本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出

基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明，使学生体会数形结

合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。

学情分析

1、知识基础：学生在此之前已经具备了平面几何中圆和三角形的

基本知识，已经学习了函数的最值问题，掌握了不等式的基本性质和

比较法证明不等式.

2、认知水平与能力：高二学生已初步具有动手操作能力和基本

的观察能力，提取数据的能力和简单的逻辑推理能力，掌握了一些基

本的数学思想方法，具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及

一定层次上的交流沟通能力.能在教师的引导下独立地解决一些基本

问题。

3、学习情况诊断分析

我所在的淄博实验中学是山东省的一所重点中学和省级教学示

范学校，所任教的理科1,2班学生基础较好，思维较活跃，学习能力

较强，较易接受教材内容，但学生在本节课的学习中还是有一些困难:

(1)个别同学在动手实验时不会从几何图形中提炼出代数形式

的不等关系，其原因是学生重解题轻过程的现状使此方面能力较弱，

教学中以小组合作探究式的学习方式来弥补这一不足.

(2)在基本不等式几何解释的教学环节中，学生可能会把几何

解释作为一种“负担”被动地接受，因为用几何变化的现象解释变量

变化的结果学生是非常陌生的，所以教学中通过帮助学生构造直角三

角形并引导学生在其中寻找“平均数”的几何表示，为学生“排忧解

难”，培养学生数与形相结合思考问题的习惯.

(3)在两个不等式的证明过程中学生会出现困难，因为在3.1

节不等式性质只是要求学生了解比较法证明简单不等式，学生也没有

接触综合法、分析法证明，要根据学生实际，采用学生想到的证明方

法，让学生知道证明的必要性和可行性，在探究的基础上体会证明的

思路即可.

（4）基本不等式的应用向来是难点，学生们容易忽视使用条件.

为此教学中采用小步子的引导渗透的方法，简化题目难度，为后面学

习作为铺垫.

效果分析

根据本节课的内容，我从以下三个方面进行教学评价：

1.关注学生从实际背景中抽象数学知识的能力，通过学生的回答

情况适度加以引导，做出评一价；

2.在学生探究过程时，通过教学观察，对学生积极参与的程度和

主动合作的意识做出评价；

3.通过课堂小结和评测练习以及课后作业反馈教学效果，以便查

漏补缺。

本节课教学设计中难度层层递进，贴近了学生的最近发展区。教

学过程中又设计了丰富多彩的数学实验，数学游戏，数学情景剧，充

分利用了多媒体技术，使课堂教学情景化、直观化。

评测练习采用学校的12学平台和组合课堂平台，对学生的学习

效果进行了检测，结果如下:

第3题（选择题）条形图

系列1

系列2

系列3

第7题（选择题）饼状图

^£邮题正确率情况折线图

所任教的理科1,2班学生思维较活跃，学习能力较强，课前也有

主动预习的学习习惯。总体上看，学生回答问题积极，答案准确，对

知识的理解掌握较好。实验、游戏、情景剧等各个环节都能深入其中，

参与度较高，有效地达成了本节课的教学要求。

教材分析

《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容,

主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简单的应用.在前

两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能

用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式

的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二

元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前面学

习的延续和拓展.从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本不等式，

是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之

就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，并且都体现出遵

循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此渗透基本不等

式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修

2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.同时本

节课给出了《不等式》中2个最重要的不等式，它的探究方法对后续

的《不等式选讲》的学习有着方法上的指导意义。

基本不等式的学时安排是3课时一，它涉及基本不等式的推导教学

和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其

主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出

不等式/+从z2面（a,beR）.在此基础上，通过演绎替换、证明探究、

数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其

中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又

有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培

养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节

课的核心内容.

因此，我认为本节课的教学难点为：应用数形结合的思想理解基

本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.

教学重点为：1.运用“实验（几何）一一猜想（代数）证

明一一结论（定理、概念）一一应用”解决数学问题的方法的形成过

程.2.基本（重要）不等式证明过程及应用.

教学中要注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅

要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、

阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引

导学生主体参与、揭示本质、经历过程。这样才能有助于培养学生的

创新思维、探索精神、应用意识和数学能力。

在对教材深入挖掘的基础上，本节内容中含有多个德育教育点.

教材引入赵爽的弦图，是体现数学文化价值、对学生进行以爱国主义

为核心的民族精神教育的好机会.在探究不等式的过程中，不等式中

等号成立的条件是体会量变与质变的辩证关系的较好素材.利用对教

材例1的反思，可使学生树立科学的节能减排意识、环保意识.通过

情景剧场还可使学生树立现代社会的诚信观.

基本不等式测评练习

1.求下列函数的最值（利用基本不等式求最值）

（1）y…%>0）的最小值（难度★）

X

（2）若x>2,求丁=%+」一的最小值（难度★★）

x-2

2.已知直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时，两条直角

边的和最小，最小值是多少？

（利用基本不等式求最值；难度★★★）

3.下列函数的最小值为2夜的是：(一正二定三相等；难度★★★★)

A2

A・y=x+—

X

B.y=sinx+20,—|

sinxI2)

C.y=—+—,(Ay>0)D.y=lgx+—^-,XE(0,+8)

y%Igx

4.求下列代数式的最小值（一正二定三相等）

（1）已知x>0,y>0,且2+§=1,求刈的最小值.（难度★★★★）

尤y

（2）设x,yeR,且x+y=2,求3*+3>的最小值.（难度★★★★）

5.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3

m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元,

怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

局考闯关

(1)11)

6.设x,y£R,且x/WO,则x+~•—+4y2的最小值为_______.

iy)\xJ

7.下列不等式一定成立的是()

(1)1

A.lgx-\-->lgx(x>0)B.sin---,A£Z)

4Jsinx

C./+i22|x|(x£R)D.-7q-r>l(^eR)

XI1

设计意图：考察全体学生对基本不等式理解和初步应用情况，考察学

生是否达到了本节课的教学要求。为了让学生在课后巩固本节内容的

过程中探究基本不等式的使用条件，全面认识本节课的知识，同时也

为下节课做好铺垫。

《基本不等式》教学反思

依据课程标准，在充分挖掘教材知识、方法与德育内容的基础上，

我执教了人教A版必修五第三章第四节基本不等式中的第一课时.课

堂上通过为学生创设探究情境、生活情境，组织学生展开讨论，引导

学生亲身感受，呈现了一节以“学生动手实验，自主探究新知，新知

指导生活”为主线的探究课.反思教学过程，我有下面一些认识：

一、深入挖掘教材是上好一堂课的前提

《高中数学新课程标准》指出，“教师应激发学生的学习积极性，

向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交

流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法,

获得广泛的数学活动经验”，教师应倡导“自主、合作、探究”的学

习方式.本节课上，我开展了多次以学生为中心的数学实验，这些活

动的设计有源自教材中的赵爽的弦图，也有自己设计的折纸游戏，还

有模仿艺考让学生提前预习自导自演的情景剧.做到从教师引导到教

师参与，最后完全放手，为学生经历过程、学会方法搭设好平台，实

现了学生从感知方法到经历研究过程最后能独立解决问题的目标.

《课标》中指出，教学要体现数学文化价值.我抓住教材中赵爽

的弦图，有意识地介绍我国古代的数学成就.最后又用几何图形直观

解释基本不等式，有利于学生形成数学“数”与“形”的链接。我认

为对数学文化价值的体现可以落实在日常教学中，我们只要留心与所

学知识相关的数学家故事、数学研究过程中的一些可贵的精神，并与

学生共享，一定能提升学生科学的态度和良好的学习品质.

《课标》中指出，教学要发展学生的数学应用意识.本节课我在

基本不等式的应用环节引入一个“买卖猪头肉”的情景剧