中考数学第四单元 一元二次方程学案

第四单元一元二次方程

【知识网络】

一元二次方程的定义

一元二次方程的解法

一元二次方程一元二次方程根的判别式

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的应用

第一讲一元二次方程

【考点透视】

一、考纲指要

1.了解整式方程、一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元

二次方程转化为一般形式..

2.在实际问题转化为一元二次方程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性..

二、命题落点

1.对整式方程、一元二次方程及其根等相关概念的考察，如例1、例2、例3和例5。

2.会将一元二次方程转化为一般形式，并能指出其二次项、一次项及常数项，如例4.

【典例精析】

例1：在下列方程中是整式方程的有哪些？

bc

⑴（x+l）（x+3）=6x+4⑵x2+—x+—=0（aWO,a、b、c是常数）

aa

_____2

⑶x2+J2x-1=（）⑷x2+-+1=0

---------------X

解析由整式方程定义可知：方程两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程.

显然第（1）、（2）个方程是整式方程；第（3）个方程的根号下含有未知数，故不是

整式方程；第（4）个方程的分母中含有未知数，故不是整式方程.因此只有（I）、（2）

两个方程是整式方程.答案：（1）、（2）

注意：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，

这样的方程仍然是整式方程.

例2：（2003.甘肃省）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.3(x+l)2=2(x+l)B.X+--2=0

--------------------------------XX

C.ax2+bx+c=OD.r2+2x=x2-1

解析由一元二次方程定义可知：A符合一元二次方程的定义，B中的分母含有未知

数，不是整式方程，C中当aWO时是一元二次方程，D中可化为2x=-l故选A.答

案：A.

例3：判断下列方程是不是一元二次方程：

①3x2-—丫=0；②-—=1；（3）2xy—7=0；④3x=x?+4；

3X2-3

解析根据由一元二次方程定义可得：①③含有两个未知数，②不是整式方程，故①

②③都不是一元二次方程，⑷可化为x2—为+4=0,⑤可化为3x2—2x+21=0,故④⑤是

一元二次方程，⑥当aWl时是一元二次方

程.答案：⑷⑤

点评：一元二次方程必须具备三个条件：①方程是一个整式方程；②只含有一个未知

数：③含有未知数的项的最高次数是2.

例4：一元二次方程5V一了=—3中二次项系数、一次项系数、常数项都正确的是（）

A.5,—x,3B.5,—1,—3C.5,—1,3D.5X?，—1,3

解析本题考查一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项的知识，应先将

一元二次方程转化为一般形式•选C.

答案：C.

例5：选择：（1）.（2005.兰州市）已知m是方程x2—x-1=0的一个根，则代数m:—m

的值等于（）

A.-1B.0C.1D.2

4、

（2）（2003.甘肃省）已知3是关于x的方程一――2。+1=0的一个解，则2a的值

3

是（）

A.IIB.12C.13D.14

解析（1）只需把x=m代入X?-x-1=0得m，—m=l：（2）把x=3代入

4,4

-x2-2a+l=0（x为未知数）得一“32—2a+l=0,所以2a=13.答案:

3------------3

(1)C；(2)C.

【常见误区】

1.对于形如ax?+bx++c=O的方程，误认为它的未知数的最高次数是2,判断它为一元二

次方程，其实对于一元二次方程的定义，要注意它隐藏的重要条件aWO,不可漏掉，否则就

不是一元二次方程了.

2.在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时，只看表面形式，出现

如例4中的C选项错误，我们一定要将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、

一次项系数和常数项.

【基础演练】

1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

_A3（x+1）2=2（x+1）R—+--2=0;____C.ax2+bx+c=OD.x2+2x=x2—1

xy

2.下列关于x的方程中，一元二次方程的个数有（）

I-2x—1

V2x2——x=0；------=2x-l；kx2—3x+=0；x2-x?（x'+l）-3=0

------3x

A.0B.1C,2D.3

3.已知关于x的方程（k+3）x2—3kx+2k—l=0它一定是（）

A.一元二次方程B.一元一次方程

C.•元二次方程或一元•次方程D.无法确定

4,方•程（x—1）（x+3）=124匕为ax2+bx+c=O形式后，a、b、c的值为（）

A.1,—2,~~15B.1,—2,—15C・1,2,—15D,—1,2,—15

5.（2003海南）已知*=-1是一元二次方程/+的+1=0的一个根，那么m的值是（）

A.0B.1C.2D.——2

6.用一张长80厘米、宽60厘米的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为x厘米的小

正方形，然后做成底面积为1500平方厘米的没有盖的长方体盒子，为求出x,根据题意

列方程并整理后得出（）

A.X2-70X+825=（）B.x2+7（）x—825=（）C.x2—70x~~825=0D.x47（）x+825=（）

7.（2003.湖州市）试写出有一个根为1的一元高次方程（只需写1个）.

8.关于x的方程ax2-2m-3=x（2-x）是一元二次方程，贝！ja的取值范围是.

9.方程（x+4）2=2x—3化为一般式，二次项系数是，-次项系数是，常数

项是.

10.（2004安徽芜湖）己知方程3f—9x+〃?=0的一个根是1,则m的值是.

11.（2002安徽省）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万

元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,则可列方程：.

12.指出下列方程中哪些是一元二次方程：

2

(1)5X2+6=3X(2X+1)(2)8x?=x；⑶—=5；⑷4x?=3y；(6)x(5x—l)=x(x+3)+4x?.

3x

13.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项、一次项及常数项.

(D5x2=3x；⑵(—1)x+x?­3=0；⑶(7x—1)2-3=0；

YY

(4)(——1)(—+1)=0；(5)(6m—5)(2m+l)=m2.

A-------_2_

14.若关于x的方程(m2-4)x2+(m-2)x+加=0是一元一次方程，则m=；

若此方程是关于x的一元二次方程，则m为何实数

15.关于x的方程*+l)xIH+kx+\=0是一元二次方程，求k的值.

参考答案：

l.A2.B3.C4.C5.C6.A7.如/=1,只要符合条件即可8.ar—l91,

6,1910.611.2(1+x)+2(1+x)2=812.⑴⑵⑸

13.二次项、一次项及常数项分别为：

(1)5x2,-3x,0(2)x-(—1)x,—3⑶49x2,-14x,-2

,fH=2

14.m=-2,m±215.3点拨：4=k=3

----------k+1W0

第二讲解一元二次方程

【考点透视】

一、考纲指要

1.会用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系

数).

2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.

二、命题落点

1.掌握一元二次方程的四种解法，如例1和例3(1)。

2.一元二次方程的解法的灵活选择，如例2。.

3.有关“降次”化归等数学思想的考查，如例3(3).

【典例精析】

例1：根据要求解下列一元二次方程:

（1）2x2—8x—9=0（JU配方法）（2）（2005.武汉课改实验区）x2+5x+3=O（用公式

法）

（3）（2004.开福）/一4x+3=0（用因式分解法）

分析本题主要考查一元二次方程的几种解法的步骤和方法.

9Q

解：（1）二次项系数化为1得x2—4X—乙=0,移项x2—4X=3,

---------------------------------------------------22-

917

配方X2—4X+22=—1-4,（X—2）2=—,

22一

取一取一取宿

X—2=------或x-2=-.........，解得xi=2+-------，X2=2-----------.

22—2一—2一

22

（2）」.“=1,b=5,c=3,b—4ac=5—4x1x3=132__

.-5±A/52-12-5+V13g-5+V13-5-V13

=X=-------------------------=-2—:解，.再=―--，尤2=―2—

（3）（x~~l）（x~~3）=0,即x—1=0或x~~3=0.所以xi=l,x?=3.

例2：用适当的方法解下列方程：

⑴（2004.四川省）产+3丫=10；⑵（2005.台州市）丫3友2+］丫=①

分析对（1）小题，可根据方程的特征选择因式分解法；对（2）小题，应对原方程进

行“降次”，变为一元一次方程或一元二次方程以后再解.

解：（1）.原方程变形为+3%-10=0,即（x+5）（x-2）=o._.-.%=-5,%2=2.

（2）.原方程变形得：x（x23x+2）=02x（x-1）（%-2）=0^

•••方程的根为：3=0-壬=12x3=2,

例3：选择：（1）.（2005.南平市）将方程Y+4x+l=0配方后，原方程变形为（）

A.（X+2）2=3B.（X+4）2=3;C・（X+2）2=-3D.（x+2）2=-5

（2）（2005.无锡市）一元二次方程f-2x-3=0的根为（）

A.X]=1,^2=3B.=-1,=3C.X]=­1,%2=-3D.a=1,Q=-3

（3）（2004.青岛）用换元法解方程（」一］+—'——2=0时，若设」一=y,则原方

\x+2）x+2x+2

程可化为（）

A.Y?+y+2=0:B.y2-Y—2==0:C.丫2丫+2=0：D、近+丫-2=0

解析对（1）小题，考查配方的方法，原方程可变为炉+4x=—l,即

V+4x+22=—1+22,.・.（X+2）2=3,故选A；对（2）小题，考查一元二次方程的

解法，原方程可变为（x+1）（1—3）=01修二—1,必=3，故选B；对（3）小题，考

查的是“整体”思想，故选D。答案：（1）A；（2）B；（3）D.

【常见误区】

1.用配方法解一元二次方程时配方出现错误，开始就把方程两边都加上一次项系数的

绝对值一半的平方，应注意的是把方程的二次项系数化为1后才可以.

2.用求根公式法解一元二次方程时，只看表面现象，开始就把系数代人求根公式中，

通常应把方程写成一般形式，并写Hla、b、c的数值以及计算b?—4ac的值，当熟练掌握求

根公式后，可以简化求解过程.

3.方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如解一元二次方程-2（x+4>=3（X+

4）时，不能随便约去（x+4）,这样就造成漏根的情况了.

4.不会根据具体一元二次方程的特征灵活选择方程的解法，注意解一元二次方程时一

般不使用配方法（除特别耍求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平

方法一因式分解法一公式法.

【基础演练】

1.（2005.深圳市课改实验区）方程x2=2x的解是（）

A.x=2B.x、=-叵,X2=（）C.xi=2,X2=（）D.x=0

2.（2005.嘉峪关）方程x2-5x=0的根是（）

A.0B.0,5C.5,5D.5

3.（2004.郴州市）方程Y+6x—5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）

A.（x+=14B.（x3尸=14C.（x+6）*2=34^D.以上答案都不对

4.（2005.安徽）方程x（x+3）=（x+3）解是（）

A.xj=l;B,xj=0,x?=­3;C.xj=l,x?=3;D.xj=l,x?=-3

5.用直接开平方的方法解方程（x—3）J8,得解为（）

A.x=3+2V2B.x=3-2V2_

C..x}=3+2V2x2=3—2V2D.x}=3+2A/3x2=3-2\/3

6.(2005.河北)解一元二次方程x2-x—12=0,结果正确的是()

_____A.xj=­4,X[=3B,X]=4,x2=-3C,xj=­4,x2=-3D.xj=4,x2=3

7.(2005.温州)用换元法解方程(x2+x)2+(x2+x)=6时，如果设X2+X=Y,那么原方语可变

形为()

A.丫2+丫­6=0;B.y2—丫―6=0;C.――丫+6=0;D.丫2+丫+6=。

8.(2005彳磨州)方程*3—*=0的解是()

A.0,IB.I,TC.(),—1D.(),1,T

9.(2005.上海)已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是(只

需写出一个方程).

10.(2005.江西)方程x2—x=0的解是.

11.(2005.枣庄市课改区)方程x2—4x—3=0的解为.

12.若一个三角形的三边长均满足方程x2—6x+8=0,则此三角形的周长为

13.解下列方程：

(1)(2005.重庆)解方程：X?—2x—2=0,:(2)(x—l)(x+2)=70；

(3)(2005.自贡)2(x-l)2+5(x-l)+2=0.

14.(2004.山东青岛)用换元法解方程:+元+1=——时，若设用+%=丫，则原方程可

X+X----------

化为().

(A))2+,+2=0(B)y2-y—2=0(C)y2-y+2=0(D)y2+y-2=0

15.(2005.淮安市金湖实验区)对于二次二项式x?—10x+36,小聪同学作出汝n下结论：无

论x取什么实数，它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由.

r11a丫_3

16.(2005.内江市课改区)解方程=-=2

x-lx+1

17.关于x的一元二次方程(ax+l)(x—a)=a—2的各项系数之和为3,求a的值并解此方程。

参考答案：

l.C2..B3.A4.D5.C6.B7.A8.D

2=

9.jinx=1,只要符合条件即可10.X]=0,x2111.%,=24-V7,x2=2—V?_

12.10或1213.⑴X]=1+V3,x2-1一百；（2）xi=19,x2=8;（3）X1=-l,x2__

14.D15.不同意。理由：当x2-10x+36=ll时；x2-10x+25=0；（x15）M）,X]=X2=5

16..解：原方程变为（X+1）2-3（x-1）2=2（x+如-1）,整理得％2—2%=0,解得

%=0,x2=2，经检验均是原方程的根17.a=—1,X]=2,xz=-2

第三讲一元二次方程根的判别式与根与系数的关系

【考点透视】

一、考纲指要

1.理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况.

2.掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.

二、命题落点

1.应用根的判别式判定一元二次方程根的情况，如例1。

2.应用根的判别式与韦达定理确定待定字母的值或取值范围，如例2。

3.根据根与系数的关系.求与方程的根有关的代数式的值，如例如

4.一元二次方程根的判别式与根与系数的关系的综合应用，如例4。

【典例精析】

例1:（2005台州市）下列关于土的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）

A.x〜+1=0B•x〜+2x+1=0C.x~+2x+3=0D.x〜+2x—3=0

解析（1）小题，因为△=3?—4x4x（-2）>0,所以该方程有两个不相等的实数根.故选

B；（2）小题，因为方程有两个不相等的实数根，所以△>（）,故选D。答案：（1）B；（2）

D

例2：（2005.天津市）2005年天津市若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m~~1=0的两个实

数根XI，X2,且XI・X2>X|+X2—4,则实数m的取值范围是（）

555_1

A.rn>—B.mW—C.mV—D.—<mW一

-----上--------------------33-------

解析（1）小题，因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足

△=〃_4。。=俨_4x1x（-3）/n=1+12加>0,所以m>——.故选C；（2）小题,

△=(—2>—4x2(3〃?—1)20

-2

修+%=

2722

由<,解得—VmW—,故选D.答案：（1）C；

3m-1--------32

%1-X

22

x,•x2>%!+x2-4

（2）D.

点评：公式之间的恒等变换要熟练掌握.

例3：（2005.陕西省）已知：X］、X2是关于x的方程x2+（2a—1）x+a2=0的两个实数根

且（xi+2）（X2+2）=11,求a的值。

分析根据根与系数的关系可得xi+x2=l—2a,xi•X2=a2,代入（xi+2）（X2+2）

=11中，求出a的值，再由方程有两个实数根，所以A20,对a的值进行检验确定

其解.

解：X2是方程x?+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，，xi+x2=l-2a,

Xi-X2=a2

（X1+2）（X2+2）=11,・3112+2（X1+X2）+4=11

，a2+2（1—2a）-7=0,即a2—4a-5=0。解得a=-1,或a=5°

又,：b=（2a—1）2—4a2=l—4a20,/.—o，a=5不合题意，舍去。/.a=-1

±

注意：根据根与系数的关系求出的待定系数的值一定要满足△20,故应回代检验.

例4：（2005荆门）己知关于x的方程x2-a+l）x+^2+l=0的两根是一个矩形两邻

边的长.⑴k取何值时，方程存在两个实数根；⑵当矩形的对角线长为括时，求k

的值.

分析（析小题，因为方程存在两个实数根，所以k应取满足△》（），由此求出k

的取值范围；（2）小题，根据根与系数的关系及矩形的性质来解题.

解：⑴要使方程有两个实数根，必须△》（），即［-/+1）］2-4（为+1）为_

4

3

化简得：2k—320解之得：k>-

-------------------二

⑵设矩形的两邻边长分别为a、b,则有

a2+b2=（V5）2

<a+b=k+1解之得：ki=2,k2=-6

ab^-k2+\

〔4

山⑴可知，k=—6时，方程无实数根，所以，只能取k=2

【常见误区】

1.应用根的判别式与根与系数的关系确定待定字母的值或取值范围时，出现不回代到

△20中检验的错误，注意在应用韦达定理解题时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根

的判别式是否非负.

2.应用根与系数的关系求与两根XI、X2有关的代数式的值时，不会进行代数式的恒等变

换，使其变为含有X|+X2、XIX2的形式，通常在求代数式的值时，我们常用整体思想,先把所

求代数式变形成为含有两根之和X|+X2,•两根之积X|X2的代数式的形式,然后整体代入求值.

3.求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1,即以XI、X2为根的一元二

次方程为X2一（X|+X2）X+X1X2=O；求字母系数的值时，需使二次项系数a翔,同时满足△K）.

【基础演练】

1.（2005.梅州市）方程X2-5X-1=0（）

A.有两个相等实根B.有两个不等实根C.没有实根D.无法确定

2.（2004.聊城）使一元二次方程x2+7x+c=0有实根的最大整数。是（）

A.8B.1。C.12D.13

3.（2005.茂名市课改）若关于x的一元二次方程的两个根为XI=1.X2=2,则这个方程是（）

A.x2+3x—2=0:B.x?-3x+2=0；C.—2x+3=0:D.+3x+2=0

4.（2005嘉兴市）已知关于x的一元二次方程f-2x+a=0有实数根，则实数a的取值范

围是（）

A.aWlB.C.aW—lD.aNl

5.（2005浙江）如果一元二次方程x2-4x+2R的两个根是苞为，那么斗等于（）

A.4B.-4C.2D.-2

6.（2005台州）xj>x）是方程x〜-7x+5=0的两根，则---1------的值是（）

—

——-------------------------孙X2

7.（2005荆州）若a,B是方程d+2x—2005=0的两实根，则M+3a+7的值为（）

A.2005B.2003C.—2005D.4010

8.（2003.深圳市）己知一元二次方程2x2-3x-6=0有两个实数根xi、X2，直线1经过点A

（X1+X2，0）、B（0,X1X2）、则直线1的解析式为（）

A.y=2x-3B.y=2x+3C・y=-2x—3D.y=­2x+3

9.（2005.上海）如果关于x的方程/+4x+a=0有两个相等的实数根，那么a=

10.（2005.无锡市）设xi、X2是方程？-2x-2=0的两个实数根，则xi+x?=；

xi*x2=

11.（2005.内江市课改区）等腰AABC中，BC=8,AB、AC的长是关于x的方程

♦—101+。=0的两根，则色的值是。

12.（2004.上海）关于*的一元二次方程0^2—（301—1州+2111—1=0,其根的判别式的值为1,求m

的值及该方程的根.

13.（2005.丽水）已知关于x的一元二次方程x2-（k+l）x-6=0的一个根是2,

求方程的另一根和k的值.

14.（2004.南昌）已知关于x的方程x2-2（m+l）x+m2=O

⑴当m取什么值时,原方程没有实数根.

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和.

15.（2004.福建厦门）已知关于x的方程X2—（a+b）x+ab~~2=0.X2是此方程的两个

实数根，现给出三个结论：

（1）x#x?（2）xix2>ab（3）xj+x22>a2+bi

则正确结论的序号是.（在横线上填上所有正确结论的序号）

16.（2005.兰州市）已知关于x的一元二次方程x：—2（R+r）x+cPn。没有实数根,

其中R、r分别为00-。。、的半径，d为两圆的圆心距，则。Oi与。。、的位置关

系是（）

A.外离B.相交C.外切D.内切

17.（2005.南通市）已知关于土的方程/-乙+炉+〃=0有两个不相等的实数根%/月

(2%|+)—8(2%1+x,)+15—0.

⑴求证：n<0;⑵试用k的代数式表示%;⑶当n=-3时，求k的值.

参考答案：

LB2.C3.B4.A5.A6.A7.B8.A9.4102,—2II.16或25

3

12.m=2：xi=—.X2=l13.方程的另一根为xi=-3.,k=—2

-2

14.解:(])△=[—2(m+l)]2-4m2=4(m2+2m+l)-4m2=4(2m+l)<0，mv-,.当m<一已时,

原方程没有实数根.⑵取m=l时.原方程为x2—4x+l=0,设此方程的两实数根为"X2.,

则xi+x2=4*xrX2=L...x/+x22=(xi+x2)2—2xrX2=42-2xl=141m取其他符合要求的值也可.]

15.(1)(3)16.A

17.解：⑴证明:•关于2的方程X2一人+尸+”=0有两个不相等的实数根,

k2-4(公+,?)=-3k2-4">()』<——k2^-k2<0.

-------------------------------------------------4---------------

A^<0.(2)%,=3_攵或玉=5—女.(3)当$=3-k时,k=l.

当X=5-2时,k不存在.所求的k的值为1.

第四讲一元二次方程的应用

【考点透视】

一、考纲指要

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程解决简单的实际问题，并能检验

解的合理性.

2.总结并运用方程来解决实际问题的一般步骤，培养数学应用能力.

二、命题落点

1.与数字、行程、工程、几何图形等有关的常规问题，如例1、例2。

2.与增长率等有关的问题，如例3。

3.与储蓄、利润、盈亏等有关的问题，如例4。

【典例精析】

例2：(2003.湘潭市)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表

示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意据U出方程为()

A.x(x+1)=2550B.x(x-l)=2550

C.2x(x+1)=2550D.x(xT)=2550X2

解析由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x-l)

张相片，全班共送出x(x—l)张相片，可列方程为x(x—1)=2550.故选B答

案:B.

例3：(2002.福州市)为落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策.某地区计划经过

若干年开发“改造后可利用土地”360平方千米，实际施工中，每年比原计划多开发

2平方千米，按此进行预计可提前6年完成开发任务，问实际每年可开发多少平方千

米？

分析依题意，设实际每年可开发无平方千米，则原计划每年可开发(X—2)平方千

米，根据“原计划所需年数一实际所需年数=6”的等量关系来列出方程.

解：设实际每年可开发x平方千米，则依题意得：建一出=6

%—2x

整理得建一2%—120=0,解得：.'.Xi=12,龙2=-10

经检验：汨=12,次=-10都是原方程的解，但即=-10不合题意舍去，

所以只取x=I2

答：实际每年可开发12平方千米.

例5：（2004.郴州市）今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税.某乡今年人

均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相

同.

（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？

（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税.

分析本题是一个是农业有关的问题，从问题出发去解答，可列一元二次方程来这两

年降低的百分率.

解：（1）设降低的百分率为x,依题意有25（1-x）2=16,

解得即=0.2=20%,4=1.8（舍去），这两年降低的百分率是20%.

（2）小红全家少上缴税25X20%X4=20（元）

（3）全乡少上缴税16000X25X20%=80000（元）

例6：（2004.海口实验区）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每

天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，

日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时乂要使顾客得到实

惠，那么每千克应涨价多少元？

分析依题意，设每千克水果应涨价x元，则日销售量为（500—20x）千克，根据

等量关系“水果每千克的利润义每天日销售量=6000元”列出方程.

解：设每千克水果应涨价x元，依题意得方程：（500—20x）（10+x）=6000

整理，得X2-15X+50=0解这个方程，得XI=5,X2=10

要使顾客得到实惠，应取x=5答：每千克水果应涨价5元.

【常见误区】

1.在列一元二次方程解应用题时，找不准或找错等量关系是我们常犯的错误，相等关

系的探求可从以下几个方面进行：（1）分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则基

本数量关系应明确s=vt；如是直角三角形中，基本数量关系为勾股定理；（2）注意总结各类

应用题中常用的等量关系，如增长率问题，则基本数量关系为：实际产量=原产量+增产量=

原产量X。+增长率）"，（n为间隔时间）；（3）从语言叙述中寻找存在的相等关系.

2.解应用题时，最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义，不符合实际意义

的值要舍去.

【基础演练】

1.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则两直角边的长分别为

(_1

A.4cm,8cmB.6cm,8cmC.4cm,10cmD.7cm,7cm

2.某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。若平均每月增率是3，则

可以列方程()

A.500(1+2x)=720500(1+x)2=720

C.500(1+x2)^720720(1+x)2=500

3.从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2,则原来的正方形

铁皮的面积是()

A.9cm2B.68cm2C.8cm2D.64cm)

4.三个连续正整数，最大数的立方与最小数的立方差比中间一数的40倍大16,则这三个数

分别是.

5.某种型号的微机，原售价为7200元/台，经过连续两次降价后，现售价为3528元/台，则

平均每次的百分率为.

6某超市1月份的营业额为200万元，1月、2月、3月的营业额共1000万元，•如果平均

每月增长率为x,则由题意列方程应为,----------,---------q

7.(2005.南昌)如右图所示为长方形时钟钟面示意图，时钟100V12

的中心在长方形对角线的交疔上，长方形的宽为20厘米，3-

钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为_________b——I_2____L

厘米.

8.(2(X)5.大连市课改地区)某企业的年产值在两年内从1000万兀增加到1210万兀，求平

均每年增长的百分率。

9.(2003.河南省)在抗击“SARS”的过程中，某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等

数量的防护服。开始时，乙比甲每天少做3件，到甲、乙两人都剩下80件时，乙比甲

多做了2天，这时，甲保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5件，

这样甲、乙两人同时完成了任务.求甲、乙两人原来每天各做多少件防护服.

10.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时,

平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要

想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?

参考答案：

l.B2.B3.D46,7,85.30%6.200+200(1+x)+200(1+x)2=10()。7.20百

8.平均每年增长的百分率为10%

9.甲原来每天做8件防护服，乙原来每天做5件防护服

10.解：设每台冰箱的定价应为x元，根据题意，得(x—2500)(8+4X2二900——-x)=5000.解

-------------------------------------------------------------------------50

这个方程，得X|=X2=2750.，每台冰箱应定价2750元

单元测试题

满分：120分时间：90分钟

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1.（2006年广州）一元二次方程x2—2x—3=0的两个根分别为（）.

A.X[=l,x[=3B,X[=l,X2=-3

C.Xi=­1，X2=3D.XI=-1，X2=-3

2.（2005.武汉市）一元二次方程/一1=。的根为（）.

A.x=lB.x=-lC.,工1=1,4=~-1D.x=2

3.（2005.湖州市）方程x2（x-l）=0的根是（）

A.0B.1C.0,—1D.0,1

4.（2005.武汉市）不解方程，判别方程5/一7x+5=0的根的情况是（）.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

5.（2005.扬州市）关于x的方程依2+3x-1=0行实数根，则K的取值范围是（）

9999

A.k＜一一B.k＞——且kwOC.k＞一一D.k＞一一且kwO

4~44~4

6.（2005.浙江省）用换元法解方程（x2-x）-Vx2-x=6时，如果设Jx?—x=y,那么原方程

可变为（）

A.y2+y-6=0B.y2+y+6=0C.y2-y-6=0D.y2-y+6=0

7.（2005温州）若xi、X2是方程x2-3x+1=0的两个实数根，则工+工的值是（）

------------------------------------------------------------玄-......

A.3B.—3C.5D.1

8.已知a,B满足a+B=5,a•B=6,以a、B为两根的一元二次方程是（）

A.x?+5x+6=0B.x?-5x+6=0C.x2-5x—6=0D.x?+5x-6=0

9.（2003.北京市海淀区）若y2+4y+4+y/x+y-l=0,则xv的值等于（）

A.-6B.-2C.2D.6

10.（200瓦州市）两圆的语R、/分别是方程x2—3x+2=0的两根，且圆心距d=3,则两

圆的位置关系为（）

A.外切B.内切C.外离D.相交

二、填空题：（每空3分，共24分）

11.（2005.江西省）若方程工2一/〃=0有整数根，则机的值可以是_________（只填一个）

12.（2006年攀枝花市）方程/—3x—6=0与方程/一6x+3=0的所有根的乘积

是。

13.关于x的一元二次方程x2—x+a（l—a）=0有两个不相等的正根，则a可取值为.（只

有填写一个可能的数值即可）.

14.（2004天津若关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m・的值为.

15.（2003.重庆）已知xi、X2是关于x的方程（a—I）x2+x+a2-l=（）的两个实数根，且x1+x2=L

----------------------------------------------------------------3

则X「X2=.

16.（2004.大连）关于X的一元二次方程+fax+c=0的两根为f=1-々=2，则

/+fex+c分解因式的结果为