反比例函数-1师

第四讲反比例函数1

一、反比例函数。

1.反比例函数。

k

一般地，形如y=—（k为常数，k¥0）的函数称为反比例函数（inverseproportionalfunction）.

x

其中X是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

【例1】下列y与x的函数中，哪个函数不是反比例函数（）

思路与技巧本题重点考核反比例函数的概念，显然A、D两个选项中的函数是反比例函数，而B选

_3

项也可以把y=口写成y=—2,也是反比例函数，而C选项是y与（X-1）成反比例，但x与y

2xx

却不成反比例。

解答C

7_42+2

【例2】下列关于x的函数种：①y=±；②^二'；③/二k*；④y=%m^中，一定是反比例

x3xxx

函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路与技巧显然①、②是反比例函数，③虽然具备反比例函数的形式，但是不满足反比例函数的要

求，也就是不能保证比例常数k是一个非零常数。④具备反比例函数的形式，同时也能保证比

例常数〃/+2工0,这是因为m是实数，所以根220,机2+2>0,因此①、②、④是反比例

函数。

解答C

【例3】已知函数丁=牛1是y关于x的反比例函数，求m的值。

X1

思路与技巧本题重点考查反比例函数的概念，（1）要求作为分母的是只含有字母X的一次单式，在

本题中，要求X的指数同等于1；（2）要求比例常数m-1不等于0。

解答因为函数丫='二1■是y关于x的反比例函数,

X1

所以同=1,加=±1。

又因为比例常数即mW1。

所以m=-l,

ni—1

因此当m=-l时，，函数了=一厂是y关于x的反比例函数。

x1

2.反比例函数的图像与性质。

反比例函数的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴,

反比例函数的图像属于双曲线（hyperbola）。

kk

反比例函数y=勺与y=-勺d70）的图像关于x轴对称，也关于y轴对称。

XX

反比例函数的图像具有如下性质：

（1）反比例函数y=K（k为常数，攵。0）的图像是双曲线；

X

（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;

【例4】画出函数y=9的图像。

x

思路与技巧这个函数中自变量X的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值表:

X♦♦♦-6-3-2-1・•・1236・・・

y♦・・-1-2-3-6•・・6321•••

由这些有序实数对，可以在直角坐标系中描出相应得点（-6,-1）、（-3,-2）、（-2,-3）等，用

光滑曲线将各点依次连起来，就得到反比例函数的图像，如图17-1所示。

【例5）已知一次函数y=x-l的图像与反比例函数y=4的图像在第一象限交于点（2,m）,求反

x

比例函数的解析式。

思路与技巧想求出反比例函数的解析式，只需要求出比例常数k即可，而且只需要反比例函数图像

上的一个点的坐标就可以确定k的值。此时，我们利用反比例函数的图像与直线在第一象限的

交点，即交点坐标（2,m）即是一次函数y=x-l图像上的点，根据当x=2时，y=m,可以求出

m的值；同时（2,m）也是反比例函数丫=七的图像上一点，因此，就可以求出k的值。

X

解答因为一次函数y=x・l的图像经过点（2,m）,

所以m=2-l,即m=l

k

又因为反比例函数y=-的图像也经过（2,m）,

x

所以1=A,k=2

2

2

因此反比例函数的解析式为y=—

x

【例6】如果反比例函数y=2匚的图像经过第二、第四象限，求a的取值范围。

x

思路与技巧根据反比例函数的图像在第二、第四象限，则比例常数2a-3的值为负，这样就可以求

出a的取值范围了。

解答因为反比例函数y=2匚的图像经过第二、第四象限，

X

3

所以2a-3V0,2a<3av—

2

3

因此a的取值范围为a<三

2

练习

1.下列哪个函数不是反比例函数（C）

3-311

A.y=—B.y=—c.y=-rD.y=-f=-

2xxVxV2x

2.如果y+1与x成反比例，且当x=2时，y=l,则y与x之间的函数关系是（D）

4-

A.y=—+2

x

3.如果反比例函数y=（m为常数）的图像经过第一、第三象限，则m的取值范围是

X

八33

(C)A.m>——B.m<——C.m<——D.m>——

3322

4.已知y与x-1成反比例(导0),那么它的解析式是(C)

kkx-1

A.y=----1B.y=k(x-l)C.y=------D.y=------

xx—1k

如果反比例函数y=&的图像经过点（-3,-4）,那么函数的图像应在（A）

X

A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限

3

反比例函数的图像经过第一，三象限,在每个象限内，y随x的增大而_减

x

4

小一；反比例函数y=--图像经过第二，四象限,在每个象限内，y随x的增大而_1

x

大O

2m+4

7.如果关于X的函数y='—是反比例函数，则111=_2

W-3

8.如果反比例函数y="2m+3（m为常数）的图像经过第一、第三象限，则m的取值范围是m<-.

x2

9.已知反比例函数y=-9上有两点（苞,弘），（x2，y2）且满足X|>x,,则y与y,的大小关系是

x

（D）

A.y,>y2B.y1<y2c.y,=y2D.y1>y2，丫|<丫2都有可能

10.如果一次函数y=mx+n与反比例函数y=上^的图像交于点（,，2）,那么该直线与双曲线的

x2

另一个交点为（-1,-1）。

11.在同一直角坐标系中，函数产kx+k与y=K（导0）的图像大致是图17-3中的（C）

图17-3

12.（青岛2004）函数丫=2*+2与丫=—（a70）在同一坐标系中的图像可能是图17-4中的（B）

图17-9

14.如图17-16所示，一次函数丫=1«+1）的图像与反比例函数y=上交于两点，A（-2,1）,B（1,

X

n）.

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

9

解：一次函数的解析式y=-x=l,反比例函数的解析式y=・一

x

（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。

解：0<x<l或x<-2

二、实际问题与反比例函数。

【例1】（济宁2004）在公式I=U中，当电压U-定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图

R

像表示为17-17中的（）

图17-17

思路与技巧本题主要考查了反比例函数的图像在实际问题中的应用，此时要对反比例函数图形的性

质应该特别熟悉，才能做到得心应手。首先可以根据题目中给出的公式及其电压U是常量，可

以断定电流I与电阻R之间成反比例函数关系。根据反比例函数的图像是双曲线，排除C；

反比例函数的图像与两坐标轴没有交点，排除B；本题容易误选为A,因为比例常数电压U—

定是一个正值，所以有的同学认为反比例函数I=g的图像应该在第一、三象限；实际则不然,

因为电阻R也是一个正数，因此不应该有第三象限的部分，事实上，解决实际问题，不仅要考

察函数解析式的本身，同时也应该注意到函数种自变量的取值范围。在本题中，应该去寻找

I=-（R）0）的函数图像。

R

解答D

[例2]一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米〃卜时的平均速度用6小时到达目的地.

（1）当他按照原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？

（2）如果该司机必须在4小时内返回甲地，则返城时的速度不能低于多少？

思路与技巧本题是在研究一个行程问题，行程问题的基本公式为：路程=平均速度x时间。因此根据

条件“以80千米〃卜时的平均速度用6小时到达目的地”可以求出甲、乙两地之间的距离为480

千米；进而可以求出汽车的速度v与时间t之间成反比例函数关系。把t=4代入函数解析式，

就可以求返城时的速度不能低于多少。

解答（1）设甲、乙两地的距离为S千米，则根据已知条件有

S=8（）x6=480（千米）

所以汽车的速度v与时间t之间的函数关系式为v=~

（2）把t=4小时代入丫=竽，得丫=手=120（千米/小时）

从结果上看，如果司机恰好在4个小时内返回甲地，则返城时的平均速度为每小时120千

米。若想在4小时内返回甲地，则返程的速度不能低于每小时120千米。

说明在本题的第一问中，严格上讲，速度v与时间t的函数式为

在初中阶段，处理实际问题的过程中，求解两个变量之间的函数关系时，可以不标上自变量的

取值范围，但应用这个函数关系式时，要考虑到自变量的取值范围，尤其在画函数图像的时候

或应用函数图像解决实际问题的时候。

在本题的第二问，最后要陈述上一段文字说明，来解释“不能低于”，毕竟速度不是恰好等于每

小时120千米；本题也可以利用反比例函数的性质来解决：司机必须在4个小时内返回基地，

意味着时间t满足0<tW4,函数丫=出在第一象限内有性质v随t的增大而减小；要寻找v的

最小值，应该先找到t的最大值，因此有丫2=,按照这个思路，也可以说明速度不能低于

每小时120千米。

【例3】（泉州2004）一个圆台形物体的上底面积的工，如果如图17-18放在桌上，对桌面的压强

3

是20（）帕，翻过来放，对桌面的压强应是帕（压强、压力F与受力面积S之

间的关系式为尸=£）。

S

思路与技巧题目中压强P、压力F与受力面积S之间的关系式为P=，主要判断哪个是常量，

哪个是变量；对于同一个公式，判断哪个是常量，哪个是变量需要根据具体的实际背景来识别。

本题中，是同一个物体放在水平桌面上，该物体受到两个力的作用，桌面的支持力和本身的重

力；所以桌面支持力和物体的重量相等；而桌面对物体的支持力和物体对桌面的压力是一对作

用力与反作用力，二者也是相等的，因此物体对桌面的压力和物体的重量大小相等；因此本问

题中，物体对桌面的压力F是常量，因此压强P与受力面积S之间成反比例函数关系。

解答设该圆台形物体的物体的上表面积为a,下表面积为3a,根据已知条件可得200=£

解得F=600a,因此P与S之间的函数关系为P=竺也

S

因此，把该圆台形物体翻过来，压强为600帕。

L若直线与双曲线"安心。）有一个交点为⑶»则另外一个交点为

2.（常州2004）在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（。）之间的函数图像如

图17-20所示：

（1）I与R的函数关系为/=生；

（2）结合图像回答：当电路中的电流不得超过12A时，电路中电阻R的取值范围是_R>3。—。

k

4.在同一直角坐标系内，函数_y=勺与y=kx+3的图像大致是图17-25中的（B）

5.已知A是反比例函数y=9与一次函数y=-x+6在第一象限的一个交点，过A做AB_Lx轴于B点,

x

作ACLy轴于C点，则矩形ABOC的面积为6,周长为12。

三、本章测试。

1.下列哪个函数不是反比例函数（B）

3334

A.y=—B-y=-C.y=-D.y=一

2xxxx

2.下列哪个说法是错误的（C）

k

A.双曲线广士（导0）的图像是轴对称图形且有两条对称轴

X

B.反比例y=V（导0）当k〈0时，在每个象限内y随x的增大而增大

X

C.若y与z成反比例，z与x成反比例，则y与x也成反比例

D.已知xy=L则y是x的反比例函数

k

3.在同一平面直角坐标系下，函数y=kx-3与y=—（厚0）的图像可能是图17・30中的（A）

x

A.y=—B.y=12(x-3)C.y=21xD.y=---

xx-3

5.已知长方形的面积为定值4,一边长为y,另一邻边长为x,则y与x的函数关系，利用图像表