2024届浙江省新阵地教育联盟高三上学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省新阵地教育联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，所以，因为，所以以，所以，所以.故选：B.2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，故复数的虚部为.故选：A3.已知向量，，若与反向共线，则的值为（）A.0 B.48 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，得，又与反向共线，故，此时，故.故选：C.4.已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数（且）在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，所以实数的取值范围是.故选：C5.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数a的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗表示的为双曲线，故，且焦点在轴上，由题意得，解得，负值舍去.故选：B.6.过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆的圆心为，因为过点作圆的两条切线，设切点分别为，，所以，，，四点在以为直径的圆上，设为，故的方程为，即，将两圆联立方程组，解得，故直线：，点到直线：的距离为，在圆中，点到直线：的距离为，所以，解得，所以的面积为.故选：B.7.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以平方得，，，即，，两式相加可得，即，故，.故选：D.8.记为公比不是1的等比数列的前n项和．设甲：，，依次成等差数列．乙：，，依次成等差数列．．则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件〖答案〗C〖解析〗设等比数列的首项为，公比为，充分性：若，，依次成等差数列，则，则，有，，所以，，依次成等差数列.充分性满足.必要性：若，，依次成等差数列，有，则，，所以，，依次成等差数列，必要性满足.所以是充要条件.故选：C二、多选题9.有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为不全相等的正实数．下列说法正确的是（）A.样本甲的极差可能等于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差C.若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D.若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为〖答案〗CD〖解析〗样本甲的极差为，样本乙的极差为，由为不全相等的正实数，所以，则样本甲和乙的极差不相等，故A错误；设甲的方差为，那么乙的方差为，所以样本甲的方差小于样本乙的方差，故B错误；根据中位数的定义可知，若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，故C正确；根据平均数公式可知，，样本乙的平均数，故D正确.故选：CD10.声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强级为B.此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：）C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D.声强级增加，则声强变为原来的10倍〖答案〗BD〖解析〗由题意，，则，所以，当时，，故A错误；当时，即，则，当时，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确；将声强为对应的声强级作商为，故C错误；将，对应声强作商为，故D正确.故选：BD.11.已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（）A.正方体的内切球直径为4B.正方体的外接球直径为C.若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是D.若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是〖答案〗ACD〖解析〗对于A，正方体内切球直径即其棱长，所以直径为4，A正确；对于B，正方体的外接球直径即其体对角线，所以直径为，B错误；正四面体的棱长为a因为正四面体的外接球的球心O到点F、G、H的距离相等，所以O在平面BCD内的射影，到点F、G、H的距离相等，又因为在正四面体中是正三角形，所以是的中心，进而在正四面体中，有平面，所以球心O在高线上，同理：球心O也在其它面的高线上，又正四面体中各面上的高都相等，所以由得，点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体的内切球的球心，这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．记正四面体的高为，则.因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.因为在正四面体中，是正三角形，是其中心，所以，因为平面,平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，，故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为.对于C，若正四面体可以放入正方体内自由旋转，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球，又由棱长为a的正四面体的外接球半径，C正确；对于D，正方体可以放入正四面体内自由旋转，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球，又由棱长为a的正四面体的内切球半径，D正确.故选：ACD.12.已知定义在R上的函数满足，，则（）A. B.4是的一个周期C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A项，由已知，，可得，，整理可得，.当时，有；当时，有；当时，有.所以，，故A项错误；对于B项，由已知可得，，两边同时求导可得，，，所以，，.所以，关于直线对称，关于点对称，所以，4是的一个周期，故B正确；对于C项，由B知，当时，有，故C项正确；对于D项，由A知，.所以有，，，，，.又时，代入，即可得出，所以，，故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）三、填空题13.已知圆台的上下底面半径分别为2，4，母线长为6，则该圆台的表面积是______．〖答案〗〖解析〗设上底面半径，下底面半径，母线，则圆台的表面积.故〖答案〗为：14.首个全国生态主场日活动于2023.8.15在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控．有A，B，C，D，E，F共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能容纳一个议程．若要求A，B两议程不能同时在上午举行，而C议程只能在下午举行，则不同的安排方案一共有______种．（用数字作答）〖答案〗252〖解析〗分两种情况，第一种，A，B议程中有一项在上午，有一项在下午举行，先从3个上午中选1个和3个下午中选一个，由A，B议程进行选择，有种选择，再从剩余的2个下午中选择1个安排C议程，有种选择，剩余的3场会议和3个时间段进行全排列，有种选择，所以有种选择，第二种，A，B议程都安排在下午，C议程也按照在下午，故下午的3个时间段进行全排列，有种选择，再将剩余的3个议程和3个上午时间段进行全排列，有种选择，所以有种选择，综上：不同的安排方案一共有种选择.故〖答案〗为：25215.已知函数在区间内没有零点，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗因为，且，所以，因为函数在区间内没有零点，所以，解得且，故，解得，因为，故或，当时，，当时，，故.故〖答案〗为：.16.已知抛物线的焦点为，圆与抛物线相切于点，与轴相切于点，则______．〖答案〗2〖解析〗抛物线的焦点为，准线为，依题意不妨令在第一象限，设，则圆的半径，设（），则圆的方程为，由，可得，则，所以抛物线在点处的切线的斜率，依题意可得与抛物线在点处的切线垂直，所以，则①，又点圆上，所以，则②，所以，整理可得，解得或（舍去），所以，即，所以.故〖答案〗为：四、解答题17.如图，在三棱锥中，，．（1）证明：；（2）若，，点D满足，求二面角的大小．（1）证明：取中点O，连接，．∵，∴，在与中，，，∴，∴，∴，又，平面，平面，所以平面，又平面，∴；（2）解：过点O作平面．由（1）知，建立如图空间坐标系，如图：则，，，∵，，，∴设，得：解得，∴，∴，，，因为，所以设平面一个法向量，则，，即，取，设平面的一个法向量为，则，，取，，∴二面角夹角为45°．18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）若，求边上的中线的长．解：（1）∵，∴，∴，∴，即，由正弦定理可得，∵，∴，又∵，∴，∴．∴.（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．（1）解：，当时，，则在上单调递减当时，令，解得，当时，，则在上单调递增当时，，则在上单调递减综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）证明：由（1）得：要证：，即证：即证：令，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以，从而命题得证．20.已知为等差数列，为等比数列，，数列的前n项和为．（1）求数列和的通项公式．（2）设为数列的前n项和，，，求．解：（1）当时，，∴，∵，∴，两式相减得：，设数列的公差为d，数列的公比为q，则，解得或，当时，，不合题意，舍去，当时，符合题意，∴，.（2）∵，，∴，令，，①，②①式减去②式得，，当时，数列每一项均相等且为，，当时，，又，∴．21.杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行．在此期间，参加亚运会的运动员可以在亚运村免费食宿．亚运村的某餐厅从第一天起到最后一天，晩餐只推出“中式套餐”和“西式套謷”．已知某运动员每天晚餐会在该食堂提供的这两种套餐中选择．已知他第一晚选择“中式套餐”的概率为，而前一晚选择了“中式套餐”，后一晚继续选择“中式套餐”的概率为，前一晚选择“西式套餐”，后一晚继续选择“西式套餐”的概率为，如此往复．（1）求该运动员第二晚“中式套餐”套餐的概率；（2）记该运动员第晚选择“中式套餐”的概率为（i）求；（ii）求该运动员在这16晚中选择“中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率的晚数．解：（1）记该运动员第二晚“中式套餐”套餐的概率，由题意知：；（2）该运动员第晚选择“中式套餐”的概率为，（i），∴，又∵，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列．∴；（ii）由题意知，只需即，，即，显然必为奇数，偶数不成立，故当，3，5，…，15时，有即可.当时，，显然成立；当时，，因为，故当时，成立；当时，与比较大小，，所以当时，不成立.又因为单调递减，所以时不成立．综上，只有2晩.22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值．解：（1）由已知得：，两边平分并化简得：即为曲线的方程．（2）设点，．直线与双曲线C的方程联立，消去y得．由韦达定理：，．由条件，直线AG的方程为，直线AH的方程为，于是可得，．因为A，O，M，N四点共圆，所以，所以，于是．即，化简得，又，，代入整理得：．将韦达定理代入化简得：．浙江省新阵地教育联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，解得，所以，因为，所以以，所以，所以.故选：B.2.已知复数满足，则的虚部为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，故复数的虚部为.故选：A3.已知向量，，若与反向共线，则的值为（）A.0 B.48 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，得，又与反向共线，故，此时，故.故选：C.4.已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函数（且）在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，所以实数的取值范围是.故选：C5.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数a的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗表示的为双曲线，故，且焦点在轴上，由题意得，解得，负值舍去.故选：B.6.过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆的圆心为，因为过点作圆的两条切线，设切点分别为，，所以，，，四点在以为直径的圆上，设为，故的方程为，即，将两圆联立方程组，解得，故直线：，点到直线：的距离为，在圆中，点到直线：的距离为，所以，解得，所以的面积为.故选：B.7.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以平方得，，，即，，两式相加可得，即，故，.故选：D.8.记为公比不是1的等比数列的前n项和．设甲：，，依次成等差数列．乙：，，依次成等差数列．．则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件〖答案〗C〖解析〗设等比数列的首项为，公比为，充分性：若，，依次成等差数列，则，则，有，，所以，，依次成等差数列.充分性满足.必要性：若，，依次成等差数列，有，则，，所以，，依次成等差数列，必要性满足.所以是充要条件.故选：C二、多选题9.有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为不全相等的正实数．下列说法正确的是（）A.样本甲的极差可能等于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差C.若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D.若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为〖答案〗CD〖解析〗样本甲的极差为，样本乙的极差为，由为不全相等的正实数，所以，则样本甲和乙的极差不相等，故A错误；设甲的方差为，那么乙的方差为，所以样本甲的方差小于样本乙的方差，故B错误；根据中位数的定义可知，若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，故C正确；根据平均数公式可知，，样本乙的平均数，故D正确.故选：CD10.声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强级为B.此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：）C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D.声强级增加，则声强变为原来的10倍〖答案〗BD〖解析〗由题意，，则，所以，当时，，故A错误；当时，即，则，当时，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确；将声强为对应的声强级作商为，故C错误；将，对应声强作商为，故D正确.故选：BD.11.已知正方体的棱长为4，正四面体的棱长为a，则以下说法正确的是（）A.正方体的内切球直径为4B.正方体的外接球直径为C.若正四面体可以放入正方体内自由旋转，则a的最大值是D.若正方体可以放入正四面体内自由旋转，则a的最小值是〖答案〗ACD〖解析〗对于A，正方体内切球直径即其棱长，所以直径为4，A正确；对于B，正方体的外接球直径即其体对角线，所以直径为，B错误；正四面体的棱长为a因为正四面体的外接球的球心O到点F、G、H的距离相等，所以O在平面BCD内的射影，到点F、G、H的距离相等，又因为在正四面体中是正三角形，所以是的中心，进而在正四面体中，有平面，所以球心O在高线上，同理：球心O也在其它面的高线上，又正四面体中各面上的高都相等，所以由得，点O到正四面体各面的距离相等，所以点O也是正四面体的内切球的球心，这样正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合．记正四面体的高为，则.因此，只要求出其中一个，则另一个也出来了.因为在正四面体中，是正三角形，是其中心，所以，因为平面,平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，，故所求的外接球的半径和内切球的半径分别为.对于C，若正四面体可以放入正方体内自由旋转，即正四面体的外接球小于等于正方体内切球，又由棱长为a的正四面体的外接球半径，C正确；对于D，正方体可以放入正四面体内自由旋转，即正方体的外接球小于等于正四面体内切球，又由棱长为a的正四面体的内切球半径，D正确.故选：ACD.12.已知定义在R上的函数满足，，则（）A. B.4是的一个周期C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A项，由已知，，可得，，整理可得，.当时，有；当时，有；当时，有.所以，，故A项错误；对于B项，由已知可得，，两边同时求导可得，，，所以，，.所以，关于直线对称，关于点对称，所以，4是的一个周期，故B正确；对于C项，由B知，当时，有，故C项正确；对于D项，由A知，.所以有，，，，，.又时，代入，即可得出，所以，，故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）三、填空题13.已知圆台的上下底面半径分别为2，4，母线长为6，则该圆台的表面积是______．〖答案〗〖解析〗设上底面半径，下底面半径，母线，则圆台的表面积.故〖答案〗为：14.首个全国生态主场日活动于2023.8.15在浙江湖州举行，推动能耗双控转向碳排放双控．有A，B，C，D，E，F共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能容纳一个议程．若要求A，B两议程不能同时在上午举行，而C议程只能在下午举行，则不同的安排方案一共有______种．（用数字作答）〖答案〗252〖解析〗分两种情况，第一种，A，B议程中有一项在上午，有一项在下午举行，先从3个上午中选1个和3个下午中选一个，由A，B议程进行选择，有种选择，再从剩余的2个下午中选择1个安排C议程，有种选择，剩余的3场会议和3个时间段进行全排列，有种选择，所以有种选择，第二种，A，B议程都安排在下午，C议程也按照在下午，故下午的3个时间段进行全排列，有种选择，再将剩余的3个议程和3个上午时间段进行全排列，有种选择，所以有种选择，综上：不同的安排方案一共有种选择.故〖答案〗为：25215.已知函数在区间内没有零点，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗因为，且，所以，因为函数在区间内没有零点，所以，解得且，故，解得，因为，故或，当时，，当时，，故.故〖答案〗为：.16.已知抛物线的焦点为，圆与抛物线相切于点，与轴相切于点，则______．〖答案〗2〖解析〗抛物线的焦点为，准线为，依题意不妨令在第一象限，设，则圆的半径，设（），则圆的方程为，由，可得，则，所以抛物线在点处的切线的斜率，依题意可得与抛物线在点处的切线垂直，所以，则①，又点圆上，所以，则②，所以，整理可得，解得或（舍去），所以，即，所以.故〖答案〗为：四、解答题17.如图，在三棱锥中，，．（1）证明：；（2）若，，点D满足，求二面角的大小．（1）证明：取中点O，连接，．∵，∴，在与中，，，∴，∴，∴，又，平面，平面，所以平面，又平面，∴；（2）解：过点O作平面．由（1）知，建立如图空间坐标系，如图：则，，，∵，，，∴设，得：解得，∴，∴，，，因为，所以设平面一个法向量，则，，即，取，设平面的一个法向量为，则，，取，，∴二面角夹角为45°．18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）若，求边上的中线的长．解：（1）∵，∴，∴，∴，即，由正弦定理可得，∵，∴，又∵，∴，∴．∴.（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．（1）解：，当时，，则在上单调递减当时，令，解得，当时，，则在上单调递增当时，，则在上单调递减综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）证明：由（1）得：要证：，即证：即证：令，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；所以，从而命题得证．20.已知为等差数列，为等比数列，，数列的前n项和为．（1）求数列和的通项公