新教材人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用 重点题分类

第五章一元函数的导数及其应用

1.导数定义及导数的函数性质应用..............................................1

2.切线......................................................................18

3.导数单调性、极值讨论求参.................................................36

4.原函数导函数混合还原构造................................................61

5.导数不等式证明与求参.....................................................84

1.导数定义及导数的函数性质应用

1.导数定义：极限基础型

【典例分析】

已知函数/(x)=Y+l,则lim“2+/U)-〃2)=()

30Ax

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解.

【详解】由题意lim〃2+/二"2)=/⑵，

Ax

因为/(尤)=炉+1,所以尸(x)=2x,即/⑵=4；

【变式训练】

1.已知函数的定义域为R，若lim，0+△：)—/⑴=1,则/11)=()

…。2A%

A.1B.2C.gD.4

【答案】B

【分析】利用导数的定义可求得尸(1)的值.

【详解】解：因为lim，"△:〜⑴=1,所以Llim小孕二^D=l,由导数的定义可

得;广⑴=1，所以/'⑴=2.

2.已知函数〃x)在x=x0处的导数为_2,则然/宙+?一〃/)等于()

A.12B.-1C.2D.1

【答案】A

【分析】根据导数的定义，即可判断.

【详解】根据导数的定义可知】im。+'）一/（/）=r（x）=-2.

"XV0

20k

3.已知函数/（x）在x=%处的导数为2,则lim/（/+—）一/（而）=（）

AX

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】B

【分析】利用导数的定义即得.

【详解】•••函数/（X）在x=x0处的导数为2,

/（%+-）-/（%）

••11111---------------------------------------------------N.

-Ax

2.导数定义计算：极限倍系数型

【典例分析】

若]而小土吧上9=1为常数），则（（%）等于（）

A.一加B.1C.mD.—

m

沪教版（2020）选修第二册单元训练第5章导数及其应用单元测试（B卷）

【答案】D

【解析】根据导数的概念，直接计算，即可得出结果.

【详解】由题意，根据导数的概念可得，

i仆必

im5）=w.limL=],

-Ax加一。mAx

所以r（/）=L

m

【变式训练】

1.已知函数“X）的导数广（X）存在，且『'（1）=2,贝him空学4D=（）

At->o-2Ax

A.JB.——C.1D.-1

【答案】D

【分析】本题根据7•'(x0)=lim4%+—)-/(*整理计算.

【详解】lim

AsO-2Ax

2.设段)是可导函数，且lim，"-"I/⑴=2,则/(1)=()

At-Ax

A.2B.--C.-1D.-2

3

【答案】B

【分析】由已知及导数的定义求尸(1)即可.

【详解】由题设，r(l)=lim，⑴二4一3例=二.

Zo3Ax3

3.已知函数〃x)的导函数为/'(x),且/⑴=3,则lim/(1+&)_/(1)=()

-3Ax

A.—1B.3C.-D.I

3

【答案】D

【分析1根据导数的定义即可计算.

川+3-〃1)

【详解】由题意可得lim川+心)-/⑴=-lim=1ro)=i-

山->03Ar3AA->0Ax

3.导数定义计算：切割交换位置型

【典例分析】

已知函数/(X)在七处的导数为了'(%),则1加/(")一〃.一'”>)等于()

AXTO八丫

A.，矿(%)B.一时'(x())C.-'r(xo)D.

tnm

【答案】A

【分析】利用导数的定义即可求出.

lim心匕®吧Lmli号一曲)，㈤二mf'ixA

【详解】m

&JOAx以->°(x0-wAr)-x0

【变式训练】

1设）（X）存在导函数且满足则/⑴二《：一2"）=-1,则曲线y=f（X）上的点（1J（1））处的

切线的斜率为（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【分析】由导数的定义及几何意义即可求解.

/(l)-(l2^)_

【详解】解：因为/（x）存在导函数且满足更5,=iimZ2=1

2ArAiOl-(l-2Ax)

所以/'⑴=T,即曲线y=〃x）上的点（1,/（1））处的切线的斜率为-1,

2.设函数y=/（x）在R上可导，则lim/（0）二〃竺）=（）

&TOAX

A.f'（o）B.-r（0）C.f\x）D.以上都不对

【答案】B

【分析】利用导数的定义可得结果.

【详解】由导数的定义可知lim/⑼-"㈤=-lim"㈤-"。）=_r（o）.

心->oAx右―AX

3.设/（x）是可导函数，且lim2Ax）=2,则/'（%）=（）

Av^OAX

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】结合导数的定义求得正确答案.

［详解】lim/（/）-7（%—2Ax）=2xhm八%）二/（2-2Ar）=?,

Ax-i2AX

所以ruo)=Iim八%)一/(%-2&)=]

4To2Ax

4.导数定义计算：双割点逼近型

【典例分析】

设在x=x°处可导，贝him/(/+-)_/(/_.)=().

52〃

A.2/(%)B.

c.f'MD.4/'(x0)

【答案】C

【分析】根据导数的定义即可求解.

【详解】解：••"(X)在/处可导，

〃/+/?)-/(与一公=广西)

lim

/»->02h

【变式训练】

1.已知函数〃X)在x=x0处可导，若1加"/+2_)-/优_.)=2,则尸优)=()

-Ax

12

A.1B.-C.3D.4

33

【答案】D

【分析】利用导数的定义分析即可.

【详解】由题意，根据导数的定义有

../(x+2Ax)-/(x-Ax)_/(x+2Ax)-/(x)+/(x)-/(x-Ax)

nm00-urnflu00

-Ax-AJV

/(x„+2Ar)-/(x„)=，'■)所以/'1)=*

乙muIuni

2202Ax—20-AX=25

2.若函数y=/(x)在x=x°处可导，则lim等于()

A.f\xo)B.2f\xo)C.-2f'(xo)D.0

【答案】B

[分析]转化为lim“％+))一,㈤+lim"x。--〃x。),然后根据导数的定义得解.

方->0h-/i—>o—h

【详解】iim/(xo+A)-/(xo-A)*仆〃)一/伉)+/小)一仆/?)

力->。h/i->oh

=limf(题+“)—〃/)+/(/)—/&-〃)=lim"/+')—/[)+lim，(--“)一"与)

/»—>0pi〃T0%-h—>0—/?

=lim"%+八)一/(%)+1加/仇+心)一〃%)=21[)

As。AXAJ°AX

3.已知函数〃x)在x=x。处可导，若lim.优+—/-,则/'(%)=()

△XTO△%

A.1B.-C.3D.—

34

【答案】D

【分析】根据导数的定义，利用lim『(xo+SaxLHxLax)二八),即可求出结论.

△ATO4AX

［详解］lim/您+34力_/(/一入0

△10△%

=4期/优+3笥7(/3)="，(％)=1/(%)=i.

△XTO4AX4

5.导数定义应用：切割线斜率型

【典例分析】

已知函数/（X）的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）

A.0<r（2）</（3）</（3）-/（2）

B.0<〃3）-/⑵〈4⑵</"）

c.o<r（3）<r（2）</（3）-/（2）

D.0<r（3）</（3）-/（2）</（2）

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义和直线的斜率公式，结合图象得出答案.

【详解】/'⑵和/（3）分别表示函数f（x）在x=2和x=3处的切线斜率，结合图象可得

0</⑶</⑵，而〃3）-/（2）="匕n9,表示过x=2和x=3两点的直线斜率，则

3—2

0<r（3）</（3）-/（2）</（2）

【变式训练】

1.函数y=/(x)的图象如图所示，r(x)是函数"X)的导函数，则下列数值排序正确的是()

A.2/((4)<2/((2)</(4)-/(2)

B.2/(2)</(4)-/(2)<2/-(4)

C.2/,(2)<2r(4)</(4)-/(2)

D.〃4)_〃2)<2/(4)<2/⑵

【答案】B

【分析】由导数的儿何意义判断

【详解】由图象可知/(X)在(0,田)上单调递增

故r(2)<"之⑷<-(4),即2r(2)</(4)-〃2)<2/(4)

2..曲线y=f(x)在尸-1处的切线如图所示，则/(T)-/(-l)=()

A.0B.-1C.1D.--

2

【答案】A

【分析】结合切线求出斜率尸(T)和切线方程，即可求得切点，进而求出即可求解

-2-0

【详解，由图可知，/(T)二西百=一1，又切线过(。，-2),故切线方程为：y=-%-2,

当x=-l时,/(-1)=-(-1)-2=-1,故/(T)_f(T)=0

3.己知y=/(x)是可导函数，如图，直线y=Ax+2是曲线y=*x)在x=3处的切线，令奴工)=犹%),

g'(x)是g(x)的导函数，则/(3)=()

C.2D.4

【答案】B

［分析］由图可知，八3)=I,曲线尸危)在x=3处切线的斜率等于-g，从而可得/⑶=，

然后对函数g(x)求导，进而可求得戈(3)的值

【详解】由题图可知曲线y=/(x)在x=3处切线的斜率等于-g,

/⑶=-：,

■.*g(x)=xf(x),

g(x)=/(x)+V'(x)，

•••g(3)=八3)+37⑶，

又由题图可知/(3)=1,所以g⑶=l+3x(-；)=0.

6.复合函数求导计算

【典例分析】

下列求导运算正确的是()

A.fsin=cosjB.Ix2cos=2xsin3x+3x2sin3x

、，1

C.(ztanx)=——D.[m(2x+l)]'=七

sinx

【答案】D

【分析】利用基本初等函数、复合函数以及导数的运算法则可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，［n1)=0,A错；

对T"B选项，(fcos3x)=2xcos3x-3fsin3x,B错;

对于c选项，(tanx)，/*'=Cn"<,c错;

ICOSXJCOS-XCOS-X

对于D选项，[~ln(2x+l)~|=2,D对.

L2x+l

【变式训练】

1.下列求函数的导数正确的是()

L~1，2I

A.[ln(2x+l)]=2+]B.(3尸")=e5x-4

D・sinl2x+yI=-2cos[2x+1

【答案】AC

【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误.

【详解】[g+l)]'=高，『)最51,(gj4看心.『=看,

(2呜[]=2cos(2x+()

sin

2.己知y=ln[^

,则y'=

【答案T

【分析】化简可得y=g[ln(x+l)-ln(x-l)],然后根据复合函数的求导公式即可得出答案.

【详解】因为y=inj注=lnlnX+1g[ln(x+l)-In(x-l)],

4x-1

2

所以yf察-3*=舟2(x7)X-1'

3.已知函数/(x)=ln(2x+l),则/(0)=.

【答案】2

【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值.

2

【详解】由题意=所以r(0)=2.

2x+l

7.含导数值式子求导计算

【典例分析】

已知函数/(X)=/'(o)In(2x+1)-2x+cosx,则7(0)=.

【答案】2

【分析】求出了'(x),令x=0,即可解出.

2

【详解】因为/l(xhKOUnQx+D-Zr+cosx,所以尸(x)=/"(0)xy^j-2-sinx,令x=0,

/⑼=〃0)x2—2,解得：/'(O)=2.

【变式训练】

1.已知函数〃x)=sin2x+r(0)co&r-l,则〃0)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】求得f(x),通过赋值求得八0),再求了⑼即可.

【详解】因为/(x)=sin2x+/'(0)cosx-l,

故可得/'(X)=2cos2x-/'(0)sinx,

令x=0,则/'(0)=2,故/(x)=sin2x+2cosw-1,

则/⑼=1.

2.若/(x)在R上可导，f(x)=3x2-5f\2)x-2,则/"'(2)=()

A.1B.—1C.—2D.2

【答案】D

【分析】求出导数，再代值计算即可.

【详解】解:由/(x)=3x2—5((2)x—2,可得f(x)=6x—5/(2),

所以〃2)=6x2-5/，⑵,解得"2)=2.

3.若“X)在H上可导，3_f(l)In4x—2,则/'(；)=()

A.—B.——C.1D.-1

22

【答案】B

【分析】对函数求导可得:(犬)=2工-“生.代入x=l,首先求得尸(1)=；,再代入x

X4

即可得解.

【详解】由/（x）=x2—3/'（l）ln4x—2,求导得/（耳=,令x=l,得

广⑴=2-3"1）,解得/⑴=；,所以1（x）=2x-2,所以/]1=-*

8.抽象型复合函数计算

【典例分析】

已知/（X）是定义在R上的函数，且函数y=/（2x+l）的图象关于直线X=1对称，当时，

/（x）=ln（l-2x）,则曲线y=/（x）在x=6处的切线方程是（）

A.J=2xln3-121n3B.y=-x+6

C.y=2x—\2D.y——2x+12

【答案】c

【分析】根据题目所给的对称性得到〃2X+3）=/（3-2X）,进一步得到"X）=/（6-X）,再

求出*>£时的解析式，再求导代入即可.

【详解】因为函数y=〃2x+l）的图象关于宜线x=l对称，

所以/（2（l+x）+l）=/（2（l—x）+l）,HP/（2x+3）=/（3-2x）.

用x代换上式中的2x,即可得到〃x+3）=/（3-x）,所以〃x）关于直线x=3对称.

由/（x+3）=〃3-x）得〃x）=〃6-x）,若x>*则二当x>£时，

/（x）=/（6-x）=ln（l-2（6-x））=ln（2x-ll）,/（6）=0,f'（）=-±-,/（6）=2,所以

x2.x-\\

曲线y=f（x）在x=6处的切线方程是:y-0=2（x-6）,即y=2x-12.

【变式训练】

1.己知函数/（x）在R上可导，函数/（%）=/卜2-4）+/（4-*2）,则/，⑵等于（）

A.-1B.0C.ID.2

【答案】B

【分析】利用复合函数求导法则运算即可.

【详解】•.•网力=/任-4）+/（4-巧，.•.3（力=2矿廿一4）-2与（4一巧,

.••尸[2）=47（0）-47（0）=0.

2.已知定义在H上的函数/(x)满足：/(1+x)=/(l-x),K/(2+x)=-/(2-x),尸(x)是

〃力的导数,则()

A./'(X)是奇函数，且是周期函数B.尸(x)是偶函数，且是周期函数

C.尸(x)是奇函数，且不是周期函数D./'(X)是偶函数，且不是周期函数

【答案】B

［分析］根据题意，对/(l+x)=/(I-X)和/(2+A-)=-/(2-X)变形分析可得：f(x+4)=/(x)

以及〃-x)=-4X),由复合函数的导数计算公式分析可得答案.

【详解】解:根据题意,定义在R匕的函数fM满足/(I+x)=/(I-x),则有/(-x)=/(2+x),

又由"2+x)=-/(2-x),则/(-*)=-/(4+x),

则有"X+4)=-f{x+2),即/(x+2)=-/(x),

变形可得：/(x+4)=-/(x+2)=/(x),故/(x)是周期为4的周期函数，

则r(x+4)=f/(x+4)T=/(x),故f\x)是周期函数，

又由f(T)=/(2+X)=—“X),即W(T),

故/(―x)=—卜(-x)T=/(x),即八口是偶函数，

3.设定义在R上的函数“X)与g(x)的导数分别为f\x)与g'(x),若〃x+3)=g(-x)+2,

尸(x-l)=g，(x),且g(-x+l)=-g(x+l),则()

A.g(l)=lB.g'(x)的图像关于点(2,0)对称

C.g(x)的图像关于直线x=2对称D.g(x)的周期为4

【答案】BCD

【分析】根据函数的对称性及周期性的条件判断即可.

【详解】解：•」g(—x+D=-g(x+l)，令x=0,得g⑴=0,故A错误；

.r(x-l)=g〈x),r(x)=g，(x+l),f(x)=g(x+l)+a,V/(x+3)=g(-x)+2,

•・J(x)=g(3-x)+2,

g(x+l)+a=g(3-x)+2,令x=l,得a=2,，g(x+l)=g(3-x),，g(x)关于直线x=2

对称，

.•.g'(x+l)=-g'(3-x),函数g'(x)的图像关于点(2,0)对称，故B、C正确；

g(-x+l)=-g(x+l),:.g(x)=-g(2-x),g(x+\)=g(3-x),;.g(x)=g(4-x),

，g(4-x)=-g(2-x),即g(2+x)=-g(x),.,.g(4+x)=-g(2+x)=g(x),

，g(x)的周期T=4,故D正确.

9.导数有关的函数性质(奇偶性、对称性等)

【典例分析】

已知“X)及其导函数尸(X)的定义域均为R,若〃1-2力为奇函数，〃2x-l)为偶函数.设

8

/'(0)=1,则Z/'(2k)=

k=l

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】根据f(l-2x)为奇函数，得至=(1+x)=-"1),两边同时求导得到了'(X)的图象

关于直线x=l对称，同理由/(2x-l)为偶函数，得到函数((x)的图象关于点(-1,0)对称，

两者联立得到尸(x)为周期函数，且周期为8求解.

【详解】解：因为/(I—2力为奇函数，所以〃1+2力=一/(1一2可，即〃l+x)=-/(l-x),

两边同时求导，贝U有/''(l+x)=r(l—x),所以尸(可的图象关于直线x=l对称.

因为〃2x—1)为偶函数，所以〃—2x-l)=/(2x—1),即/(_l_x)=〃T+x),

两边同时求导，则有-l-x)=/'(-l+x),所以函数((x)的图象关于点(TO)对称.

所以，f\x)=f'(2-x)=-f'(x-4),尸(x+8)­)=1(x),

所以，函数尸(x)为周期函数，且周期为8,

则有尸(0)=/'(2)=/'(8)=((10)=尸(16)=1,((4)=((6)=((12)=1(14)=一1,

8

所以Zr(2A)=r⑵+/(4)++广(12)+尸(14)+1(16)=0.

k=l

【变式训练】

1.已知函数“X)及其导函数((X)的定义域均为R,且〃5x+2)是偶函数，记g(x)=r(x),

g(x+l)也是偶函数，则广(2022)的值为()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根据/(5x+2)是偶函数，可得”-5x+2)=/(5x+2)，求导推得g(x)=-g(-x+4),

从而求得g(2)=0,再根据g(x+l)为偶函数，可推得g(x+4)=g(x),即4是函数g(x)的一

个周期，由此可求得答案.

【详解】因为/(5x+2)是偶函数,所以/(_5x+2)=f(5x+2),

两边求导得一5/'(-5X+2)=5/'(5X+2),即一f(—5x+2)=/'(5x+2),

所以g(5x+2)=-g(—5x+2),即g(x)=-g(—x+4),

令x=2可得g(2)=-g⑵，即g(2)=0,

因为g(x+l)为偶函数，

所以g(x+l)=g(-x+l),即g(x)=g(-x+2),

所以-g(—x+4)=g(—x+2),即g(x)=-g(x+2),

；.g(x+4)=-g(x+2)=g(x),所以4是函数g(x)的一个周期，

所以尸(2022)=5(2022)=g(505x4+2)=g(2)=0,

2.已知函数f(x)及其导函数尸(x)的定义域都为R,且-2x)为偶函数，f(x+2)为奇函

数，则()

A./(1)=0B.(⑵=0

C.广(2022)+“2021)=0D./(2022)+/,(2021)=0

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性，推出函数f(x)与导函数尸(x)的周期性，利用周期性进行转化

求解即可.

【详解】解：由〃1一2刈为偶函数知，/(l-2x)=/(l+2x),即"1—x)=/(l+x),

即函数f(x)关于x=l对称，则/(x)=/(2-x),

由/(x+2)是奇函数知，/(x+2)=-f(r+2),即函数f(x)关于点(2,0)对称，

则/(x)=-/(4-x),且"2)=0,

所以〃2-司=一〃4一力，BP/(x)=/(x+4),即函数f(x)的周期是4,

则/(2022)="2+505x4)=/(2)=0；

又-2x)="1+2x)=[41-2力]'=[〃1+2%)],

所以-27(1-2力=2f(l+2x),则-r(1-2司=((l+2x),即-尸(1—x)=/'(1+x)

所以r(x)=-r(2—x),即导函数/,a)关于点。,0)对称，且/'(i)=o.

由/(x)=/(x+4)=r(x)=/'(x+4),即导函数r(x)的周期是4,

则广(2021)=/(1+505*4)=/(1)=0；

所以「(2021)+/(2022)=0.

3.已知函数/(X)是定义在R上的偶函数，且/(x+1)为奇函数.若/'⑴=一2,则曲线y=/(x)

在点(-9,"-9))处的切线方程为()

A.2x-y+14=0B.2x+y+14=0

C.2x+y+18=0D.2x-y+\8=0

【答案】D

【分析】由题可得函数/(X)的周期为4,可求7■(—9)=0,利用/。+2)=-/(一幻=一/(幻可

得/'(x+2)=/'(-幻=—/'(*),可求/'(-9)=2,即得切线方程.

【详解】•••函数/(X)是定义在R上的偶函数，且/(x+1)为奇函数，

/./(-x)=f(x),—/(X+1)=f(-x+1),f(x+2)=-/(-x)=-/(x),

/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

.••函数FOO的周期为4,

令4一1可得/(I)=-/(-I)=-/(I)即/(I)=/(-1)=0/(-9)=/(-I)=/(I)=0,

由f(x+2)=-f(-x)=-/(x)得/'(X+2)=f'(-x)=-f\x),

/'(x+4)=f\x),又((1)=一2r(-9)=r(-i)=-/口)=2,

曲线y="x)在点(一9,/(一9))处的切线方程为y—0=2(x+9)即2x-y+18=0.故选：D.

10.对称型求导数值(中心与轴对称)

【典例分析】

已知函数/(X)=2(岛］+/⑶+sinx(xeR),则/(2021)+/(-2021)+-(2021)-/'(-2021)=

()

A.0B.2C.2021D.2022

【答案】B

【分析】求/'(X)可得广(x)为偶函数，可得/'(2021)-广(-2021)=0,计算f(x)+/(-x)可得

定值，即可求解.

c，(、-2x2021*xIn20212()2()

【详解】因为/(力=―(2021，+1『—+2°21L+cosx,

—2x202fin2021

+2021(-X)2020+COS(-X)

(202rv+i)2

-2xln2021

x

202l、2(PO/、一2x2021*xIn2021.2020\

=/、2+202l(-x)+cos(-x)=---------------------——+202lx2020+cosx=/7x)p

(202T+1Y(2021,+1)一

12021V,

-(-x)=r(x),所以「(X)是偶函数，所以f‘(x)—r(T)=o,又因为

/(%)+f(-x)=---+%202'+sinx+——-——+(-%)2021+sin(-x)

2021,+1202L+1

=---+=2,所以/(2021)+/(-2021)+/(2021)-f\-2Q21)=2+0=2.

202U+12021'+1

【变式训练】

1.已知函数"x)=(x+"+：nx,其导函数记为尸(X),则

〃389)+r(389)+〃—389)—/'(—389)=()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【分析】函数〃x)=l+号*，分析其性质可求〃389)+f(-389)的值，再求尸(x)并

讨论其性质即可作答.

【详解】由己知得〃力=1+坐*,

(2+cosx)(x2+l)-(2x+sinx)-2x

则ra)=-------------'-----------,显然ra)为偶函数.

令g(x)=/(x)-l=2?：丁,显然g(x)为奇函数.

又/'(X)为偶函数，所以/'(389)—/'(—389)=0,

/(389)+/(-389)=g(389)+1+g(-389)+1=2,

所以/(389)+/'(389)+/(―389)—/'(―389)=2.

2.已知函数⑴1in(x+力+x+l,尸⑴为/(x)的导函数，则

卜2+cosx

/(-2023)+/,(-2023)+/(2023)(2023)=.

【答案】1

【分析】变形给定函数式，求出导函数形(x),再探讨函数f(x)与其导函数尸(x)的性质,

即可计算作答.

【详解】函数〃、*sinx+；cosx+x+l百sinx+2x1,其定义域为R,令

/(X)=----------------------------=-----------------+一

2+cosx4+2cosx2

/、\/3sinx+2x

=4+2；-c-o--s--x--，

显然g(_x)=』sin(-x)+2(-x)=_#sinx+2x=一8(幻，即函数g。)是R上的奇函数，

4+2cos(-x)4+2cosx

fM=g(x)+；,因此/(-X)+/(x)=g(-x)+g+g(x)+；=1,/(-2023)+/(2023)=1,

由g(-x)=-g(x)两边求导得：-g，(-x)=-g，(x),即g'(-x)=g'(x),

而f'(X)=g'M，于是得f'(x)-f'(-x)=gXx)-g'(-x)=0,(-2023)-/(2023)=0,

所以/(-2023)+尸(-2023)+/(2023)-f'[2023)=1.

3.已知函数/(*)=公访31+加+3(。€氏3€中，/'(X)为"X)的导函数，贝I]

/(2021)+/(-202\)+f'(2022)-f(-2022)=()

A.0B.2021C.2022D.6

【答案】D

【分析】令g(x)=asin3x+/z?,判断g(x)、/(力的奇偶性，借助奇偶性计算即可作答.

【详解】依题意，的定义域为R，令g(x)=asin3x+公3,则

^(-x)=asin3(-x)+b(-xY=-g(x),

即g(x)是奇函数,有g(2021)+g(-2021)=0,则

/(2021)+/(-2021)=g(2021)+3+g(-2021)+3=6,

又f\x)-3acos3x+3l>x2,且有=3acos3(-x)+3b(-x)2=f'(x),即/'(x)是偶数,

/,(2022)-//(-2022)=0,

所以/(2021)+/(—2021)+r(2022)—/'(—2022)=6.

2彻线

1.切线基础1:有切点求切线

【典例分析】

曲线y=sinx+e■'在x=0处的切线方程是()

A.x—3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x—y+l=0D.3x—y+1=0

【答案】C

【解析】

丫'=85*+/,当*=0时，y'=2,即切线的斜率为2,通过选项可看出C符合题意。故选C

【变式训练】

CCSX।7tI

1.曲线y=一_•在点二」处的切线方程为（）.

sinx）

7T

A.2x—y——+1—0B.2x—^———1=0

C.2x4*y--+1=0D.2x+y-^-1=0

【答案】D

【分析】

利用导数求得切线的斜率，再根据点斜式即可求得切线方程.

【详解】

-sin2x-cos2x

—「，切线斜率为左=—2,

sin2xsinx

切线方程为y-l=-2x-^\,即2%+>_工_1=0..

I4J2

2.曲线y=xei在点（1,1）处切线的斜率等于（）.

A.2eB.eC.2D.1

【答案】C

试题分析：由,=旄口，得）•'=/"»+M"，故=故切线的斜率为2.

f+2x

3.曲线y=在（0,0）处的切线方程为.

ex

【答案】y=2x

【分析】

求导y=（2*+2）-（f+2x）,计算&=>1力=2,得到切线方程.

ex

【详解】

(2x+2)ev-^(x2+2x)(2x+2)-(x2+2%)

故我=—=2,

故所求切线方程为y=2x.

2.切线基础2：有切线（斜率）求参

【典例分析】

若曲线y=依2一mx在点（1,。）处的切线平行于x轴，则。=.

【答案】《

【分析】

【详解】由函数的解析式可得：y'^2ax--,曲线丁二口^一皿》在点代公处的切线平行

X

于X轴，

结合题意有：y'L[=2a—1=0,二。=：.

【变式训练】

1.曲线〃x）=g/+xlnx在点（1,/⑴）处的切线与直线分一y-1=0垂直，则。=.

【答案】二.

2

【分析】

先对函数/。心（^+犬卜工求导，求出其在点（1,/（I））处的切线斜率，进而可求出结果.

【详解】

因为=+x\nx,所以r(x)=x+lnx+l,

因此，曲线/(力:3^+工山》在点(i,/(I))处的切线斜率为女=/，(i)=i+i=2；

又该切线与直线打一丁一1=0垂直，所以。=一,.故答案为—,

22

2.己知函数/(x)=m(2x+1)3—2",若曲线y=/(x)在(0J(0))处的切线与直线

4x+y-2=0平行，则〃2=.

【答案】T

【分析】

先求导/")=6皿2x+l)2-2e'J'(0)=6m-2,再根据导数的儿何意义，W,f(0)=-4

求解.

【详解】

因为函数/(x)=m(2x+l)3-2eX,所以尸(x)=6m(2x+l)2-2e'"'(0)=6加一2,所以

6m—2=T,

解得??!=.故答案为：

33

3.已知函数/(x)=e*+alnx,若曲线y=/(%)在x=l处的切线方程为丁=%+〃，贝U

【答案】0

【分析】

由题意结合导数的运算、导数的几何意义可得/⑴=1、/(1)=1+匕，即可得解.

【详解】Vf(x)^ex+a\nx,：.f\x)=e1+-,•.•曲线y=/(x)在x=l处的切线方程

x

为y=x+3,

/，(O=e+«=l,/(l)=e=l+Z?,。+/?=1—e+e—1=0.故答案为：0.

3.切线基础3：无切点

【典例分析】

曲线/(x)=d—x+3在点P处的切线平行于y=2x-l,则点P的坐标为()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(1,-3)

【答案】AB

【详解】因尸(无)=3兀2-1,令r(x)=2,故3/—1=2=X=1或—1，所以尸(1,3)或

(-1,3),

经检验，点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x—1上，

【变式训练】

1.若曲线y=f-21nx的一条切线的斜率是3,则切点的横坐标为.

【答案】2

【解析】

2

【分析】根据曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，令导数y'=2x--=3,解

x

得x的值，结合函数定义域即可得解.

【详解】

、2,1

解：1y=x'-2\nx,：.y'=2x——=3,-3x()-2=0,解得/=——(舍去)或%=2,

x2

所以玉)=2,故答案为：2.

2.若曲线y=/的一条切线/与直线x+4y-8=0垂直，则/的方程为

【答案】4x_y_3=0

【解析】

解：4x-y-3=0与直线x+4y-8=0垂直的直线1与为：4x-y+m=0,

即y=/在某一点的导数为4,而y，=4x3,y=/在(1,।)处导数为4,故方程为4x-y-3=0.

।3

3.曲线y=]x2-m(2x)在某点处的切线的斜率为-