高中数学《排列的应用》导学案

第2课时排列的应用

卜课前自主预习

R知识导学

知识点「排列应用题的最基本的解法

1.直接法：以元素为考察对象，先满足回一特殊元素的要求,再考虑一般元

素(又称为元素分析法)；或以蚂位置为考察对象，先满足画特殊位置的要求,

再考虑一般位置(又称位置分析法).

2.间接法：先不考虑附加条件，计算出画总数目,再减去画不符合要求

的数目.

3.从位置出发的“画特殊元素优先考虑法”和对不相邻问题采用的“幽

插空法”以及对相邻问题采用的“画捆绑法”，是解答排列问题常用的有效方

法.

F知识拓展

间接法是利用了“正难则反”的数学思想，适合正面考虑情况较复杂时的题

型.在解题时特别注意不符合条件的情形，不要遗漏.

R自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)从3,5,7,9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个累是排列问题.()

(2)把12名学生分成三组参加植树活动，共有多少分组方法是排列问

题.()

(3)从1,2,3中任选2个数相除可以得到不同的结果数为6.()

答案(1)V(2)X(3)7

2.做一做

(1)将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法的

种数是.

(2)沿途有四个车站，这四个车站之间需要准备不同车票种.

(3)—次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个

小品，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有种.

答案(1)720(2)12(3)20

解析(1)相当于3个元素排在10个位置，则有Aio=72O种不同的分法.

(2)四个车站中的任一站均可为起点站，也可为终点站，所以共有A2=12种.

(3)从原来的4个节目形成的5个空中，选2个空排列，共有Ag=20种添加

方法.

卜课堂互动探究

探究1排队问题

例1有5名男生，4名女生排成一排.

(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？

(2)若甲男生不站排头也不站排尾，则有多少种不同的排法？

(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？

(4)若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？

［解］(1)只要从5名男生，4名女生中任选3人排列即可.

所以共有AS=9X8X7=504种排法.

(2)解法一：(元素分析法)甲是特殊元素，第一步甲站在中间7个位置中的任

意一个上，有A｝种排法；第二步其余8人站在剩余8个位置上，有Aq种排法.

由分步乘法计数原理知，共有A%A'=282240种排法.

解法二：(位置分析法)第一步从甲以外的8人中任选2人站在首、尾位置，

有A&种排法；第二步排其余7人，有A彳种排法.由分步乘法计数原理知，共有

AlA&=282240种排法.

解法三：(间接法)5名男生，4名女生排成一排，共有A8种排法，其中甲站排

头的排法有A9种，甲站排尾的排法有A薪中.

所以符合条件的排法有A8—2A《=282240(种).

(3)女生先站在一起，有A4种排法，全体女生视为一个元素与其他男生全排列

有Ag种排法.由分步乘法计数原理知，共有A3Ag=17280种排法.

(4)分两步.第一步：5名男生全排列有Ag种排法；第二步：男生排好后，男

生之间有4个空，加上男生排列的两端共6个空，4名女生在这6个空的位置进

行排列，有A&种排法.

由分步乘法计数原理知，共有Ag.A2=43200种排法.

拓展提升

排队问题的解答策略

(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两

个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法；

(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，

分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；

(3)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素

排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素

捆绑法”；

(4)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入

空位中，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”.

[跟踪训练1]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队拍照，求不同的排

队方案的方法种数.

(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；

(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；

(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；

(4)全体站成一排，男、女生各站在一起；

(5)全体站成一排，男生必须站在一起；

(6)全体站成一排，男生不能站在一起；

(7)全体站成一排，男、女生各不相邻；

(8)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；

(9)排成前后两排，前排3人，后排4人.

解(1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A4种方法，再考虑其余6人的

位置，有Ag种方法.

故有A卜Ag=2160种方法.

(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙的位置，有A芬中方法，再安排其余5人的

位置，有A?种方法.

故有A}AW=240种方法.

(3)解法一：(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类：

第一类，甲在最右端，有Ag种方法；

第二类，甲不在最右端，甲有A4个位置可选，乙也有AS个位置可选，其余5

人有用种排法，即A卜AhA?种方法.

故有Ag+AhA&A?=3720种方法.

解法二：(间接法)无限制条件的排列方法共有A3种，

而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有AR种，

甲在最左端且乙在最右端的排法有Ag种.

故有A彳-2Ag+A?=3720种方法.

解法三：(特殊元素优先法)按最左端先安排分步.对于最左端、除甲外有AJ种

排法，余下六个位置全排列有Ag种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法

有A&A?种.故有AlAg-A&A§=3720种方法.

(4)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A孑种

排法，

女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A，种排法，

全体男生、女生各看成一个元素全排列有4种排法，

由分步乘法计数原理知共有A］-A1A？=288种排法.

(5)(捆绑法)把所有男生看成一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，

故有A*A?=720种不同的排法.

(6)(不相邻问题插空法)先排女生有A牙种排法，

把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有用种排法，

故有A1A^=1440种不同的排法.

(7)对比(6),让女生插空，有A/A£=144种不同的排法.

(8)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与

甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，

故有Ag.A%A?=960种不同的排法.

(9)直接分步完成，共有A：A才=5040种不同的排法.

探究2数字问题

例2用0』,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字

的数？

(1)六位数且是奇数；

(2)个位上的数字不是5的六位数；

(3)不大于4310的四位数且是偶数.

［解］(1)解法一：从特殊位置入手(直接法)

第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A3种排法；

第二步：排十万位，有AL种排法；

第三步：排其他位，有Al种排法.

故可以组成无重复的六位数且是奇数的共有A4AlM=288(个).

解法二：从特殊元素入手(直接法)

0不在两端有A1种排法；

从1,3,5中任选一个排在个位上，有A3种排法；

其他数字全排列有A回中排法.

故可以组成无重复的六位数且是奇数的共有AlAMd=288(个).

解法三：(排除法)

6个数字全排列有AE种排法，

0,2,4在个位上的排列数有3A&个，

1,3,5在个位上且0在十万位上的排列数有3A4个，故可以组成无重复的六位

数且是奇数的有Ag—3Ag—3A£=288（个）.

（2）解法一：（排除法）

0在十万位上的排列，5在个位上的排列都是不符合题意的六位数，故符合题

意的六位数共有Ag—2A§+A3=504（个）.

解法二：（直接法）

十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此分两类.

第一类：当个位上排0,有A?种排法；

第二类：当个位上不排0,有AVUA?种排法.

故符合题意的六位数共有Ag+AVdA2=504（个）.

（3）当千位上排1,3时，有AJA4A2种排法；

当千位上排2时，有AJA4种排法；

当千位上排4时，形如40XX,42XX的偶数各有A』个，形如41XX的偶

数有AJA!个，形如43XX的偶数只有4310和4302这两个数满足题意.

故不大于4310的四位数且是偶数的共有

A1AU1+A1A?+2A3+AlAi+2=110（个）.

拓展提升

不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题.其常见的附加条件有：

奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相

联系等.解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给

出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都

能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决.这类问题的隐含条

件“0不能在首位”尤其不能疏忽.

［跟踪训练2］用数字0,1,2,345组成没有重复数字的四位数.

（1）可组成多少个不同的四位数？

（2）可组成多少个不同的四位偶数？

（3）在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？

解⑴（直接法）AkAg=300（个）.

（间接法）Ag-Ag=300（个）.

（2）（直接法）因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A?个；0不在个位

时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有Ai-Al-Ai

个，故有Ag+A%AlAl=156个不同的四位偶数.

(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A}

个，其中第一位是。的有AbA?个.

故适合题意的有AkAg—AJA3=156个不同的四位偶数.

(3)1在首位的数的个数为Ag=60.

2在首位且0在第二位的数的个数为AZ=12.

2在首位且1在第二位的数的个数为AZ=12.

以上四位数共有84个，故第85个数是2301.

探究3定序问题

例37人站成一排.

(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；

(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列

方法.

［解］(1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有理=2520种

不同的排法.

(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法

种数占全排列种数的表.

故有第=840种不同的排法.

拓展提升

这类问题的解法是采用分类法.〃个不同元素的全排列有A1种排法，加个元

素的全排列有A用种排法.因此A4种排法中，关于〃?个元素的不同分法有A%；类，

而且每一分类的排法数是一样的.当这九个元素顺序确定时，共有恶种排法.

［跟踪训练3］某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加两

名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有()

A.12种B.30种C.36种D.42种

答案D

解析解法一：由于原来5名同学顺序不变，这5位同学共有6个空位，再

增加两名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一个同学，有6种不同的方法,

此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6X7

=42种不同的排列数.

解法二：先将所有同学重排，共有A彳种方法，而原来5名同学共有Ag种不

同顺序，因此共有A^Ag=42种顺序.

探究4排列的综合应用

例4从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的

一元二次方程加+fec+c=0?其中有实根的方程有多少个？

［解］先考虑组成一元二次方程的问题.

首先确定m只能从1,3,5,7中选一个，有AA种，然后从余下的4个数中任选

两个作b,c,有A4种.

二由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程：

AIAZ=48（个）

方程要有实根，必须满足/=〃-4ac20.

分类讨论如下：

当c=0时，a,匕可在1,3,5,7中任取两个排列，有A?个；

当cWO时，分析判别式知。只能取5,7.当。取5时，a,c只能取1,3这两个

数，有A芬中；当取7时，a,c可取1,3或1,5这两组数，有2A?种.

此时共有A夕+2A3个.

由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：

A3+A3+2A&=18（个）.

拓展提升

该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中。工0需要考虑到，而

对有实根的一元二次方程需有420.这里有两层意思：一是。不能为0;二是要保

证从一4ac》0,所以需先对c能否取0进行分类讨论.实际问题中，既要能观察

出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步,

选择合适的解法.因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想.

［跟踪训练4］从集合｛1,2,3,…，20｝的元素中任选出3个不同的数，使这3

个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？

解设a,b,cWN,且a,b,c成等差数列，

则a+c=2A,即a+c应是偶数.

因此，若从1到20这20个数字中任选出3个不同的数成等差数列，

则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数.

而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数，

当第一和第三个数选定后，中间数唯一确定，因此，选法只有两类：

①第一、三个数都是偶数，有AM种选法；

②第一、三个数都是奇数，有A%种选法.

由分类加法计数原理知，这样的等差数列共有A%+A?o=18O（种）.

'涕堂提2

求解排列问题的主要方法：续表

对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

插空法列•再将不相邻的元素插在前面元索排列的

空位中

优先法优先安排特殊元素或特殊位置

定序问题对于定序问题.可先不考虑顺序限制•排列

把相邻元素看作一个整体与其他元索一起除法处理后•再除以定序元素的全排列

捆绑法

排列.同时注意捆绑元素的内部排列

间接法正难则反•等价转化的方法

卜随堂达标自测

1.6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放

的方法种数为（）

A.AWB.AgC.AgD.A，

答案D

解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排

列，故有A才种停放方法.

2.用数字1,2,345组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）

A.8B.24C.48D.120

答案C

解析Al-A^=2X4X3X2=48.

3.将A,B,C,D,E这5个字母排成一列，要求A,B,C在排列中顺序

为“A,B,C”或“C,B,A”（可以不相邻），这样的排列有（）

A.12种B.20种C.40种D.60种

答案C

解析5个字母排成一列，A,B,C按照顺序“A,B,C”或“C,B,A”

排列的有端=40种.

4.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有

种.

答案11

解析因为good有两个相同字母，则其不同的排列有a/=12（种），而正确

的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种.

5.（1）5本相同的书全部送给6个人，每人至多1本，有多少种送书方案？

（2）5本不同的书全部送给6个人，每人至多1本，有多少种送书方案？

（3）5本不同的书全部送给6个人，有多少种送书方案？

解（1）5本相同的书全部送给6个人，每人至多1本，相当于6个人中有且

仅有1个人得不到书，所以不同的送书方案共有6种.

（2）5本不同的书全部送给6个人，每人至多1本，相当于从6个不同的元素

中取出5个元素的排列，所以不同的送书方案共有A2=72O（种）.

（3）5本不同的书全部送给6个人，每本书都有6种送法，由分步乘法原理，

知共有65=7776种不同的送书方案.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.把15人分成前、中、后三排，每排5人，则共有不同的排法种数为（）

AIR

A.-^jB.AAAGAW.AT

C.Al§D.A?5-A?O

答案c

解析将15人排成三排，可按一排处理，共有AB种.

2.4名运动员参加4X100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第

一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有（）

A.12种B.14种C.16种D.24种

答案B

解析若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A|=24种排法，除甲跑第一

棒有A§=6种排法，乙跑第4棒有A3=6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四

棒有A5=2种排法，共有Al—2A升A2=14种不同的出场顺序.

3.一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐

法共有（）

A.240种B.600种C.408种D.480种

答案D

解析将四人排成一排共A才种排法，产生5个空位，将五个空椅和一个空椅

构成的两个元素插入共A3种放法.由分步乘法计数原理满足条件的坐法共A4.AS

=480（种）.

4.某高中的4名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港这3个地区

去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只能去1个地区旅游，且学生甲

不去香港，则不同的旅游安排方案有（）

A.36种B.28种C.24种D.22种

答案C

解析学生甲不去香港，则甲有2种安排方案，另外3名同学可以在3个地

区进行全排列，即有A3种安排方案，也可以将另3名同学分为两组，一组2名同

学，一组1名同学，然后在甲选过后剩余的地区进行排列，即有A3种安排方案.所

以不同的旅游安排方案有2（A§+A9）=24（种）.故选C.

5.用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20000大，且百位数字不是3的没有重

复数字的五位数的个数是（）

A.96B.78C.72D.64

答案B

解析比20000大含两层含义：一是万位不是1,二是5个数字全用上，故

问题等价于“由123,4,5这五个数字组成万位不是1,百位不是3的无重复数字

的个数”，万位是3时，有A?个，万位不是3时，有3X3XA,个，所以共有A?+

3X3XA[=78（个）.故选B.

二'填空题

6.从集合｛0,1,2,5,7,9,11｝中任取3个元素分别作为直线方程小:+约，+。=0

中的系数A,B,C,所得直线经过坐标原点的有条.

答案30

解析易知过原点的直线方程的常数项为0,则c=o,再从集合中任取两个

非零元素作为系数4,B,有AW种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的

直线有A/=30（条）.

7.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排，且A,8