2024届河北省邢台市五岳联盟高三上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市五岳联盟2024届高三上学期9月月考数学试题一、选择题1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗由题意知命题“，”为特称命题，故其否定为，，故选：B.2.已知正数a，b满足，则的最小值为（）A.13 B.16 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B.3.在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A.-4 B.4 C.11 D.-11〖答案〗A〖解析〗由可得，故，即该运动员在时的瞬时速度为（m/s）.故选：A4.“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，不等式恒成立时，，所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.故选：D.5.函数在区间上的大致图象是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于，所以，所以为偶函数，故排除AB,由于，故当时，，故排除D，故选：C6.已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（）A.2 B.－2 C.4 D.－4〖答案〗A〖解析〗由题意定义域为的函数满足，则的图象关于点成中心对称，函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到，故的图象关于点成中心对称，又曲线与曲线有且只有两个交点，则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2，而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标，故函数的零点之和是2，故选：A7.已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.的图象关于原点对称C. D.的最小正周期是6〖答案〗D〖解析〗由，令，，有，可得,故A错；因为，令，则，则，函数是偶函数，故B错误，令，则，故C错误，令，则,所以，则，，所以，则周期为6，D正确．故选：D.8.不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）A.2 B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为,为正数，所以，所以，则有，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，又，所以，即，所以最小值为1，所以，即的最大值为1.故选：D.二、选择题9.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗或，，所以或或，故A错误；，故B正确；，所以，故C错误，D正确.故选：BD.10.下列函数满足的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗令，则，对于A，，则，即，A正确；对于B，，即不成立，B错误；对于C，，即，即，C正确；对于D，，即不成立，D错误，故选：AC.11.关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（）A B. C. D.－1〖答案〗AD〖解析〗关于的不等式的解集中恰有4个整数，所以，因为时，不等式的解集中的整数有无数多个．不等式，对应的方程为：，方程的根为：和；由题意知，，则，解得；当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：0,1,2,3；满足题意．当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：,0,1,2；满足题意．当时，不等式的解集是,，此时，解集中含有5个整数：,0,1,2,3；不满足题意．当时，不等式的解集是,，，解集中含有整数个数多于4个，不满足题意．综上知，的值可以是和．故选：AD.12.已知函数的最小值为2，则（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗选项A，若，则，是上的增函数，无最小值，A错；，由得，记，，，由选项A分析及已知得，时，，递减，时，，递增，所以时，取得极小值也是最小值，若，则，，，D正确，此时由于得，B也正确；若，则，，，从而，，不合题意（同理可证也是错误的），C错．故选：BD．三、填空题13.已知函数，则______.〖答案〗〖解析〗，，故〖答案〗为：.14.已知函数，则______.〖答案〗〖解析〗由得，所以，故〖答案〗为：.15.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为______.〖答案〗〖解析〗因为，故，，故，故，即曲线在点处的曲率为，故〖答案〗为：.16.设函数，若，则______，______.〖答案〗198〖解析〗由函数可得：，由于，故，即，所以，即；，故〖答案〗为：.四、解答题17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，且，求a的值；（3）设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.解：（1）由题意知，，故；（2）由，且，可得若，则，不合题意；若，则，又，故；（3）由于，集合，C的真子集共有3个，则C中必有2个元素，故.18.已知二次函数.（1）若函数的图象与直线相交于A，B两点，其中A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，求m的值；（2）求不等式的解集.解：（1）由题意可知函数的图象与直线相交于A，B两点，A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，故方程的两根为1和5，即的两根为1和5，故，解得，此时为，满足，故m的值为.（2）不等式即，解得或，即不等式解集为.19.已知函数，且.（1）求在上的最大值；（2）设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围.（1）解：由函数，可得，因为，可得，解得，所以且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当，函数取得极大值；当，函数取得极小值，又由，所以函数在区间上的最小值为，最大值为.（2）解：由函数和，可得，因为函数在上有三个零点，即有三个实数根，等价于与的图象有三个不同的交点，又由，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当，函数取得极小值；当，函数取得极小值，又由当时，，当时，，要使得与的图象有三个不同的交点，可得，即实数的取值范围是.20.某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.（1）求的〖解析〗式.（2）试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值.解：（1）由题意可得，解得.当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，则，解得.设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元，则解得.故.（2）设，.当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，则.故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元.21.已知函数，.（1）若的值域为，求满足条件的整数的值；（2）若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.解：（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含，，当时，，其值域为，不满足条件，当时，令，则函数的对称轴为，当时，，即的值域为，所以，解得，当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件，综上所述，，所以满足条件的整数的值为；（2）因为函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得或，由函数不是常数函数，所以，经检验，符合题意，所以，即，由，，，得，，，只要即可，当时，，所以函数，则，，令，因为，所以，函数，当时，，则时，恒成立，符合题意；当时，函数的对称轴为，当时，则时，恒成立，符合题意；当，即时，则时，，所以，不等式组无解；当，即时，则时，恒成立，符合题意；当，即时，则时，，所以，解得，综上所述，的取值范围为.22.已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）当时，证明：.（1）解：，，，，又，所以所求切线方程为，即；（2）证明：定义域是，所以时，，设，则，设，则，设，则，所以在上是增函数，，，，，，所以，所以在上存在唯一零点，也是在上的唯一零点，，，时，，递减，时，，递增，所以，由于，所以，，，所以，所以，即，所以在上是增函数，，所以时，，时，，，，所以，所以时，，所以．河北省邢台市五岳联盟2024届高三上学期9月月考数学试题一、选择题1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗由题意知命题“，”为特称命题，故其否定为，，故选：B.2.已知正数a，b满足，则的最小值为（）A.13 B.16 C.9 D.12〖答案〗B〖解析〗因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B.3.在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：.该运动员在时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A.-4 B.4 C.11 D.-11〖答案〗A〖解析〗由可得，故，即该运动员在时的瞬时速度为（m/s）.故选：A4.“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，不等式恒成立时，，所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.故选：D.5.函数在区间上的大致图象是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于，所以，所以为偶函数，故排除AB,由于，故当时，，故排除D，故选：C6.已知定义域为的函数满足，且曲线与曲线有且只有两个交点，则函数的零点之和是（）A.2 B.－2 C.4 D.－4〖答案〗A〖解析〗由题意定义域为的函数满足，则的图象关于点成中心对称，函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到，故的图象关于点成中心对称，又曲线与曲线有且只有两个交点，则这两个交点关于对称，故这两个交点的横坐标之和为2，而函数的零点即为曲线与曲线交点的横坐标，故函数的零点之和是2，故选：A7.已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.的图象关于原点对称C. D.的最小正周期是6〖答案〗D〖解析〗由，令，，有，可得,故A错；因为，令，则，则，函数是偶函数，故B错误，令，则，故C错误，令，则,所以，则，，所以，则周期为6，D正确．故选：D.8.不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）A.2 B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因为,为正数，所以，所以，则有，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，又，所以，即，所以最小值为1，所以，即的最大值为1.故选：D.二、选择题9.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗或，，所以或或，故A错误；，故B正确；，所以，故C错误，D正确.故选：BD.10.下列函数满足的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗令，则，对于A，，则，即，A正确；对于B，，即不成立，B错误；对于C，，即，即，C正确；对于D，，即不成立，D错误，故选：AC.11.关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（）A B. C. D.－1〖答案〗AD〖解析〗关于的不等式的解集中恰有4个整数，所以，因为时，不等式的解集中的整数有无数多个．不等式，对应的方程为：，方程的根为：和；由题意知，，则，解得；当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：0,1,2,3；满足题意．当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：,0,1,2；满足题意．当时，不等式的解集是,，此时，解集中含有5个整数：,0,1,2,3；不满足题意．当时，不等式的解集是,，，解集中含有整数个数多于4个，不满足题意．综上知，的值可以是和．故选：AD.12.已知函数的最小值为2，则（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗选项A，若，则，是上的增函数，无最小值，A错；，由得，记，，，由选项A分析及已知得，时，，递减，时，，递增，所以时，取得极小值也是最小值，若，则，，，D正确，此时由于得，B也正确；若，则，，，从而，，不合题意（同理可证也是错误的），C错．故选：BD．三、填空题13.已知函数，则______.〖答案〗〖解析〗，，故〖答案〗为：.14.已知函数，则______.〖答案〗〖解析〗由得，所以，故〖答案〗为：.15.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为______.〖答案〗〖解析〗因为，故，，故，故，即曲线在点处的曲率为，故〖答案〗为：.16.设函数，若，则______，______.〖答案〗198〖解析〗由函数可得：，由于，故，即，所以，即；，故〖答案〗为：.四、解答题17.已知全集，集合，.（1）求；（2）若，且，求a的值；（3）设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.解：（1）由题意知，，故；（2）由，且，可得若，则，不合题意；若，则，又，故；（3）由于，集合，C的真子集共有3个，则C中必有2个元素，故.18.已知二次函数.（1）若函数的图象与直线相交于A，B两点，其中A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，求m的值；（2）求不等式的解集.解：（1）由题意可知函数的图象与直线相交于A，B两点，A点的横坐标为1，B点的横坐标为5，故方程的两根为1和5，即的两根为1和5，故，解得，此时为，满足，故m的值为.（2）不等式即，解得或，即不等式解集为.19.已知函数，且.（1）求在上的最大值；（2）设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围.（1）解：由函数，可得，因为，可得，解得，所以且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当，函数取得极大值；当，函数取得极小值，又由，所以函数在区间上的最小值为，最大值为.（2）解：由函数和，可得，因为函数在上有三个零点，即有三个实数根，等价于与的图象有三个不同的交点，又由，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当，函数取得极小值；当，函数取得极小值，又由当时，，当时，，要使得与的图象有三个不同的交点，可得，即实数的取值范围是.20.某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.（1）求的〖解析〗式.（2）试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值.解：（1）由题意可