高中数学选修第一册：本章达标检测

本草达标检）则

（满分:150分;时间:120分钟）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的）

L在空间直角坐标系中，点P（-2,l,4）关于x轴的对称点的坐标是（）

A.(-2,l,-4)B.(-2,-1,-4)

C.(2,-l,4)D.(2,l,-4)

2.已知2=(1,2~)5=(&1,2),且』+21))〃(224)),则()

11

A.x=1,y=lB.x=],y=-4

1

C.x=2,y=--D.x=l,y=-1

4

3.在下列条件中，点M与A、B、C一定共面的是()

B^OM=^OA-^OB+^OC

532

CMA+MB+MC^

D^OM+OA+OB+OC=Q

4.如图所示,在平行六面体ABCD-AIBICIDI中，荏=aj^=b，丽=c,M是AD的中

点，点N是CAi上的点，且CN:NAi=l：4,用a,b,c表示向量标的结果是()

4MI)

BC

,1«八14

A.-a+b+cB.-a+-b+-c

2555

-13,13.4

C.-a--b--cD.—a+—b--c

51055105

5.向量2=(2,1爪)心(2,丫,-1),若间=西,且a_Lb,则x+y的值为()

A.-lB.lC.-4D.4

6.给出以下命题，其中正确的是()

A.直线1的方向向量为a=(l,-l,2),直线m的方向向量为b=(2,l,-乡,则1与m垂直

B.直线1的方向向量为a=((),l,-l),平面a的法向量为n=(l,-l,-l),Ml±a

C.平面a、p的法向量分别为m=((),l,3),n2=(l,O,2),则a〃。

D.平面a经过三个点人(1,(),-1)取0,-1,0)《(-1,2,()),向量11=(1,11,。是平面。的法向量,

则u+t=l

7.长方体ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=l,AAi=b,则异面直线AD1与DB1所成角的

余弦值为()

-—

1B

-V-5

56

AC.

75VL2

5-D.2

8.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+y4C-(x-y-l)4D,点N满足

丽=入瓦5+(11)近，当AM、BN最短时，翁•M/V=()

4411

A，4B|C-4D.i

3333

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分，有选错的得()分)

9.给出下列命题，其中正确的有()

A.空间任意三个向量都可以作为一个基底

B.已知向量a〃b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.A,B,M,N是空间中的四个点，若瓦［，丽，前不能构成空间的一个基底，那么

A,B,M,N共面

D.已知｛a,b,c｝是空间的一个基底，若m=a+c』ij｛a,b,m｝也是空间的一个基底

10.设几何体ABCD-AIBICIDI是棱长为a的正方体，以下结论正确的有（）

2

A.布•C1A=-a

B方•&。；=岳2

C.BC・Z?D=a2

D.AB,G_Zi=a2

11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有（）

A.AD与BC所成的角为3（）。

B.AC与BD所成的角为90。

C.BC与面ACD所成角的正弦值为日

D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是企

12.正方体ABCD-ABCD的棱长为1,E,F,G分别为BC,CJ,BBi的中点，则（）

A.直线DiD与直线AF垂直

B.直线AiG与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为，

D.点C和点G到平面AEF的距离相等

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知平行六面体ABCD-ABJDi中，底面ABCD是边长为1的正方

形,AAi=2,NAiAB=NAiAD=6()。,则砧•近=,|温|=.(本题第一空3

分,第二空2分)

14.如图，在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB,点M为PA的中点，前=入前.若MN1AD,

则实数入=.

15.如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的

棱CD上，若P,Q均为动点，则PQ的最小值为.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱

形,NBAD=6()o,PB=2,PA=PD,当直线PB与底面ABCD所成角为3()。时，平面PCD

与平面ACD的夹角的正弦值为.

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分1()分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA,平面

ABCD,M、N、R分别是AB、PC、CD的中点.求证：

(1)直线AR〃平面PMC;

(2)直线MN,直线AB.(用向量方法)

p

18.（本小题满分12分）在①NPAB=60。;②PALPB;③NPAB=120。这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中，若问题中的入存在，求出入的值;若入不存在,请说明理由.

已知等腰三角形PAB和正方形ABCD,,AB=1,平面PABL平面ABCD,是否

存在点E,满足即=入正,使直线DE与平面PBC所成角为60°?

注:如果选择多个条件并分别解答，按第一个解答计分.

n

19.(本小题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被面AECiF

所截得到的，其中AB=4,BC=2,CCi=3,BE=l.

⑴求BF的长；

(2)求点C到平面AECiF的距离.

2().(本小题满分12分)如图，在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2&,PA=PB=PC=AC=4,O

为AC的中点.

(1)证明丑0，平面ABC;

(2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30。,求PC与平面PAM所成角的正弦

值.

21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯

形,AB//CD,AB±AD,AB=AD=2CD=2,AADP为等边三角形.

(1)当PB的长为多少时，平面PADJ_平面ABCD?并说明理由；

(2)若二面角P-AD-B的大小为150。,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是矩形,4SAD是

等边三角形，平面SAD,平面ABCD,AB=1,E为棱SA上一点,P为棱AD的中点，四

棱锥S-ABCD的体积为言.

⑴若E为棱SA的中点,F是SB的中点，求证:平面PEF〃平面SCD;

(2)是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为罂?若存在，确定点

E的位置;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

一、单项选择题

1.B关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标和竖坐标相反，故选B.

2.B由题意可得,a+2b=(l+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).

V(a+2b)#(2a-b),

.".3入WR,使a+2b="2a-b),

1+2x=A(2-x),

得4=3九解得h-故选B.

(4-y=M-2y-2),[y=

3.C对于AjH+丽+祝=函-而+砺-丽+沆-丽=m+砺+灰-3而WO,所以

点M、A、B、C不共面；

对于B,1,...点M、A、B、C不共面；

532

对于C,^~MA+MB+MC=Q,

得祈布-福-前，由共面向量定理知，拓?，丽，而为共面向量，

.,.点M、AB、C共面；

对于D,^OM+OA+OB+OC=Q,

得。祈=-(初+砺+配)，系数和不为1,

.,.点M、A、B、C不共面.故选C.

4.D由题意可得，丽=丽-询

=(阿+同-西+西).

4C=a+b/Di=b+c,

，丽，a+三b-Z,故选D.

5105

5.C•.,|a|=“,，4+l+x2=5,解得x=0.

由a_Lb,得a,b=4+y-x=0,

解得y=-4,...x+y=-4,故选C.

6.A对于A,：a•b=2-l-l=(),

.*.a±b,/.I与m垂直,A正确;

对于B,：a与n不共线，

...直线1不垂直平面a,B错误；

对于C,*.*ni与n2不共线，

平面a与平面p不平行,C错误；

对于D,方=(-1,-1,1),就=(-1,3,0),

由n,AB=-l-u+t=0,n,BC=-l+3u=0,解得u=：t=；,u+t三,D错误.

故选A.

7.C如图,建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),D(0,0,0),Bi(l,1,V3),D!(0,0,V3),

所以袍=(-1,0,百),西=(1,1,b)，

3＜祝函＞=^^=岑=渔，

xx|4。1||叫|2V55

所以异面直线AD,与DBi所成角的余弦值为由故选C.

8.A由共面向量定理和共线向量定理可知,MW平面BCD,NW直线AC,当AM、

BN最短时,AM,平面BCD,BN±AC,

所以M为4BCD的中心,N为AC的中点，

此时,2|而|=--=拽,|MC|=—,

sin60°33

VAM±¥ffiBCD,MCc平面BCD,

AAM1MC,

\MA\=^\AC\2-\MC\

二2

2

22一件)=竺

又说三砒+罚)，

：.AM•而三(奇•MC+AM•MA)

二-；|M4|2=_；.故选A.

解题反思本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向

量定理来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键,也考查了计算

能力.

二、多项选择题

9.BCD选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空

间的一个基底，故A错误.选项B中，根据基底的概念，知B正确.选项C中，由

瓦I丽,前不能构成空间的一个基底，知瓦5,而，丽共面.又瓦5,丽，前均过点B,所

以A,B,M,N四点共面，故C正确.

选项D中，已知｛a,b,c｝是空间的一个基底，则基向量a,b可以与向量m=a+c构成空间

的另一个基底，故D正确.故选BCD.

解题反思判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共

面，若不共面，就可以作为一个基底,本题各选项中判断给出的向量是否共面是关键.

10.AC如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),Ai(0,0,a),Ci(a,a,a),

/.i4B=(a,0,0),BC=(0,a,0),241C1=(a,a,0),241D=(0,a,-a),C1A=(-a,-a,-a),C1241=(-a,-a,0),

：.AB•QA=-a2,4F•人心中面••耳忆=a?,故选AC.

11.BD取BD的中点O,连接AO,CO,

：正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，

以O为原点QC所在直线为x轴QD所在直线为y轴QA所在直线为z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，

设0C=1,则A(O,O,1),B(O,-1,O),C(1,0,O),D(O,1,O),BA=(O,1,1),而=(0,1

->--->..>

l),BC=(l,l,0)/C=(l,0,-l),BD=(0,2,0).

cos<AD,BC>=-AD'H(-=-

\AD\•\BC\V2xV22

.•.异面直线AD与BC所成的角为60。,故A错误；

'：AC•丽=0,；.人(2_18口,故B正确；

设平面ACD的法向量为t=(x,y,z),

则｛•竺=x-z=0,取z=i,得x=l,y=l,.-.t=(l,l,l),

U•AD=y-z=0,

设BC与面ACD所成角为9,

则sin0=|cos<近,>|=4^3=-7^-；==渔，故C错误；

1|BC|•|t|V2xV33

易知平面BCD的一个法向量为n=(0,0,l),

设平面ABC的法向量为m=(x；yN),

则『•匣=y'+z'=。，取x，=l,

得y=-lZ=l,，m=(1,-11),设两个平面的夹角为a,则cosa=|cos<m,n>|="".一卫,

一|m|•|川3

・'・sin<m,n>=—,/.tan<m,n>=V2,

3

平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是近，故D正确.故选BD.

12.BC对于选项A,(解法一)以D点为坐标原点,DA、DC、DDi所在直线分别为x

轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，则

D(0,0,0),A(1,0,0),AI(1,0』),EG，1,0),F(0,1,；),G(1,1,；),DI(0,0,1).

从而西=(0,0,1),方=(-1,1,0，

从而西•荏三#0,所以直线DDI与直线AF不垂直，选项A错误；

B

（解法二）取DDi的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADDIAI内的投影,AN

与DDi不垂直，从而AF与DDi也不垂直,故选项A错误；

对于选项一；）,荏=（-而=（-1,1,；）,

设乖=xJ?+y而，

则l=x+y,解得仁二则碇=2荏-裾砧幅方共面，又AiGQ平面AEF,

二直线AiG与平面AEF平行,故选项B正确；

对于选项C,连接ADi,DF,延长AE,DF,交DC的延长线于点H,易知四边形AEFD,

为平面AEF截正方体所得的截面四边形（如图所示），

且D（H=AH=V5,ADi=V2,

所以SzviDiH=；X&xJ（遥）2-停）=；,

所以s四边形4EFD1=1S&D1H=A，故选项C正确;

对于选项D,（解法一）由题意得,

SAGEF=S梯形BEFG-SAEBG

1.i\11111

=-x1+-）x--x-x-=",

2\2/22224

c1111

S△ECF=X-X-=-

2228

VA-GEF=-SAGEF•AB,

3

]

VAECF=-SAECF•AB,

3

VA-GEF=2VA-ECF,

即VG-AEF=2VC-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍，故D

错误；

R

(解法二)假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面

AEF必过CG的中点，连接CG,交EF于点O,易知O不是CG的中点，所以假设不成

立,故选项D错误.

三、填空题

13.答案3;V10

解析设存=a，同=b,44i=c,

则由题意得|a|=l,|b|二l,|c|=2,

a•b=O,a•c=l,b•c=l,

.•./D；•ZC=(b+c)•(a+b)

=b•a+b2+c•a+c•b

=04-1+1+1=3,

|ZC；|=|a+b+c|

=y/a2+b2+c2+2a9c+2b•c+2a9b

=Vl+l+4+2+2+0=V10.

14.答案4

解析连接AC,交BD于点O,连接OP,以O为原点QA所在直线为x轴,OB所在

直线为y轴,OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

Y

设PA=AB=2,则A(V2,0,0),D(0,-V2,0),M(y,0,^),B(0,V2,0),.*.5D=(0,-2V2,0),^D=(-

V2,-V2,0),

设N(0,b,0),则丽=(0,b-Vl0).

BD^KBN,.\-2V2=k(b-V2),.\b壬2,；.N(0,生产,0),

.•.而=(多罕,多，

VMN±AD,.\M]V•荷=1-纪=0,解得人=4.

A

15.答案V2

解析因为P,Q分别为AB,CD上的动点，所以PQ的最小值即异面直线AB,CD间

的距离.如图，建立空间直角坐标系，

贝UA(2,2,0),B(0,0,2),C(0,2,0),D(0,2,2),

.,.而=(-2,-2,2),丽=(0,0,2),而=(-2,0,0),

设n=(x,y,z)是异面直线AB与CD的公垂线的方向向量，

则pi,AB=-2x-2y+2z=0,

In,CD=2z=0,

令y=l,得x=-l,z=0,

，n=(-1,1,0)是异面直线AB与CD的公垂线的方向向量，

设异面直线AB,CD间的距离为d,

贝(I<1=眄W=予=应，即PQ的最小值为戈.

|川V2

16.答案1

解析解法一(传统几何法)：

取AD的中点E,连接BE并延长，过P作PF±BE于点F,

VPA=PD,

APE±AD,

又•••BE,AD(证明略:ZXABE为常见的一个角为6()。的直角三角形),

AADlffiPEB(即面PFB),故PF±AD,XPF±BF,

，PF，面ABCD,且直线PB与底面ABCD所成角为NPBF,

可得PF=2sin3()0=1,BE=A/ZB2-AE2=Jl_岩,

对于△PBE,PE2=PB2+BE2-2PB•BE•cosNPBE,解得PE=],

在APEF中，利用勾股定理可得EF=4,与BE长度相同,所以点F在CD的延长线上,

所以面PCF与面ABCD垂直,故平面PCD与平面ACD的夹角为90。,正弦值为I.

解法二(空间向量法)：

如图，以点B为坐标原点,建立空间直角坐标系，则B(0Q0),A(l,(),()),C(-；,9,()

)吒百0)，

设点P(x,y,z),又PB与底面ABCD所成角为30。,则z=|PB|・sin30°=1,

由PB=2,PA=PD得，

X2+y2+1=4,

{(x-l)2+y2+i=(『J+f)+1,

{3(3

x=-,%=

>2舍去)，

(y=-7

故点PG，¥，1),所以点P在CD正上方，即面PCD与面ABCD垂直,故平面PCD与

平面ACD的夹角为90。,正弦值为1.

四、解答题

17.证明如图，建立空间直角坐标系,

n

设AB=a,AD=b,AP=c，则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),MQ,0,0),N(^,|),RQ,b,0).(2分)

(1)V瓶=g力,0),流=色,瓦0),AR^MC,；.AR//MC,(4分)

又ARC平面PMC,MCc平面PMC,

，直线AR〃平面PMC.(6分)

(2)VM7V=(0,^),AB=(a,0,0),(8分)

：.AB•丽=0,；.MN，AB.(l(W

18.解析若选①，则三角形PAB为等边三角形，取AB的中点O,连接POM

POLAB,又平面PAB_L平面ABCD,所以POJ_平面ABCD,以O为原点，直线AB

为x轴，直线OP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

则BQ,0,0）,cQ,l,0）,D（-pl,0）,P（0,0,y）,（3分）

.•.谆（初3端（沁书国咆1,书,

--->--->--->--->---»

：.DE=DP+PE-DP+XPC

@1,抄由书

=&+於1+入，浮日入）,（5分）

设a=（xi,yi,zi）是平面PBC的法向量，

PB,a=-X,-—zt=0,

则一22「

PC•a=+yi-rzi=0,

令zi=l,得xi=V3,yi=0,

，a=（遮,0,1）是平面PBC的一个法向量,（8分）

由直线DE与平面PBC所成角为60°,

得|cos<屁,a>|=f,

即/==£

2V2於3入+22

.\2入2-3入+1=0,

解得归或九=1,（11分）

二存在点E与C重合，即九=1时满足条件，或点E为PC中点，即归时满足条件.（12

分）

若选②，则三角形PAB为等腰直角三角形，取AB的中点O,连接PO,则POLAB,又

平面PABL平面ABCD,所以POL平面ABCD,以O为原点，直线AB为x轴，直线

OP为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

贝（IBQ,O,O）,C0,l,O）,D（-il,O）,P（O,O,i）,（3分）

・・・丽=（；。力国=（匕？丽=G-i»

,DE=DP+PE=DP+XPC

=Q,-i，9+xQ,i，4）

=（；+）,-1+入，汾入）,（5分）

设b=（X2,y2,Z2）是平面PBC的法向量,

而•b=，2-12=0,

则

,PC•^=；x2+y2-iz2=0,

令Z2=l,得X2=l,y2=0,

...b=（l,（）,l）是平面PBC的一个法向量,（8分）

由直线DE与平面PBC所成角为60°,

得|cos<屁,b>|=*

...9九2一12入+5=0,（10分）

•.•△=144-180<0,...方程无解,（11分）

即不存在入，满足方=配，使直线DE与平面PBC所成角为60°.（12分）

若选③，则PA=AB,过点P作POLAB,垂足为O,又平面PAB,平面ABCD,所以

PO,平面ABCD,以O为原点，直线AB为x轴，直线OP为z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系,（3分）

则BQ,0,0）,cQ,l,0）,D（pl,0）,P（0,0,^）,（4分）

----->-----»-----»----->----->

，DE=DP+PE=DP+XPC

=（-1】，处由，4）

=（-；+2i+入d入）<5分）

设n=（x,y,z）是平面PBC的法向量,

fpB•n=-X--z=0,

贝U_22（7分）

（PC•zi=；x+y-.z=0,

令x=l,得z=V3,y=0,

，n=（l。遮）是平面PBC的一个法向量,（8分）

由直线DE与平面PBC所成角为60°,

得|cos<OE,n>|=*

即

2,4乃-5入+22

二12九2-15九+5=0,(10分)

;A=225-240<0,方程无解,(11分)

即不存在九，满足屈从无，使直线DE与平面PBC所成角为60°.(12分)

19.解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,D,CI(0,4,3),B(2,4,0),(2分)

设F(0,(),z),；四边形AECiF为平行四边形，

，AF^ECi,BP(-2,0,z)=(-2,0,2),

...z=2,.\F((),0,2),

.,屈=(-2,-4,2).(4分)

于是|前|=2遍，即BF的长为2瓜(6分)

⑵设n=(x,y,z)为平面AECiF的法向量,(7分)

1Pl•AE=0,C4y+z=0,

叱111.通=0,p叫n2久+2z=0,

令y=」,得x=l,z=l,则n=().(1()分)

44

由⑴知西＞=(0,(),3),

...点C到平面AECiF的距离(1=叵泗=一==迹.(12分)

网K11

20.解析(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点，所以OPLAC,且OP=2V3.

连接OB.(1分)

因为AB=BC=4AC,所以4ABC为等腰直角三角形，且OB_LAC,OB=；AC=2.(2分)

由OP2+OB2=PB2知PO1OB.C3分)

由OPLOBQPLACQBnAC=O知PO,平面ABC.(4分)

(2)如图，以O为坐标原点，加的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.(5分)

由题意得0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2V3),至=(0,2,2b).易得平面

PAC的一个法向量为赤=(2,0,0).

设M(a,2-a,0)(0<aW2),贝I前=(a,4-a,0).(7分)

设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).

由Q・n=()施•n=(),

(2y+2V3z=0,分

得

lax+(4—a)y=0,

可取n=(V3(a-4),V3a,-a),

2®a-4)

所以cos<OB,n>=-

2yj3(a-4)2+3a2+a2

由已知可得|cos<^瓦n>|=f,(9分)

所以/2吁阳二£

2V3(a-4)24-3a2+a22

解得a=4(舍去)或a=g,

又定=（（）,2,-2盗）,所以cos<定,n>=逅.（11分）

4

所以PC与平面PAM所成角的正弦值为斗.（12分）

21解析⑴当PB=2企时，平面PAD,平面ABCD.（1分）

理由如下:在APAB中，因为AB=PA=2,PB=2企,

所以AB，PA,（2分）

XAB±AD,ADnPA=A,

所以AB，平面PAD,（3分）

又ABc平面ABCD,

所以平面PAD，平面ABCD.（4分）

(2)分别取线段AD,BC的中点O,E,连接POQE,因为4ADP为等边三角形Q为AD

的中点，所以PO_LAD,因为0,E分别为AD,BC的中点，所以OE〃AB,又AB1AD,

所以OELAD,故NPOE为二面角P-AD-B的平面角，所以NPOE=15()o,(6分)

如图，分别以