2024届河南省新乡市卫辉市普高联考高三上学期测评二数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市卫辉市普高联考2024届高三上学期测评（二）数学试题一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故选：B.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是“”.故选：C．3.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为角的终边过点，根据三角函数的定义，可得，则.故选：B．4.里氏震级是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅和观测点所在地规模标准地震所应有的振幅的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用和分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（）（参考数据：）A.25 B.31.6 C.250 D.316〖答案〗D〖解析〗由题意得，，从而，因此，故选：D．5.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗二次函数的图象的对称轴为，由在上单调递增可知即．故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．故选：A6.若方程在上有两个不同的根，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：当时，有两根，令，可得与的图象有两个不同交点，则，当时，单调递增；当时，单调递减；可知：当时，取得极大值，也是最大值，为可得的大致图象如图所示，当时，，当时，，所以.故选：A．7.三角函数的发展过程中，托勒密做出了杰出的贡献，托勒密的《天文学大成》中有一张弦表，被认为是最早的正弦表．据书中记载，为了度量圆弧与弦长，托勒密采用了巴比伦人的60进位法，把圆周360等分，把圆的半径60等分，即用半径的作为单位来度量弦长，其中圆心角所对应的弦长表示为．建立了半径与圆周的度量单位以后，托勒密先着手计算一些特殊角所对应的弦长，比如角所对的弦长正好是正六边形外接圆的半径，则角所对应的弦长为60个单位，即，由此可知，的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，可得角所对应的弦长为正八边形的边长，设正八边形的外接圆半径为，由余弦定理，，所以．故选：B．8.已知为函数的两个不同的极值点，若，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，由题意为一元二次方程的两个不同实数根，则，.所以，又，所以，解得.此时中，符合题意，故.故选：A.二、选择题9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称〖答案〗AC〖解析〗由函数的图象，可得，所以，可得，所以，因为，所以，即，可得，即，因为，可得，所以，所以A正确，B不正确；由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确；将的图象向右平移个单位长度，可得，此时函数的图象关于原点对称，不关于轴对称，所以D错误.故选：AC.10.已知函数，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.曲线在处的切线过原点 D.函数的导函数存在最大值1〖答案〗AD〖解析〗函数，定义域为，，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无最大值，故A正确，B错误；已知，，则曲线在处的切线为，切线不过原点，故C错误；因为，当时，有最大值1，故D正确.故选：AD．11.记的内角的对边分别为，已知的周长为，，则（）A.存在非等边满足B.存在满足C.内部可以放入的最大圆的半径为D.可以完全覆盖的最小圆的半径为〖答案〗BCD〖解析〗因为的周长为，且，可得，由余弦定理得，对于A中，因为，所以，即，则，所以A错误；对于B中，因为，所以，即，则，此时为等边三角形，所以B正确；对于C中，由，可得，当且仅当时等号成立，解得或（舍去），所以的面积，的内切圆半径，所以内部可以放入的最大圆的半径为，所以C正确；对于D中，设外接圆的半径为，因为，所以，解得或（舍去），由，可得，因为，所以，所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，所以D正确．故选：BCD.12.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A.的周期为4 B.C. D.的所有零点之和为16〖答案〗AC〖解析〗因为为偶函数，设，由，得，则，所以曲线关于直线对称，所以有，又为奇函数，所以，所以，，则，所以是周期为4的周期函数，A正确；，故，B错误；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，如图所示，由图可知，共有7个交点，且前3个交点与后3个交点关于第4个交点对称，所以所有零点之和为，D错误．由题意可知当时，，且与的周期相同，与均为奇函数，故与同正同负，所以，故C正确；故选：AC三、填空题13.______．〖答案〗〖解析〗由三角函数的诱导公式，可得：．故〖答案〗：.14.设，且，则______．〖答案〗〖解析〗因为，则，因，所以，所以，.故〖答案〗为：.15.已知函数，设方程最小的两个正根为，若，则______．〖答案〗〖解析〗令，由题意知，当时，可得，所以可得，解得，又，所以，解得．故〖答案〗为：16.已知函数，若的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值集合为______．〖答案〗〖解析〗依题意可知方程有且仅有一正根，现在来证明，当且仅当时等号成立，设，则，所以当时，有，此时单调递增，当时，有，此时单调递减，所以，又因为，当且仅当时等号成立，所以，即，由以上分析可知．故的取值集合为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数．（1）设函数，判断的奇偶性；（2）求不等式的解集．解：（1）的定义域为，所以，则函数是偶函数．（2），，任取，且，所以因为，，所以，所以在上单调递增，不等式可转化为，所以，解得，所以不等式的解集为．18.已知函数相邻两条对称轴的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称．（1）求；（2）设函数，当时，方程有且仅有两个实数根，求实数的取值范围．（1）解，因为函数相邻两条对称轴的距离为，可得，即，所以，即，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，因为的图象关于原点对称，所以，又因为，所以，所以．（2）解：由（1）可知，，因为，所以，当时，即，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，要使得有且仅有两个实数根，即和的图象有两个不同的交点，如图所示，可得，即实数的取值范围是．19.记的内角的对边分别为，已知．（1）若，求；（2）若，求．解：（1）由正弦定理可得，即，可得，因为，所以，所以，（2）因为，所以由余弦定理，可得，联立可得所以，所以．20.2023年7月31日，海河流域发生流域性较大洪水，河北省涿州市辖区内有六条河流经过，一时洪流交汇，数日内，涿州市成为洪水重灾区．截至8月1日10时，涿州受灾人数133913人，受灾村居146个，面积225.38平方千米．灾情无情人有情，来自全国各地的单位和个人纷纷向涿州捐献必要的生活物资．某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨物资的售价降为25千元，已知生产的物资能全部售出．（1）写出总利润（千元）关于生产量（吨）的函数〖解析〗式（注：总利润＝总收入－流动成本－固定成本）；（2）当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：）解：（1）由已知可得，.又，所以当时，，当时，，故.（2）当时，，所以当时，．当时，，所以，所以当时，单调递增，故．因为，所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元．21.在中，角所对的边分别为，已知．（1）若，且外接圆的半径为1，求的面积；（2）若，求的值．解：（1）由，，得，即，又外接圆的半径为1，由正弦定理知，，则，，于是，而，解得，所以的面积．（2）依题意，的最小值为，由，得，由余弦定理，得，于是，又，即，当且仅当时取等号，，因此，而，解得，所以.22.设函数，曲线在处的切线方程为．（1）求的值；（2）设函数．①证明：只有一个极值点；②证明：．（1）解：易知，由切线方程可得，解得，且符合题意；即值为.（2）证明：①易知，设，则，令，得或，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，又，故存在使得，即存在唯一使得所以只有一个极值点．②易知，令，则；易得在上恒成立，可得在上为增函数，且，故存在使得，即；因此当时，，当时，；所以在处取得极小值，也是最小值，且，由①知在处取得极大值，也是最大值，且，设，则，故为增函数，因为，所以．因此可得，对于，，当时，等号成立；即，．河南省新乡市卫辉市普高联考2024届高三上学期测评（二）数学试题一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，故.故选：B.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“”的否定是“”.故选：C．3.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为角的终边过点，根据三角函数的定义，可得，则.故选：B．4.里氏震级是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅和观测点所在地规模标准地震所应有的振幅的常用对数演算而来的，其计算公式为.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用和分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则（）（参考数据：）A.25 B.31.6 C.250 D.316〖答案〗D〖解析〗由题意得，，从而，因此，故选：D．5.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗二次函数的图象的对称轴为，由在上单调递增可知即．故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．故选：A6.若方程在上有两个不同的根，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知：当时，有两根，令，可得与的图象有两个不同交点，则，当时，单调递增；当时，单调递减；可知：当时，取得极大值，也是最大值，为可得的大致图象如图所示，当时，，当时，，所以.故选：A．7.三角函数的发展过程中，托勒密做出了杰出的贡献，托勒密的《天文学大成》中有一张弦表，被认为是最早的正弦表．据书中记载，为了度量圆弧与弦长，托勒密采用了巴比伦人的60进位法，把圆周360等分，把圆的半径60等分，即用半径的作为单位来度量弦长，其中圆心角所对应的弦长表示为．建立了半径与圆周的度量单位以后，托勒密先着手计算一些特殊角所对应的弦长，比如角所对的弦长正好是正六边形外接圆的半径，则角所对应的弦长为60个单位，即，由此可知，的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，可得角所对应的弦长为正八边形的边长，设正八边形的外接圆半径为，由余弦定理，，所以．故选：B．8.已知为函数的两个不同的极值点，若，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，令，由题意为一元二次方程的两个不同实数根，则，.所以，又，所以，解得.此时中，符合题意，故.故选：A.二、选择题9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.C.的图象关于直线对称D.将的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称〖答案〗AC〖解析〗由函数的图象，可得，所以，可得，所以，因为，所以，即，可得，即，因为，可得，所以，所以A正确，B不正确；由，所以是函数的图象的对称轴，所以C正确；将的图象向右平移个单位长度，可得，此时函数的图象关于原点对称，不关于轴对称，所以D错误.故选：AC.10.已知函数，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.曲线在处的切线过原点 D.函数的导函数存在最大值1〖答案〗AD〖解析〗函数，定义域为，，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无最大值，故A正确，B错误；已知，，则曲线在处的切线为，切线不过原点，故C错误；因为，当时，有最大值1，故D正确.故选：AD．11.记的内角的对边分别为，已知的周长为，，则（）A.存在非等边满足B.存在满足C.内部可以放入的最大圆的半径为D.可以完全覆盖的最小圆的半径为〖答案〗BCD〖解析〗因为的周长为，且，可得，由余弦定理得，对于A中，因为，所以，即，则，所以A错误；对于B中，因为，所以，即，则，此时为等边三角形，所以B正确；对于C中，由，可得，当且仅当时等号成立，解得或（舍去），所以的面积，的内切圆半径，所以内部可以放入的最大圆的半径为，所以C正确；对于D中，设外接圆的半径为，因为，所以，解得或（舍去），由，可得，因为，所以，所以可以完全覆盖的最小圆的半径为，所以D正确．故选：BCD.12.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A.的周期为4 B.C. D.的所有零点之和为16〖答案〗AC〖解析〗因为为偶函数，设，由，得，则，所以曲线关于直线对称，所以有，又为奇函数，所以，所以，，则，所以是周期为4的周期函数，A正确；，故，B错误；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，如图所示，由图可知，共有7个交点，且前3个交点与后3个交点关于第4个交点对称，所以所有零点之和为，D错误．由题意可知当时，，且与的周期相同，与均为奇函数，故与同正同负，所以，故C正确；故选：AC三、填空题13.______．〖答案〗〖解析〗由三角函数的诱导公式，可得：．故〖答案〗：.14.设，且，则______．〖答案〗〖解析〗因为，则，因，所以，所以，.故〖答案〗为：.15.已知函数，设方程最小的两个正根为，若，则______．〖答案〗〖解析〗令，由题意知，当时，可得，所以可得，解得，又，所以，解得．故〖答案〗为：16.已知函数，若的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值集合为______．〖答案〗〖解析〗依题意可知方程有且仅有一正根，现在来证明，当且仅当时等号成立，设，则，所以当时，有，此时单调递增，当时，有，此时单调递减，所以，又因为，当且仅当时等号成立，所以，即，由以上分析可知．故的取值集合为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知函数．（1）设函数，判断的奇偶性；（2）求不等式的解集．解：（1）的定义域为，所以，则函数是偶函数．（2），，任取，且，所以因为，，所以，所以在上单调递增，不等式可转化为，所以，解得，所以不等式的解集为．18.已知函数相邻两条对称轴的距离为，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称．（1）求；（2）设函数，当时，方程有且仅有两个实数根，求实数的取值范围．（1）解，因为函数相邻两条对称轴的距离为，可得，即，所以，即，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，因为的图象关于原点对称，所以，又因为，所以，所以．（2）解：由（1）可知，，因为，所以，当时，即，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，要使得有且仅有两个实数根，即和的图象有两个不同的交点，如图所示，可得，即实数的取值范围是．19.记的内角的对边分别为，已知．（1）若，求；（2）若，求．解：（1）由正弦定理可得，即，可得，因为，所以，所以，（2）因为，所以由余弦定理，可得，联立可得所以，所以．20.2023年7月31日，海河流域发生流域性较大洪水，河北省涿州市辖区内有六条河流经过，一时洪流交汇，数日内，涿州市成为洪水重灾区．截至8月1日10时，涿州受灾人数133913人，受灾村居146个，面积225.38平方千米．灾情无情人有情，来自全国各地的单位和个人纷纷向涿州捐献必