2024届山东省烟台市牟平区某校高三上学期限时练习开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省烟台市牟平区某校2024届高三上学期限时练习（开学考试）数学试题一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合或，集合，所以，则，故选：.2.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D.为纯虚数〖答案〗C〖解析〗对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：C.3.设等比数列的公比为q，则是为单调递增数列的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若,则,则为单调递减数列所以是为单调递增数列的不充分条件若为单调递增数列,则,则即或,所以故是为单调递增数列的不必要条件故是为单调递增数列的既不充分也不必要条件故选：D.4.已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意易知，，而在上的投影向量为：.故选：B5.八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形，设其边长为，中心为O，则下列选项中不正确的是（）A. B.C.和是一对相反向量 D.〖答案〗C〖解析〗对于A中，由正八边形中，可得，则，所以，即，所以，所以A正确；对于B中，由正八边形中，可得，，则，所以B正确；对于C中，由和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，所以C错误；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：C.6.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，由振幅是2易知，故，则是最高点，不妨记相邻的最低点为，连接，过作轴，过作，交点为，如图，则，，，故，得，又因为，故，得，所以，因为是的点，故，得，即，因为，所以，故，.故选：A..7.已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因为是偶函数，所以，则，因为，所以，则是的一个周期，因为，所以，，.故选：C.8.如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为，体积为V，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设其中一个圆锥的底面半径为r，高为h，则，则，解得，∴，，令，设，求导，令，解得，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减；∴，∴的最大值为．故选：A．二、多项选择题：9.已知函数则（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.直线是图象的一条对称轴D.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到〖答案〗BC〖解析〗可化为，函数的最小正周期为，A错误；当时，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，B正确；当时，，所以直线是图象的一条对称轴，C正确；函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，D错误.故选：BC.10.已知定义在上的奇函数，，且当时，，则（）A.B.有2个零点C.在上为减函数D.不等式的解集是〖答案〗AD〖解析〗在中，令，得，故A正确；又为上的奇函数，，，∴至少有三个零点，故B错误；设x1，，且，则，，，∴在上是增函数，由于为奇函数，∴在上也是增函数，故C错误：由题意，画出的图象如图，等价于或，由图可知不等式的解集为,故D正确.故选:AD11.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若在方向上的投影向量为，则的最小值为C.若点P为BC的中点，则D.若，则为定值18〖答案〗ACD〖解析〗如图，设BC的中点为E，连接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，对A选项，∵，∴，∴，又E为中点，∴，又，∴，∴，故A选项正确；对B选项，∵在方向上的投影向量为，∴，又Q是AC的中点，P在BC上，∴当时，PQ最小，此时，故B选项错误；对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵，∴，∴，故C选项正确；对D选项，∵，∴的平分线与BC垂直，∴是以BC为底边的等腰三角形，∴，又由A选项分析知，∴根据向量数量积的几何意义知，∴，故D选项正确．故选：ACD．12.已知函数，则（）A.的图象关于轴对称 B.的值域是C.在上单调递增 D.在上的所有零点之和为〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，所以是偶函数，即的图象关于轴对称，则A正确．因为．设，则，故．由，得；由，得或．则在和上单调递减，在上单调递增．因为，，，所以，即的值域是，则B错误．当时，．因为在上单调递减，且在上单调递减，所以在上单调递增，则C正确．令，得或．因为，所以，所以或或，则在上的所有零点之和为，故D正确．故选：ACD三．填空题（共4小题）13.已知向量，则与夹角的大小为_____________．〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即与的夹角为.故〖答案〗：.14.已知，若，，则=．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因为，所以，，15.已知函数，则______．〖答案〗〖解析〗由已知，，则所以，，所以，.故〖答案〗为：.16.数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗设为的中点，为的中点，如图所示，所以因为，所以，的最小值为.故〖答案〗为：四．解答题（共6小题）17.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面积．解：（1）因，则，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.（2）在中，AD平分并交BC于D，则，而，显然有，即，则，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面积.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，，，过B作于点D，点E为线段BD的中点．（1）求c；（2）求的值．解：（1）因为，，，所以，解得．（2）因为，，，所以，所以．又，所以．因为点E为线段BD的中点，所以，又，所以．19.设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且.（1）求的通项公式；（2）若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.（1）解：因，，成等差数列，所以，即，当时，，即，由，得，所以数列是以为公比的等比数列，则，即，所以，所以；（2）解：，则，因为恒成立，所以，所以的最小值.20.如图，在正四棱柱中，，点E在上，且．（1）若平面与相交于点F，求；（2）求二面角的余弦值．解：（1）如图，连接，因为平面，平面平面，所以．连接，因为，所以，所以，又，所以．（2）以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，故．设平面的法向量为，则，令，则，故．．由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为．21.已知函数存在两个极值点.（1）求的取值范围；（2）求的最小值.解：（1）由题意知：定义域为，；令，则有两个不等正根，，解得：，实数的取值范围为.（2）由（1）知：，是的两根，则；；令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，即的最小值为.22.已知函数，，其中．（1）若在上有两个不同零点，求a的取值范围．（2）若在上单调递减，求a的取值范围．（3）证明：，．（1）解：，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，取最小值．因为在有两个不同的零点，所以，所以．下面验证：当时，在有两个不同的零点.当时，，，令，则，当时，，单调递减，则，所以，又，，时，单调递减，时，单调递增，所以在，上各有一个零点，即在有两个不同的零点.综上，.（2）解：在区间上单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立．令，，当时，，，所以，即在上单调递增，所以当时，，所以．（3）证明：由（2）知时，，所以，即，．令得，所以，即，．23设函数．（1）讨论的单调性;（2）若，求证：．（1）解：由题，①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；②当时，令则，：当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；当，即时，，单调递增；当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）证明：由题，即证，即，得.由（1）可得当时在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时取等号.设，则，故在上，单调递减；在上，单调递增.故，即，故，故即得证.山东省烟台市牟平区某校2024届高三上学期限时练习（开学考试）数学试题一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合或，集合，所以，则，故选：.2.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. C. D.为纯虚数〖答案〗C〖解析〗对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：C.3.设等比数列的公比为q，则是为单调递增数列的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若,则,则为单调递减数列所以是为单调递增数列的不充分条件若为单调递增数列,则,则即或,所以故是为单调递增数列的不必要条件故是为单调递增数列的既不充分也不必要条件故选：D.4.已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意易知，，而在上的投影向量为：.故选：B5.八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形，设其边长为，中心为O，则下列选项中不正确的是（）A. B.C.和是一对相反向量 D.〖答案〗C〖解析〗对于A中，由正八边形中，可得，则，所以，即，所以，所以A正确；对于B中，由正八边形中，可得，，则，所以B正确；对于C中，由和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，所以C错误；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：C.6.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，由振幅是2易知，故，则是最高点，不妨记相邻的最低点为，连接，过作轴，过作，交点为，如图，则，，，故，得，又因为，故，得，所以，因为是的点，故，得，即，因为，所以，故，.故选：A..7.已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗因为是偶函数，所以，则，因为，所以，则是的一个周期，因为，所以，，.故选：C.8.如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为，体积为V，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设其中一个圆锥的底面半径为r，高为h，则，则，解得，∴，，令，设，求导，令，解得，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减；∴，∴的最大值为．故选：A．二、多项选择题：9.已知函数则（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.直线是图象的一条对称轴D.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到〖答案〗BC〖解析〗可化为，函数的最小正周期为，A错误；当时，，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，B正确；当时，，所以直线是图象的一条对称轴，C正确；函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，D错误.故选：BC.10.已知定义在上的奇函数，，且当时，，则（）A.B.有2个零点C.在上为减函数D.不等式的解集是〖答案〗AD〖解析〗在中，令，得，故A正确；又为上的奇函数，，，∴至少有三个零点，故B错误；设x1，，且，则，，，∴在上是增函数，由于为奇函数，∴在上也是增函数，故C错误：由题意，画出的图象如图，等价于或，由图可知不等式的解集为,故D正确.故选:AD11.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若在方向上的投影向量为，则的最小值为C.若点P为BC的中点，则D.若，则为定值18〖答案〗ACD〖解析〗如图，设BC的中点为E，连接QE，∵，由余弦定理可得：，∴，∴，又，∴，∴，∴，对A选项，∵，∴，∴，又E为中点，∴，又，∴，∴，故A选项正确；对B选项，∵在方向上的投影向量为，∴，又Q是AC的中点，P在BC上，∴当时，PQ最小，此时，故B选项错误；对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵，∴，∴，故C选项正确；对D选项，∵，∴的平分线与BC垂直，∴是以BC为底边的等腰三角形，∴，又由A选项分析知，∴根据向量数量积的几何意义知，∴，故D选项正确．故选：ACD．12.已知函数，则（）A.的图象关于轴对称 B.的值域是C.在上单调递增 D.在上的所有零点之和为〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，所以是偶函数，即的图象关于轴对称，则A正确．因为．设，则，故．由，得；由，得或．则在和上单调递减，在上单调递增．因为，，，所以，即的值域是，则B错误．当时，．因为在上单调递减，且在上单调递减，所以在上单调递增，则C正确．令，得或．因为，所以，所以或或，则在上的所有零点之和为，故D正确．故选：ACD三．填空题（共4小题）13.已知向量，则与夹角的大小为_____________．〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即与的夹角为.故〖答案〗：.14.已知，若，，则=．〖答案〗〖解析〗因为，所以，又，，整理得解得或（舍去）因此，因为，所以，，15.已知函数，则______．〖答案〗〖解析〗由已知，，则所以，，所以，.故〖答案〗为：.16.数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______.〖答案〗〖解析〗设为的中点，为的中点，如图所示，所以因为，所以，的最小值为.故〖答案〗为：四．解答题（共6小题）17.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面积．解：（1）因，则，整理得：，在中，由余弦定理得：，而，所以.（2）在中，AD平分并交BC于D，则，而，显然有，即，则，整理得：，又，由（1）知，，即有，而，解得，所以的面积.18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，，，过B作于点D，点E为线段BD的中点．（1）求c；（2）求的值．解：（1）因为，，，所以，解得．（2）因为，，，所以，所以．又，所以．因为点E为线段BD的中点，所以，又，所以．19.设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且.（1）求的通项公式；（2）若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.（1）解：因，，成等差数列，所以，即，当时，，即，由，得，所以数列是以为公比的等比数列，则，即，所以，所以；（2）解：，则，因为恒成立，所以，所以的最小值.20.如图，在正四棱柱中，，点E在上，且．（1）若平面与相交于点F，求；（2）求二面角的余弦值．解：（1）如图，连接，因为平面，平面平面，所以．连接，因为，所以，所以，又，所以．（2）以D为坐标原点，的方向分别为x，