2024届山东省日照市高三上学期开学校际联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省日照市2024届高三上学期开学校际联考数学试题一、单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，由，得，所以，所以.故选：D2.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于选项A：因为，即为奇函数，故A错误；对于选项B：因为是偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减，故B错误，对于选项C：是偶函数，且当时，在区间上单调递增，故C正确；对于选项D：是偶函数，注意到，可知在区间上单调递减，故D错误；故选：C.4.命题“，”为真命题的充要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为命题“，”为真命题，所以对有解，即对有解，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值为，所以，即，故命题“，”为真命题的充要条件是.故选：A5.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）A.20 B.27 C.32 D.40〖答案〗B〖解析〗依题意得，解得，，则，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以.故选：B6.已知等差数列中各项均大于0，且，则的最小值为（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，则由得，解得或（舍去），所以，因为，所以，令，则，令得或（舍去），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.故选：B7.已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上有极小值，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，函数与的最小正周期相同，则，且.当时，的一个对称中心为，也是的一个对称中心，所以，所以，，又，所以，故，，，有极大值，无极小值，不合题意，当时，的一个对称中心为，也是的一个对称中心，所以，所以，，又，所以，故，，，无极大值，有极小值，符合题意.故选：D.8.已知正实数，满足，则的最大值为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗∵，∴即，设，则，且，所以在上，单调递增，正实数，，∴，即，所以等价于，即，∴，设，∴，∴，设，，所以单调递减，且，所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，所以，即最大值为0，故选：A.二、多项选择题9.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗根据幂函数，指数函数在定义域内均为单调增函数，，故A正确；由，取，可得，故B错误；由可得，当且仅当即取等号，C错误；由基本不等式可知，当且仅当取等号，但，等号取不到，故D正确，故选：AD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）．A.函数的最小正周期为B.为函数图像的一条对称轴C.函数在上单调递减D.函数在上有3个零点〖答案〗BC〖解析〗由题意得：，所以，。∴的最小正周期，故A错误；，故B正确；∵，∴，∴函数在上单调递减，故C正确；令，即，因为，所以令，则，所以选项D的问题转化为与的交点个数问题，如图所示：观察可知，有2个零点，故D错误．故选：BC．11.已知函数，则（）A.函数只有两个极值点B.若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为C.方程共有4个实根D.若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗A：对求导得：，当或时，，当时，，即在，上单调递减，在上单调递增，因此，在处取得极小值，在处取得极大值，对；B：由上分析，曲线及直线，如下图，由图知：当或时，直线与有2个交点，所以有且只有两个实根，则的取值范围为或，错；C：由得：，解得，令且，由图有两解分别为，，所以或，而，则，则有两解；又，由图知也有两解，综上：方程共有4个根，对；D：因为直线过定点，且，，，记，，，所以，对.故选：ACD.12.已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（）A.为偶函数 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为的定义域为R，关于原点对称，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误；对于B，因为为偶函数，所以，所以关于对称，所以，故B正确；对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，令，则，故，又为奇函数，故，所以，即，故C正确；对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，因为，所以，对于，令，得，则，令，得，则，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正确.故选：BCD.三、填空题13.已知数列为等比数列，，，则______.〖答案〗〖解析〗因为数列为等比数列，，所以由，故〖答案〗为：14.已知函数的极小值为2，则______〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，求导得，令可得，当时，，函数在单调递减；当时，，函数单调递增，故的极小值为，由已知可得，所以．故〖答案〗为：.15.若是奇函数，则______.〖答案〗〖解析〗因为是奇函数,定义域关于原点对称,由,可得,所以且,所以,解得,所以的定义域为,关于原点对称，且，又,即,解得,此时,则，所以，符合题意.所以.故〖答案〗为：.16.在中，，为中点，，，则边的长为______.〖答案〗〖解析〗设，，在和中，，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又，即，整理得：，②联立①②得，，即，解得或，三角形ADC中的三边关系知：，故，所以.故〖答案〗为：四、解答题17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长.解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为.18.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前21项和.解：（1）设公差为，由题设有，解得，，所以（2）由题设，.所以数列的前21项和为211.19.设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，.（1）若，求函数的不动点；（2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围.解：（1）由“不动点”定义知：当时，，所以，则或（舍去），所以，所以函数在上的不动点为1.（2）根据已知，得上无解，所以在上无解，令，，所以，即在上无解，所以在上无解，设，在上单调递增，故所以或，可得或，又在上恒成立，所以在上恒成立，则，则.综上，实数的取值范围是.20.为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园.如图所示，为圆心，半径为米，点，，都在半圆弧上，设，，且.（1）若在花园内铺设一条参观线路，由线段，，三部分组成，则当取何值时，参观线路最长？（2）若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，则当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？解：（1）如下图，连接，则，在中，，即，同理可得，且，所以参观路线的长度，令，即.当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.（2）由题知：扇形的面积，的面积，的面积，所以杜鹃花的种植总面积，，令得或（舍），因为，所以，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以时，杜鹃花的种植总面积最大.21.已知数列和满足，，，.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.解：（1）由题设得，，所以.又，，故，，，，所以，，得，所以数列是首项为16，公比为8的等比数列，故.（2）由题设，又，，，，故，所以数列是首项为2，公比为8的等比数列，故，因为，所以.22.已知函数．（1）讨论函数零点个数；（2）若恒成立，求a的取值范围．解：（1）由，得,设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，据此可画出大致图象如图，所以（i）当或时，无零点：（ii）当或时，有一个零点；（iii)当时，有两个零点；（2）①当时，即恒成立，符合题意；②当时，由可得，则，则，即，设，则，当时，，当时，，所以上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当时，，即恒成立，即符合题意；③当时，由（1）可知，，在上单调递增．又，，所以，使.i）当时，，即，设，则，所以在上单调递减，所以时，；ii）当时，，即，设，因为，令，则，又令，则，得在上单调递增，有，得在上单调递增，有，则，得在上单调递增，则时，，又时，，得当时，时，，由上可知，在上单调递增，则此时，综上可知，a的范围是.山东省日照市2024届高三上学期开学校际联考数学试题一、单项选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，由，得，所以，所以.故选：D2.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于选项A：因为，即为奇函数，故A错误；对于选项B：因为是偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减，故B错误，对于选项C：是偶函数，且当时，在区间上单调递增，故C正确；对于选项D：是偶函数，注意到，可知在区间上单调递减，故D错误；故选：C.4.命题“，”为真命题的充要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为命题“，”为真命题，所以对有解，即对有解，所以，又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值为，所以，即，故命题“，”为真命题的充要条件是.故选：A5.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）A.20 B.27 C.32 D.40〖答案〗B〖解析〗依题意得，解得，，则，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以.故选：B6.已知等差数列中各项均大于0，且，则的最小值为（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗设等差数列的公差为，则由得，解得或（舍去），所以，因为，所以，令，则，令得或（舍去），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.故选：B7.已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上有极小值，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，函数与的最小正周期相同，则，且.当时，的一个对称中心为，也是的一个对称中心，所以，所以，，又，所以，故，，，有极大值，无极小值，不合题意，当时，的一个对称中心为，也是的一个对称中心，所以，所以，，又，所以，故，，，无极大值，有极小值，符合题意.故选：D.8.已知正实数，满足，则的最大值为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗∵，∴即，设，则，且，所以在上，单调递增，正实数，，∴，即，所以等价于，即，∴，设，∴，∴，设，，所以单调递减，且，所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，所以，即最大值为0，故选：A.二、多项选择题9.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗根据幂函数，指数函数在定义域内均为单调增函数，，故A正确；由，取，可得，故B错误；由可得，当且仅当即取等号，C错误；由基本不等式可知，当且仅当取等号，但，等号取不到，故D正确，故选：AD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）．A.函数的最小正周期为B.为函数图像的一条对称轴C.函数在上单调递减D.函数在上有3个零点〖答案〗BC〖解析〗由题意得：，所以，。∴的最小正周期，故A错误；，故B正确；∵，∴，∴函数在上单调递减，故C正确；令，即，因为，所以令，则，所以选项D的问题转化为与的交点个数问题，如图所示：观察可知，有2个零点，故D错误．故选：BC．11.已知函数，则（）A.函数只有两个极值点B.若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为C.方程共有4个实根D.若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗A：对求导得：，当或时，，当时，，即在，上单调递减，在上单调递增，因此，在处取得极小值，在处取得极大值，对；B：由上分析，曲线及直线，如下图，由图知：当或时，直线与有2个交点，所以有且只有两个实根，则的取值范围为或，错；C：由得：，解得，令且，由图有两解分别为，，所以或，而，则，则有两解；又，由图知也有两解，综上：方程共有4个根，对；D：因为直线过定点，且，，，记，，，所以，对.故选：ACD.12.已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（）A.为偶函数 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为的定义域为R，关于原点对称，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误；对于B，因为为偶函数，所以，所以关于对称，所以，故B正确；对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，令，则，故，又为奇函数，故，所以，即，故C正确；对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，因为，所以，对于，令，得，则，令，得，则，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正确.故选：BCD.三、填空题13.已知数列为等比数列，，，则______.〖答案〗〖解析〗因为数列为等比数列，，所以由，故〖答案〗为：14.已知函数的极小值为2，则______〖答案〗〖解析〗函数的定义域为，求导得，令可得，当时，，函数在单调递减；当时，，函数单调递增，故的极小值为，由已知可得，所以．故〖答案〗为：.15.若是奇函数，则______.〖答案〗〖解析〗因为是奇函数,定义域关于原点对称,由,可得,所以且,所以,解得,所以的定义域为,关于原点对称，且，又,即,解得,此时,则，所以，符合题意.所以.故〖答案〗为：.16.在中，，为中点，，，则边的长为______.〖答案〗〖解析〗设，，在和中，，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又，即，整理得：，②联立①②得，，即，解得或，三角形ADC中的三边关系知：，故，所以.故〖答案〗为：四、解答题17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面积为，求的周长.解：（1），由正弦定理得：，整理得：，∵在中，，∴，即，∴，即；（2）由余弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为.18.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前21项和.解：（1）设公差为，由题设有，解得，，所以（2）由题设，.所以数列的前21项和为211.19.设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，.（1）若，求函数的不动点；（2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围.解：（1）由“不动点”定义知：当时，，所以，则或（舍去），所以，所以函数在上的不动点为1.（2）根据已知，得上无解，所以在上无解，令，，所以，即在上无解，所以在上无解，设，在上单调递增，故所以或，可得或，又在上恒成立，所以在上恒成立，则，则.综上，实数的取值范围是.20.为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园.如图