高中数学选择性必修二 精讲精炼 本册综合测试（基础）(含答案)

本册综合测试（基础）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案。每题5分，8题共40分）

1.（2021•广西师大附属外国语学校高二月考）数列1,3,6,10,15,…的递推公式是（）

A.。用=〃“+〃，〃£N*

B.an=an_]+nynen>2

C.4用=a〃+（n+l）,〃wN*,〃N2

D.〃〃=〃“_]+（〃一l）,〃wN*,n>2

【答案】B

【解析】设数列1,3,6,10,15,…为应｝,

所以%一41=2,%一%=3,%一〃3=4,a5-a4=5,...,anN”,n>2,

所以a”N*,n>2.

故选：B.

2.（2021•青海师大附中）设数列｛4｝是等差数列，S,为其前〃项和，%=8,S,=6,则（）

A.它的首项是-2,公差是3B.它的首项是2,公差是-3

C.它的首项是0,公差是21）.它的首项是3,公差是-2

【答案】C

【解析】因为%=4+4"=8,S3=3a,+3J=6

所以可解得4=0，"=2

故选：C

3.（2021•河南郑州）在等比数列｛4｝中，%々59=-27,则%,%=（）

A.-9B.9C.-27D.27

【答案】B

【解析】由等比中项的性质可得：

故W•。8=-27=〃5=—3

则为・%=9

故选：B

4.(2021•安顺市第三高级中学)若函数y=f(x)可导，则"八x)=0有实根”是“/(x)有极值”的().

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】(。)=0,但f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时/(x)在零点处无极值，

但/“)有极值则/,(X)在极值处一定等于0.

所以“尸。)=。有实根”是"/")有极值”的必要不充分条件.

故选：A

5.(2021•全国高二专题练习)已知函数f(x)=，+x+l)e',则在(0,f(0))处的切线方程为()

A.x+y+l=0B.x-y+l=0

C.2X-Fy+1=0D.2x-y+l=0

【答案】D

【解析】■.-f(x)=(x2+x+l)e\

求导得：f'(x)=(2x+l)eJ：+(x2+x+l)er=(x2+3x+2)ex,

■-f(O)=2,

又・••/(o)=i,

在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+l,即2x-y+l=0.

故选：D.

6.(2021•全国高二课时练习)函数旷=叫©的图象大致是()

X

C.D.

7^

【答案】c

【解析】•••/=/.（—X）=^=^=—〃X）,

-x

...y=f（x）='因为奇函数，

X

.♦.y=/（x）的图象关于原点成中心对称，可排除B.

又•.•当x>0时，—.尸（司=上坟，

XX

.•.当x>e时，r（x）<0,

二函数/（x）在（e,+8）上单调递减；

当0<x<e时，f'（x）>0,

...函数万（力在（0,e）上单调递增.

故可排除A,D,而C满足题意.

故选：C.

7.（2021•全国高二课时练习）函数/X*）=l+x—sinx在（0,2万）上是（）

A.增函数B.减函数

C.在（0,不）上增，在（“，2〃）上减D.在（0,不）上减，在（0,2万）上增

【答案】A

【解析】f（"）=1—cosx>0在（0,2万）上恒成立，

；"（x）在（0,2万）上为增函数.

故选：A

8.（2021•河南郑州•高二期中（理））设A,,,凡分别为等比数列｛《,｝,低｝的前”项和.若2=岁?（”，

匕为常数），则今=（）

【答案】C

【解析】由题意，3=日上

纥3+b

设4=(2"+〃)/%纥=(3"+"机

则。7=4—4=[(27+〃)一(2‘+a)]m=64m

b4=修一员=[(34+匕)一(3,+9>〃=54m

/_64m_32

27

故选：c

二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)

9.(2021•全国高二课时练习)函数/(x)的导函数尸(x)的图象如图所示，则()

X，

-2/0x

A.x=g为函数“X)的零点B.x=2为函数“X)的极小值点

C.函数/(x)在(；,2)上单调递减D.

/(-2)是函数/(x)的最小值

【答案】BC

【解析】解：由尸(x)的图象可知，在，2,；,和(2,内)上单调递增，在(YO,-2)和上单调递减,

所以x=2为的极小值点，所以B,C均正确；

x=g是r(x)的零点，但不一定是f(x)的零点，所以A错误；

〃-2)是函数“X)的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.

故选：BC.

10.(2021•山东潍坊•高二期中)下面是按照一定规律画出的一列“树形图”.

yV..

其中，第2个图比第I个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8

个“树枝”.假设第〃个图的树枝数为。“，数列｛《,｝的前〃项和S“，则下列说法正确的是()

A.4=2"TB.。向=%+2"

C.Sn=2an-nD.4+%+心+…+=2%,一〃+1

【答案】BC

【解析】由题意，由图(3)可得％=7,对于A中〃3=23-'=437,所以A不正确；

由图⑵比图(1)多出2个树枝，图(3)比图(2)多出4个树枝，图⑷比图(3)多出8个树枝，L,由此可得

%-4=2*,即=4,+2",所以B正确;

由a,^-a„=2",

1

可得=4+(〃2_〃1)■*---H)=1+21+22d---F2"7=-----=2/J—1,

1—2

贝孕-〃所以S,,=2a“-〃，所以c正确；

1—2

,2(1-4")2"2

由〃〃=2-11,可得q+〃3+〃5+・一+42〃-1=----72=—•4-H-—,

又由2%“一〃+1=2-(22"-l)-〃+l=2"'”-〃-l,所以D不正确.

故选：BC.

11.(2021•全国高二专题练习)斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作《算盘书》中记载

着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,--其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数

的和，这就是著名的斐波那契数列.斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系.现有一段长为a

米的铁丝，需要截成〃(〃>2)段，每段的长度不小于1m,且其中任意三段都不能构成三角形，若〃的最大值

为10,则a的值可能是()

A.100B.143C.200D.256

【答案】BC

【解析】不妨设10段铁丝长度为4,%，…，。，且qM/Va3V…M/，

依题意可知4+。24a3，a2+a3<a4,...,as+a9<al0,>1,

要使得"最大，则4,出，《尽可能小,

因此4=1,“2=1,。3=2，=55,41—89,

记斐波那契数列前〃项和为5“，其中品)=143,S”=232,

则有S|o4a=£q.<S"，

*=1

故选：BC.

12.(2021•广东汕尾•高二期末)已知函数〃力=3/-》+1,则()

A.函数“X)的增区间为；)u(；,+oo)

7

B.函数/(x)的极小值为,

C.若方程〃x)=a有三个互不相等的实数根，则17轰如?11

D.函数“X)的图像关于点(0,1)对称

【答案】BD

【解析】r⑶=9f-l,

所以或x>；时，f\x)>0,时，f'(x)<0,

所以f(x)在(-8,-5和(；,”)上递增，在(_(1)上递减，A错；

函数f(x)的极小值为/(；)=(，B正确；

函数”X)的极大值为/宿)=*所以当(<a得时，〃x)=a有三个互不相等的实根，C错;

f(x)+/(-x)=3x3-x+1+3x(-x)3+x+1=2,所以f(x)的图象关于点(0,1)对称.D正确.

故选：BD.

三、填空题(每题5分，4题共20分)

13.(2021•河北石家庄•高二期末)写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数f(x)=

【答案】/(答案不唯一)

【解析】令/(©=/(答案不唯一)，

则“0)=0,

_f(x)=2x,令/(x)=0,则x=0,

故函数在(TC,0)递减，在(0,+e)递增,

故函数/（X）=X2只有一个极值点.

故答案为：_?（答案不唯一）.

14.（2021•全国高二课时练习）请写出一个符含下列要求的数列{%}的通项公式:①{4}为无穷数列；②{“"}

为单调递增数列；③<2.这个数列的通项公式可以是.

【答案】a=2--.

nn

【解析】因为函数4=2-1的定义域为N",且凡=2-1在N”上单调递增，0<2」<2,

nnn

所以满足3个条件的数列的通项公式可以是4=2-2，

n

故答案为：=2—.

n

15.（2021•河南高二期末（理））设计一个蒙古包型的仓库，它由上、下两部分组成，上部分的形状是圆锥,

下部分的形状是圆柱（如图所示），圆柱的上底面与圆锥的底面相同，要求圆柱的高是圆锥的高的两倍.若圆

锥的母线长是1,则该仓库的最大容积是.

【答案】喑

【解析】设圆锥的母线与轴的夹角为心则圆锥的底面半彳仝为sin。，高为cos。,

则仓库的容积为：

V=->rsin2^cos0+2^sin20cos^=—sin2^cos0=—（cos0-cos33],0<,

333'/2

3

令f=cos0,y=t-tf

则y'=l-3t2,0<f（且时，y'>0,也<f<i时，/<0,

33

所以r=立时，y取最大值挛，此时y取最大值好叵.

3927

故答案为：小臣.

27

16.（2021-辉县市第一高级中学高二月考（理））给出如下关于函数〃幻=巴”的结论：

X

①对Vx>0,都有〃x）Wl；

②对也e（0,l）,都叫e（l,+oo）,使得/（毛）=/（%）；

③唱

@3x0>0,使得/伍）>毛.

其中正确的有.（填上所有你认为正确结论的序号）

【答案】①③④

一InX

【解析】尸（x）=7，X6（0,l）,f'M>0,/（X）单增；xw（l,叱），r（x）<0,/（X）单减;

故/(x)4/⑴=1,①正确;

x-»0,/(x)->-oo,故xw(O,l)时，/(x)e(-00,l)；

x-»+oo,/(x)->0,故xe(l,+oo)时，/(x)e(O,l),故当xe(O,l),取/(王)<0时，如/(』)<e—e?<0,找不

e

至I口叫€(1,物)，使得/(刍)=/(与)，②错误;

吗)-/(£l=2(l-ln2)-|(1+ln|)=g(2-31n2-1n|)=|(2—ln(8x|))

2

=-(2-lnl2)<0,故③正确；

/(x)_x=J+口大_x=।+1日”―火，令〃(x—l+inx-f,

XX

则/?"(%)=--2x=-,%>0,

xx

故X£(O,变)，以此>0,心)单增；X£(巫,+8),/Z(x)<0,〃⑴单减;

22

V---ln2>0

22

111个

(J2}V2n2

・・・/R一3=二^〉°,即球。>0,使得/(%)>为，④正确;

V

故答案为：①③④

四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)

17.(2021•福建宁德•高二期中)①＞：/；©y=\nx.若直线y=x+a为(选择①、②中的一

个)的切线.

(1)求切点坐标；

(2)求实数a的值.

注：如果条件①和条件②都解答，按第一个解答计分.

【答案】若选①，⑴P(0，D；(2)a=l；若选②，⑴尸(1,0)；⑵a=-l.

【解析】选择①

⑴设切点P&,4),/'(x)=e，，/(%)=*=1,

解得吃=0,e阳=1,所以切点为P(0,D.

(2)由⑴知切点为POD,所以切线为y-l=x,即y=x+i,所以。=1.

选择②

⑴设切点尸(不，In/),/((%)=-,/(与)=l=1,解得x°=l,lnx°=O,所以切点尸(1,0).

X/

(2)由(1)知切点为尸(1,0),所以切线为，=x-l,所以a=—I.

18.(2021•江苏镇江•高二期末)有三个条件：①函数Ax)的图象过点(0,1),且。=1；②/⑺在x=l时取

得极大值?；③函数/(X)在x=3处的切线方程为4x-2y-7=0,这三个条件中，请选择一个合适的条件将

下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题.

题目：已知函数/(x)=gd+?x2+2x+b存在极值，并且______.

(1)求/(X)的解析式；

⑵当xe[l,3]时,求函数,㈤的最值

【答案】选①；(1)个)=*+少+2X+1；(2)/(%=?，/(x)min=^.

3226

i3S5

32

选②：/(X)=-X--X+2X+1；(2)/(x)mi„=-,/«_=-；

i7513

选③：fM=-x3-x22x--；⑵/(X)2=3,/U)=--.

3+22omin

【解析】选①：

⑴/(0)=8=1,所以。=。=1,故/(xxgx'+gf+Zx+l；

(2)由r(x)=j?+x+2=(x+g)+(>0,

4123

所以f(x)单调递增，故f(x)而=/(3)=一，/(x)mi„=/(l)=^.

26

选②：

因为f(x)=；x3+£x2+2x+/),所以f(幻=/+依+2

,2

/(l)=lxr+-xl+2xl+Z>=—必=-3

由题意知326,解得匕一，

/⑴=F+a+2=0]

1,3,

故f(x)—X'——x'+2x+1,

13

经检验/(X)在X=1时取得极大值，故符合题意，所以/。)=y3-法2+2工+1,

(2)f'(x)=x2-3x2+2,令r(幻=/-3/+2=0,所以x=l或x=2,所以

xe(f，l)或(2,e)时，r(x)>0,/")单调递增；xe(l,2)时，/'(x)<0,/*)单调递减；因此/(幻在(1,2)

i311175

单调递减，在(2,3)单调递增，则人1)=：-=+2+1=?,/(2)=Ax23-^x22+2x2+l=f,

326323

/(3)=|X33-|X32+2X3+1=|,所以/(•%=1f(x)3=|；

选③：

〃3)=-

由题意知｛2,又因为/")=/+4彳+2,

/⑶=2

./(3)=-X334--X32+2X3+/?=-,,\A=~2

所以322,解得人二，

f'(.3)=22+2a+2^2[=~2

1.7

所以f(x)=§/—x~+2x—/,

22

⑵r(x)=x-2x+2=(x-l)+l>0,所以/(x)单调递增，故/(x)1rax=〃3)=gx33-32+2x3—g=g,

1713

19.(2021•甘肃甘州)已知等差数列｛%｝的公差为d,等比数列他｝的公比为g,若"=4=2,且q,4,

生,打成等差数列.

⑴求数列｛%｝,他｝的通项公式;

⑵数列」一的前"项和为(，求却

【答案】(1)4=2"-1,2=2"；⑵7；=占.

2几+1

【解析】(i)；q,4，4成等差数列，•••4=美”=驾&=4+3=4+1①，

又•.•々，七，打成等差数列，••.4="%=|么，得6+2=|4②，

n[n｝n

由①②得q=l,4=2,an=a]^^n—\^d=l+2(n—l)=2/1—1,bn=b｝q=2x2~=2；

1_1_1_____!_)

⑵％•〃+](2〃一1)(2〃+1)212〃一12w+lJ'

・71J11111J11〃

“2(3352/1-12n+\)2(2n+l)2/7+1,

20.(2021•贵州师大附中高二月考(理))已知数列｛4｝满足凡u=4,+l(〃eN*),且q=2.

⑴若数列也｝满足々=1,%=bn+2an-l,求数列也“｝的通项公式;

⑵求数列｛43“｝的前〃项和S“

【答案】（1）仇=/一2"+2；⑵'J2…3”士

【解析】

（1）由“用=4+1知数列｛“"｝是公差为1的等差数列

故生=q+d=2,所以4=1,

所以q="

所以%=〃+2"-1

所以2一4=］+3+5+…+2〃_3=（”,）（：2〃_3）

所以2=1+（”D（：2/匚3）=［+5_］）2=“2-2”+2,〃22

又4=1满足上式，所以我=/-2〃+2；

⑵由⑴可得凡学=".3"

所以S“=lx3'+2x32+3x33+…+〃x3"①；

3s“=1x3?+2x3'+3x3"+…+〃x3'向②；

①一②得-2S"=lx3l+lx32+lx33+…+lx3"-〃x3"+l,

所以一2s=3（T）一〃x3""

“1-3

（2n-l）-3"+'+3

所以S=A----L-------

“4

21.（2021•天津市第一百中学高三月考）已知函数/。）=以3-6/+1,a&R.

⑴若a=2,求函数/（x）的单调区间；

（2）若a=-4,求函数在区间［-2,3］的最值；

（3）若f（x）恰有三个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）/*）的增区间是（9,0）和（2,依0）,减区间是（0,2）；（2）最大值是9,最小值是一161；（3）

（-4近0）U（0,4®

【解析】(l)a=2,f(x)=2x}-6x2+1,/'(x)=6x2-12x=6x(x-2),

“<0或x>2时，r(x)>0,0<xv2时，r(x)<0,

所以fM的增区间是y,0)和(2,+00),减区间是(0,2)；

(2)Q=Y,/(x)=-4x3-6x2+1,f\x)=-12x2-12x=-12x(x4-l),

-2vxv-l或0vxv3时，r(x)<。，-IvxvO时，f\x)>0,

/(x)在(-2,-1)、(0,3)是递减,在(-1,0)上递增,

/W极大值=f(°)=1,/(x)梭小值=/(—1)=-1，又/(—2)=9,y(3)=—161,

所以函数在区间［-2,3］的最大值是9,最小值是-161；

(3)f\x)=3ar2-12x=3x(czx-4),

a=0时，/。）=-6/+1是二次函数，不可能是三个零点;

44（）即（）在（）和（）上递增，在（）

"0时，xvO或%>一时，fM>0,0<］<一时,f'x<0,/X-8,0t+80,3

aaaa

上递减，

43232

所以/“)极大值=/(0)=1，/(x)极小值=/(-)=—+1，函数有三个零点，则---+1<0,-472<a<4>/2,所

aa~a~

以0<〃<4夜；

4,444

avO时,x>0或不<一时,/(A:)<0,—vx<0时，ru）>o,即/（“）在（ro,一）和（0,-）上递减,在（一,0）

aaaa

上递增，