2024届山东省济南市高三上学期开学摸底考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济南市2024届高三上学期开学摸底考试数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗，又，，故选：2.已知复数，则（）A. B. C.3 D.5〖答案〗B〖解析〗..故选：B.3.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗平面向量，，则，由，则，解得.故选：D.4.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（）A.12 B.18 C.21 D.24〖答案〗B〖解析〗可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有种，第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有种，根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为种.故选：B.5.过点与圆相切的两条直线垂直，则（）A. B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗圆化为标准方程为，圆心坐标为，半径，过点与圆相切的两条直线垂直，则点到圆心的距离为，即，解得.故选：D.6.“曲线恒在直线上方”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由曲线恒在直线上方，可得，设，则恒成立，因为，所以在R上单调递增，且当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极小值即最小值，令，得.用数轴表示范围，可知的一个充分不必要条件是，选项D为充要条件.故选：A.7.已知锐角，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由诱导公式可得，由倍角公式有，所以，由为锐角，则.故选：D8.记为等比数列的前项和，若，，则（）A. B. C.85 D.120〖答案〗C〖解析〗根据题意，设等比数列的公比为，若，则，则有，变形可得，则，又由，则有，所以.故选：C.二、多项选择题9.已知函数的最大值为2，则（）A. B.的图象关于点对称C.是图象的一条对称轴 D.在上单调递增〖答案〗AD〖解析〗易得，则，即A正确；所以，当，，即B错误；同理，即C错误；，由正弦函数的性质可得此时单调递增，即D正确.故选：AD10.已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，而，故A错误；对于B，，，即，，又函数在上单调递增，，故B正确；对于C，又B中分析得，，，，，，故C正确；对于D，由，，即，，故D正确.故选：BCD.11.如图，棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（）A.直线平面B.直线平面C.D.过，，三点的平面截正方体的截面面积为〖答案〗ABC〖解析〗对于,如下图：连接,正方体中易知，平面,平面,则,又正方形中，,所以平面又平面所以同理可证：,又,所以平面,故正确；对于如下图，连接,因为点，分别是棱，的中点，则,又,所以,又平面，平面,所以平面,故正确；对于如图,因为平面，设垂足为,连接易得,故四面体为正四面体，又棱长为，所以则则,故正确；对于如图所示，等腰梯形即为所求截面，又所以故错误,故选：12.已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（）A. B.直线过定点C.的最小值为 D.的最小值为2〖答案〗ABD〖解析〗设直线的方程为联立，得，则，又，则即所以，(舍），，则即，所以直线的方程为则直线过定点，故正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故错误；因为，则，当且仅当，即时，等号成立，故正确故选：三、填空题13.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗由题意得：，圆锥的体积为14.依次抛掷两枚质地均匀骰子，并记录正面向上的点数，记事件为“第一次的点数大于第二次的点数”，记事件为“两次点数之和为偶数”，则的值为________．〖答案〗〖解析〗依据题意事件包含的基本事件：共有个，事件包含基本事件：共有个，则故〖答案〗为：15.已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________．〖答案〗〖解析〗如图，设的垂直平分线与交于点，由题，，，，则，，，，，化简得，，由，解得，，即.故〖答案〗为：.16.若函数的图象关于直线对称，且有且仅有4个零点，则的值为________．〖答案〗39〖解析〗由得，令，由于的图象关于直线对称，所以的图象也关于对称，显然为的两个零点，故由对称性可知，的另外两个零点分别为，即，解得，故，令，则，故当或时，，单调递增，当或时，，单调递减，又，，画出的图象如下，故的图象是将图象位于轴下方部分沿着轴翻折到轴上方即可，如下：要想有且仅有4个零点，则，故.故〖答案〗为：39.四、解答题17.已知中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求外接圆的半径；（2）若，求的面积．解：（1）因为，所以，所以，因为，所以，即所以，即（2）由（1）可知：，或，因为，所以为锐角，故，由余弦定理得，所以，所以．18.随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：年份编号12345年份20182019202020212022销售额（单位：万元）1513146512021060860（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额．参考公式及数据：，，解：（1）由已知数据可得，，所以，所以因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系（2）由已知数据可得，所以，所以，关于的回归方程为令，则（万元）所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元．19.等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项．（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得：，解得，，所以，；又且，，所以，所以．（2）因为，所以.20.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．（1）证明：在正方形中，有，又底面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，点是棱的中点，所以有，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，设点，，设平面的法向量，，，令，可得，又，所以直线与平面所成角的正弦值，化简可得，即，所以或（舍），即点，由可得，，，所以点到平面的距离．21.已知双曲线：的一条渐近线方程为，点在上．（1）求的方程；（2）过右焦点的直线交于，两点，若，求的方程．解：（1）由双曲线：的一条渐近线方程为，且点在上，有，所以，故双曲线的方程为．（2）双曲线的右焦点坐标为，显然直线的斜率不为0，设：，，，则联立双曲线得：，故，，，由，化简得：，故，即，或当时，直线过点，不合题意，舍去，所以直线的方程．22.已知函数．（1）若，求的值；（2）证明：当且时，．（1）解：由题意知，，，①当时，，在上单调递减，所以，当时，，不合题意；②当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意；③当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，对于任意的，，符合题意；④当时，由得，，则在上单调递增，由得，，则在上单调递减，所以，，不合题意．综上所述，．（2）证明：由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立．令，其中且，则有，又，所以，，即所以．所以，原不等式得证山东省济南市2024届高三上学期开学摸底考试数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗，又，，故选：2.已知复数，则（）A. B. C.3 D.5〖答案〗B〖解析〗..故选：B.3.已知平面向量，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗平面向量，，则，由，则，解得.故选：D.4.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（）A.12 B.18 C.21 D.24〖答案〗B〖解析〗可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有种，第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有种，根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为种.故选：B.5.过点与圆相切的两条直线垂直，则（）A. B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗圆化为标准方程为，圆心坐标为，半径，过点与圆相切的两条直线垂直，则点到圆心的距离为，即，解得.故选：D.6.“曲线恒在直线上方”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由曲线恒在直线上方，可得，设，则恒成立，因为，所以在R上单调递增，且当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极小值即最小值，令，得.用数轴表示范围，可知的一个充分不必要条件是，选项D为充要条件.故选：A.7.已知锐角，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由诱导公式可得，由倍角公式有，所以，由为锐角，则.故选：D8.记为等比数列的前项和，若，，则（）A. B. C.85 D.120〖答案〗C〖解析〗根据题意，设等比数列的公比为，若，则，则有，变形可得，则，又由，则有，所以.故选：C.二、多项选择题9.已知函数的最大值为2，则（）A. B.的图象关于点对称C.是图象的一条对称轴 D.在上单调递增〖答案〗AD〖解析〗易得，则，即A正确；所以，当，，即B错误；同理，即C错误；，由正弦函数的性质可得此时单调递增，即D正确.故选：AD10.已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，而，故A错误；对于B，，，即，，又函数在上单调递增，，故B正确；对于C，又B中分析得，，，，，，故C正确；对于D，由，，即，，故D正确.故选：BCD.11.如图，棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（）A.直线平面B.直线平面C.D.过，，三点的平面截正方体的截面面积为〖答案〗ABC〖解析〗对于,如下图：连接,正方体中易知，平面,平面,则,又正方形中，,所以平面又平面所以同理可证：,又,所以平面,故正确；对于如下图，连接,因为点，分别是棱，的中点，则,又,所以,又平面，平面,所以平面,故正确；对于如图,因为平面，设垂足为,连接易得,故四面体为正四面体，又棱长为，所以则则,故正确；对于如图所示，等腰梯形即为所求截面，又所以故错误,故选：12.已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（）A. B.直线过定点C.的最小值为 D.的最小值为2〖答案〗ABD〖解析〗设直线的方程为联立，得，则，又，则即所以，(舍），，则即，所以直线的方程为则直线过定点，故正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故错误；因为，则，当且仅当，即时，等号成立，故正确故选：三、填空题13.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______.〖答案〗〖解析〗由题意得：，圆锥的体积为14.依次抛掷两枚质地均匀骰子，并记录正面向上的点数，记事件为“第一次的点数大于第二次的点数”，记事件为“两次点数之和为偶数”，则的值为________．〖答案〗〖解析〗依据题意事件包含的基本事件：共有个，事件包含基本事件：共有个，则故〖答案〗为：15.已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________．〖答案〗〖解析〗如图，设的垂直平分线与交于点，由题，，，，则，，，，，化简得，，由，解得，，即.故〖答案〗为：.16.若函数的图象关于直线对称，且有且仅有4个零点，则的值为________．〖答案〗39〖解析〗由得，令，由于的图象关于直线对称，所以的图象也关于对称，显然为的两个零点，故由对称性可知，的另外两个零点分别为，即，解得，故，令，则，故当或时，，单调递增，当或时，，单调递减，又，，画出的图象如下，故的图象是将图象位于轴下方部分沿着轴翻折到轴上方即可，如下：要想有且仅有4个零点，则，故.故〖答案〗为：39.四、解答题17.已知中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求外接圆的半径；（2）若，求的面积．解：（1）因为，所以，所以，因为，所以，即所以，即（2）由（1）可知：，或，因为，所以为锐角，故，由余弦定理得，所以，所以．18.随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：年份编号12345年份20182019202020212022销售额（单位：万元）1513146512021060860（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额．参考公式及数据：，，解：（1）由已知数据可得，，所以，所以因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系（2）由已知数据可得，所以，所以，关于的回归方程为令，则（万元）所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元．19.等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项．（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意可得：，解得，，所以，；又且，，所以，所以．（2）因为，所以.20