高中数学1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点6 阿波罗尼斯圆综合训练

专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点6阿波罗尼斯

圆综合训练

专题1阿波罗尼斯圆及其应用

微点6阿波罗尼斯圆综合训练

一、单选题

（2022宁夏•石嘴山三中高二月考）

1.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点

A,8的距离之比为定值4（2=1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）,点尸满足

T则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）

rt>\Z

A.4兀B.84C.12万D.16几

（2022广东・广州一中高二期中）

2.数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大于零

且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面

直角坐标系xOy中，4（-2,0）,动点M满足=得到动点”的轨迹是阿氏圆C.

若对任意实数底直线/：y=Mx-l）+6与圆C恒有公共点，则分的取值范围是（）

A.[-A/5,A/5]B.卜","]C.卜新，疗]D.[-2近,2&]

（2022・河北保定•高二期末）

3.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,8的距离之比为定值/I（2>0,

且2*1）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，

简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A（T,0）,B（2,0）,点尸满足岛=2,则点

\PB

P的轨迹的圆心坐标为（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（TO）D.（2,0）

4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262〜公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是

古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数左

（%>0且
）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经0（0,0）,A（3,o）,动点

尸（x,y）满足蓝=2,则动点尸轨迹与圆（x-2p+y2=i的位置关系是（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

5.阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被

誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论

PA

著中的一个著名问题：已知平面上两点A,B,则所有满足义（2>0,且的点

P的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点M满足|MP|=2|MQ|,记M的

轨迹为C,若与C无公共点的直线/上存在点心使得|画的最小值为6,且最大值为10,

则C的长度为（）

A.24B.4冗C.84D.16几

（2022.广东茂名.高二期末）

6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代

世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数&（%>0且后1）

的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0（0,0）,43,0）,动点P（x,y）满

DA

制=2,则动点尸轨迹与圆（x-2>+y2=2的位置关系是（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

（2020•四川・泸州老窖天府中学高二期中）

7.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数

收左>0,左片1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点4-1,0）,8（1,0）,

|PA|

动点尸满足谒=2,当P、A、B不共线时，抬8面积的最大值是（）

「24

A.4B.2C.-D.-

33

8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，

他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数4（4>0,且4x1）,那么点P

的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A（-l,0）,8（1,0）的距离之比为G，则点

C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为（）

答案第2页，共8页

A.2辨-6B.逐-6C.2不D.G

（2022四川遂宁•高二期末）

9.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点A,B

的距离之比为定值”421）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X。），中，4-2,0）,8（4,0）,点尸满

足犒=；.当RA8三点不共线时，△/>，记面积的最大值为（）

A.24B.12C.4百D.出

（2022湖北黄州中学高二开学考试）

10.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世

界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数

k（k>0,k丰1）的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点A（-2,0）,8（2,0）,

动点C满足|A[=2忸则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P,已知点。在

圆P上（点。在第一象限），AO交圆P于点E,连接并延长交圆尸于点尸，连接。尸，

当NDFE=3O时，直线AO的斜率为（)

A.返B.叵C.2D.姮

131344

二、多选题

（2022江苏•高二专题练习）

11.在平面上有相异两点A,3,设点尸在同一平面上且满足|尸=（其中2>0,且4#1）,

则点尸的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设4（-。,0）,B（«,0）,。为正实数，下

列说法正确的是（）

4

A.当2=2时，此阿波罗尼斯圆的半径一=§。

B.当4时，以A3为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切

C.当0</<1时，点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧

D.当/>1时，点A在阿波罗尼斯圆外，点B在圆内

（2022・浙江・玉环玉城中学高二期中）

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐

名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值4（2=1）的点

所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直

角坐标系X。），中，.点P满足圈=3,设点尸所构成的曲线为E,下列结

论正确的是（）

A.曲线E的圆心坐标为（-$0）

B.1<|PB|<4

C.曲线E的周长为万

D.曲线E上的点到直线x+y-i=o的最小距离为中庭-1）

13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点

A、8的距离之比为定值”义工1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字

命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.己知在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,3（4,0）.点

IPAI1

P满足以=不，设点尸所构成的曲线为C,下列结论正确的是（）

A.C的方程为（x+4『+y2=16

B.在C上存在点O,使得。到点（1,1）的距离为3

C.在C上存在点使得|MO|=2|M4|

D.C上的点到直线3x-4y-l3=0的最小距离为1

14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点

A、B的距离之比为定值几（2"）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字

命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X。/中，A（-2,0）、8（4,0）,

点尸满足£=：，设点尸所构成的曲线为c,下列结论正确的是（）

PB2

A.C的方程为（x+4y+y2=i6

B.在C上存在点。，使得卜力=1

C.在C上存在点例，使M在直线x+y-2=0上

D.在C上存在点N,使得|M9f+|M4『=4

答案第4页，共8页

（2022河北保定•高二期中）

15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点

人B的距离之比为定值4（彳w1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名,

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X。）'中，4（2,0）、B（4,0）,点P满足

照=:，设点P所构成的曲线为C,下列结论正确的是（）

\PB\2

A.曲线C的方程为（x+4）?+y2=16

B.在曲线C上存在点O,使得=1

C.在曲线C上存在点M,使M在直线上x+＞-2=0

D.在曲线C上存在点N,使得

（2022福建龙岩•高二期中）

16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,8的距离之比为定值44=1）

的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在

平面直角坐标系X。＞中，＞4（-1,0）,8（2,0）,动点C满足/富=:，直线/："a-»+，"+1=0,

则（）

A.动点C的轨迹方程为（x+2）?+y2=4B.直线/与动点C的轨迹一定相交

C.动点C到直线/距离的最大值为应+1D.若直线/与动点C的轨迹交于P,Q两点，

且IA0|=2血，则，”=-1

三、填空题

（2022天津河北•高二期中）

17.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点4

8的距离之比为定值20?1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，4（-2,0）,B（4,0）,点P

IDA\1

满足以=不，则点尸所构成的曲线C的方程为.

18.阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为

常数人仕＞0,Awl）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点

/、/、\po\1

0（0,0）,A（3,o）,动点尸满足谒=5,则点P的轨迹方程是.

（2022四川省武胜烈面中学校高二期中）

19.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光

辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样

一个命题：平面内与两定点距离的比为常数4（2>0且久工1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆

称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知△OAM的两个顶点O、A是定点，它们的坐

标分别为。（0,0）、43,0）；另一个顶点M是动点，且满足sinN4QM=2sinNOAM,则当

/\OAM的面积最大时，边上的高为.

（2022四川巴中•高二期末）

20.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界

光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这

样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数几（2>0且的点的轨迹是圆，后人将

这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知△OA"的两个顶点。、A是定点，它

们的坐标分别为。（0，0）、43，0）；另一个顶点M是动点，且满足环综=：.则当

△Q4M的面积最大时，边上的高为.

21.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世

界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这

样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数&（&>0且《日）的点的轨迹是圆，后人将这

个圆称为阿氏圆，现有ABC,AC=6,sinC=2sin4,则当ABC的面积最大时，BC的

长为.

22.平面向量°,°满足k-4=3,何=2忖，则°与夹角最大值为.

23.已知平面向量满足同=W=H=1,alb>则卜。+4+|3"+2/7-@的最小值为.

24.己知△ABC的面积3,且AB=AC.若C3=2D4,则的最小值为.

四、双空题

（2022重庆•高二期末）

IPAI

25.设动点尸与两不同定点4B在同•一平面上且满足扁=几，当几>0且4Hl时，P点的轨

迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯

答案第6页，共8页

圆.在直角坐标系X。），中，A（—3,0）,3（3,0）,P（x,y）,动点尸满足谒=2,P点的轨迹「的

方程为.点。是直线，：3x-4y+10=0上任意一点，过。作「的切线，相切于M,N,

当|MN|取得最小值时，求cosZMQN的值______________

（2022广东•深圳七中高三月考）

26.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值且2"）

的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,3）,

若动点M满足|MA|=2|M0|,则动点M的轨迹「方程是；若直线/:x+my-l=0与

轨迹「交于P,。，当|P。取最小值时，则加=.

27.被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点P到两个不同

定点AB的距离之比为常数&伙＞0且4H1）,则尸点的轨迹是一个圆心在A8直线上的圆，

简称“阿氏圆''•据此请回答如下问题：

已知ABC中，A为一动点，B,C为两定点,且|4邳=2|4。，忸C|=a,AfiC面积记为S,

若。=3时，则S1raL；若5=1时，则。取值范围为.

28.阿波罗尼奥斯（Apollonius）（公元前262〜公元前190）,古希腊人，与欧几里得和阿基

米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可

插足之地：直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆

锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定

点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点P到点M（-2,0）与到点N（1,0）

的距离之比为2：1,则动点P的轨迹方程为.

五、解答题

（2022辽宁抚顺•高二期末）

\PA\

29.设A,B是平面上两点，则满足廿4=左（其中Z为常数，ZwO且Axl）的点尸的轨迹是

\PB\

一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，

己知A（卡,0）,8乎,0,且々=0.

（1）求点尸所在圆M的方程.

（2）已知圆O:（x+2）?+（y-2）2=5与x轴交于C,。两点（点C在点。的左边），斜率不为

0的直线/过点。且与圆M交于E,F两点，证明：ZECD=ZFCD.

（2022福建省福州八中高二期中）

30.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是

古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数Z

（女>0且及r1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中

的点£（&,0）,尸（2夜,0）,则满足|「耳=及|尸耳的动点尸的轨迹记为圆E.

⑴求圆E的方程；

（2）过点。（3,3）向圆E作切线QS,QT,切点分别是S,T,求直线ST的方程.

31.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯汝s）在《平面轨迹》一书中，研究了

众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A,B距离之比为4/1>0且

几工1）的点尸的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.

（1）已知两定点A（-2,0）,B（4,0）,若动点P满足儒=；,求点P的轨迹方程；

（2）已知A（-6,0）,尸是圆C:（x+4）?+y2=16上任意一点，在平面上是否存在点8,使得

鬻=:恒成立？若存在，求出点8坐标；若不存在，说明理由；

rt>\2

8,使得胃=3恒成

⑶已知P是圆。：/+/=4上任意一点，在平面内求出两个定点A,

立.只需写出两个定点A,8的坐标，无需证明.

照

32.平面上两点A、B,则所有满足=左且无不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹

附

\PO\

最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆G上的动点尸满足：局=2（其

中O为坐标原点，A点的坐标为（0,3）.

（1）直线二y=x上任取一点。，作圆G的切线，切点分别为M,N,求四边形。MCW面积

的最小值；

（2）在（1）的条件下，证明：直线恒过一定点并写出该定点坐标.

答案第8页，共8页

专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点6阿波罗尼

斯圆综合训练

专题1阿波罗尼斯圆及其应用

微点6阿波罗尼斯圆综合训练

一、单选题

（2022宁夏・石嘴山三中高二月考）

1.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个

定点A,8的距离之比为定值4（4*1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名

字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系"OX中，A（-2,0）,B（4,0）,

\PA\1

点P满足扁=5.则点尸的轨迹所包围的图形的面积等于（）

A.4万B.8万C.124D.16万

（2022广东.广州一中高二期中）

2.数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（常数大

于零且不等于一）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已

知在平面直角坐标系中，A（-2,0）,动点M满足|似4|=也阿0|,得到动点M的轨

迹是阿氏圆C.若对任意实数3直线/：y=k（x-l）+。与圆C恒有公共点，则6的取值

范围是（）

A.[-石，石]B.[-V6,V6]C.[-x/7,>/7]D.[-20,2&]

（2022•河北保定•高二期末）

3.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值4

（A>0,且的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称

为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A（T,0）,8（2,0）,点

\PA\

户满足扇=2,则点尸的轨迹的圆心坐标为（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（Y,0）D.（2,0）

4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262〜公元前190年）的著作《圆锥曲线论》

是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

女（女>0且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已经0（0。，A（3,0）,

试卷第9页，共8页

动点P（x,y）满足熟=2,则动点P轨迹与圆（x-2）2+V=l的位置关系是（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

5.阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一

起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆

是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A,B,则所有满足扁=，（2>0,

且2x1）的点P的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点“满足

\MP\=2\M^\,记M的轨迹为C,若与C无公共点的直线/上存在点R,使得的最

小值为6,且最大值为10,则C的长度为（）

A.2冗B.4%C.8万D.167r

（2022.广东茂名.高二期末）

6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是

古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

k（k>0且厚1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0（0,0）,4（3,0）,

PA

动点P（x,y）满而=2,则动点P轨迹与圆（x-2）?+y2=2的位置关系是（）

A.相交B.相离C.内切D.外切

（2020•四川・泸州老窖天府中学高二期中）

7.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为

常数以4>0,%片1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点

PA

4（-1,0）,以1,0）,动点尸满足万万=2,当尸、4、8不共线时，.网面积的最大值是（）

24

A.4B.2C.—D.一

33

8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三

巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数4（2>0,且2#1）,

那么点尸的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A（T,0）,3（1,0）的距离之

比为G，则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为（）

A.2石-GB.旧-6C.275D.6

（2022四川遂宁•高二期末）

9.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个

定点48的距离之比为定值4（4*1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他

试卷第10页，共8页

的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,

3（4,0），点户满足胃=；.当P,43三点不共线时，△PA8面积的最大值为（）

A.24B.12C.D.也

（2022湖北黄州中学高二开学考试）

10.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190年）的著作《圆锥曲线论》是古

代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数

4任＞0次力1）的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点A（-2,0）、

8（2,0）,动点C满足1A。=2忸C|，则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P,

已知点。在圆P上（点。在第一象限），AO交圆产于点E,连接E3并延长交圆P于点

F,连接。尸，当NDFE=30时，直线AO的斜率为（）

A.叵B.叵C.BD.叵

131344

二、多选题

（2022江苏•高二专题练习）

11.在平面上有相异两点A,B,设点尸在同一平面上且满足|必|=引尸用（其中几＞0,

且4"）,则点P的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A（-a,0）,3（a,0）,a为

正实数，下列说法正确的是（）

4

A.当；1=2时，此阿波罗尼斯圆的半径〃

B.当/=3时，以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切

C.当0＜a＜1时，点8在阿波罗尼斯圆圆心的左侧

D.当久＞1时，点A在阿波罗尼斯圆外，点8在圆内

（2022・浙江・玉环玉城中学高二期中）

12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米

德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值九（冗工1）

的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知

在平面直角坐标系xOy中，A（-1,O）,B（1,O）.点尸满足扁=5,设点尸所构成的曲线

为E,下列结论正确的是（）

试卷第11页，共8页

A.曲线E的圆心坐标为［-g，。］

B.-<|PBl<4

311

C.曲线E的周长为万

D.曲线E上的点到直线x+y-i=o的最小距离为

13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个

定点A、8的距离之比为定值〃彳*1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以

他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.己知在平面直角坐标系xQy中，

A（-2,0）,B（4,0）.点尸满足母=力，设点尸所构成的曲线为C,下列结论正确的是

I尸"12

（）

A.C的方程为（x+4）?+y2=i6

B.在C上存在点。，使得。到点（1,1）的距离为3

C.在C上存在点使得|MO|=2|M4|

D.C上的点到直线3x-4y-13=0的最小距离为1

14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个

定点4、B的距离之比为定值4（2#1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以

他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xQy中，A（-2,0）、

8（4,0）,点尸满足=设点P所构成的曲线为C,下列结论正确的是（）

PB2

A.C的方程为（X+4）2+V=［6

B.在C上存在点。，使得［4。=1

C.在C上存在点使M在直线x+y-2=0上

D.在C上存在点M使得|NO『+|NA『=4

（2022河北保定•高二期中）

15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个

定点A、B的距离之比为定值彳（几w1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他

的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X。》中，A（2,0）、

PA1

8（4,0）,点尸满足质■=］,设点尸所构成的曲线为C,下列结论正确的是（）

试卷第12页，共8页

A.曲线C的方程为（X+4）2+V=16

B.在曲线C上存在点。，使得|AQ|=1

C.在曲线C上存在点M,使〃在直线上x+y-2=0

D.在曲线C上存在点N,使得|NO『+|W4『=4

（2022福建龙岩•高二期中）

16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值

44工1）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，

简称阿氏圆.在平面直角坐标系X。），中，A（-l,0）,8（2,0）,动点C满足胃=:，直

IC/J|2

线I:nix—y+帆+1=0,则（）

A.动点C的轨迹方程为（x+2）2+y2=4B.直线/与动点C的轨迹一定相交

C.动点C到直线/距离的最大值为正+1D.若直线/与动点C的轨迹交于P,。两

点，且|PQ|=2-^2，则m=—1

三、填空题

（2022天津河北♦高二期中）

17.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定

点A,B的距离之比为定值2（存1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他

的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，A（-2,0）,

B（4,0）,点尸满足扁=5,则点尸所构成的曲线C的方程为.

18.阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之

比为常数%（%>0次工1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两

定点。（0,0）,4（3,0）,动点P满足怜=；,则点P的轨迹方程是.

（2022四川省武胜烈面中学校高二期中）

19.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世

界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证

明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数几（4>0且4"）的点的轨迹是圆,

后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知△OAM的两个顶点。、A

是定点，它们的坐标分别为0（0,0）、43,0）；另一个顶点M是动点，且满足

sinZAOM=2sinZCMM,则当AQ4M的面积最大时，04边上的高为.

试卷第13页，共8页

（2022四川巴中•高二期末）

20.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代

世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他

证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数几（2>0且4#1）的点的轨迹

是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知△O4W的两个顶

点。、A是定点，它们的坐标分别为。（0，0）、43,0）；另一个顶点M是动点，且满

足上综=4.则当△OA"的面积最大时，04边上的高为.

21.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆链曲线论》是古

代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他

证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数%（%>0且%#1）的点的轨迹是

圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC,AC=6,sinC=2sinA,则当ABC的面

积最大时，8c的长为.

22.平面向量”，满足卜-4=3,忖=2忖，则〃与a-b夹角最大值为.

23.已知平面向量满足卜|=忖=卜|=1,：1），则卜c、+4+13a+26-的最小值为.

24.已知AABC的面积3,且48=AC.若CD=2D4,则BD的最小值为.

四、双空题

（2022重庆•高二期末）

IPAI

25.设动点户与两不同定点在同一平面上且满足渴=义，当；1>0且/1工1时，P点

的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿

IpAI

波罗尼斯圆.在直角坐标系X0X中，4-3,0）,3（3,0）,P（x,y）,动点尸满足扁=2,p点

的轨迹r的方程为.点。是直线/：3x-4），+10=0上任意一点，过。作『的切线，

相切于M,N,当|"N|取得最小值时，求cosNMQV的值______________

（2022广东•深圳七中高三月考）

26.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值〃几>0且

61）的点的轨迹是圆，止匕圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，己知点

A（O,3）,若动点加满足|MA|=2|MO|,则动点M的轨迹「方程是；若直线

/：x+叼-1=。与轨迹「交于P,Q,当|PQ|取最小值时，则加=.

27.被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现：平面内一动点尸到两个

不同定点AB的距离之比为常数>0且％丰1）,则P点的轨迹是一个圆心在AB直线

试卷第14页，共8页

上的圆，简称“阿氏圆''•据此请回答如下问题：

已知一ABC中，A为一动点，8,C为两定点，且|AB|=2|AC|,忸C|=a,ABC面积记

为S,若。=3时，则；若5=1时，则。取值范围为.

28.阿波罗尼奥斯（Apollonius）（公元前262〜公元前190）,古希腊人,与欧几里得和

阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没

有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析

几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论:

平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点尸到点

"（-2,0）与到点N（l,0）的距离之比为2：1,则动点P的轨迹方程为.

五、解答题

（2022辽宁抚顺•高二期末）

29.设A,B是平面上两点，则满足周=%（其中k为常数，kwO且的点P的轨

迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称

阿氏圆，已知A（倔0）,8,，。），且女="

（1）求点尸所在圆M的方程.

（2）已知圆O:（x+2『+（y-2）2=5与x轴交于C,。两点（点C在点。的左边），斜率

不为0的直线/过点。且与圆M交于E,尸两点，证明：ZECD=ZFCD.

（2022福建省福州八中高二期中）

30.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）的著作《圆锥曲线论》

是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

k（%>0且kxl）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系

X。），中的点E（艰,（）），F（2及,0）,则满足|尸尸|=0］阳的动点P的轨迹记为圆E.

⑴求圆E的方程：

⑵过点。（3,3）向圆E作切线QS,QT,切点分别是S,T,求直线S7的方程.

31.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（4为〃。“加s）在《平面轨迹》一书中，研

究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A,8距离之比为

42>0且彳工1）的点尸的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.

试卷第15页，共8页

(1)己知两定点A(-2,0),8(4,0),若动点P满足胃=；,求点尸的轨迹方程；

⑵己知A(-6,0),尸是圆C:(x+4『+y2=16上任意一点，在平面上是否存在点8,使

得隐=：恒成立？若存在，求出点8坐标；若不存在，说明理由；

\P8\2

c,照1

⑶已知P是圆。:f+丁=4上任意一点，在平面内求出两个定点A,B,使得扇=5

恒成立.只需写出两个定点A,8的坐标，无需证明.

32.平面上两点A、B,则所有满足爵=&且上不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个

轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆G上的动点尸满足:

四=2(其中O为坐标原点，A点的坐标为(0,3).

照

(1)直线L：y=x上任取一点Q,作圆G的切线，切点分别为M,N,求四边形。MGN面

积的最小值；

(2)在(1)的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.

试卷第16页，共8页

参考答案:

1.D

【分析】设P(x,y)，则由谒=5结合距离公式化简可得(x+4)-+V=16,从而可知点P的

轨迹是以(-4,0)为圆心，4为半径的圆，进而可求出面积

【详解】设点p("),则舟,

化简整理得x2+y2+8x=0,即(X+4)2+V=16,

所以点尸的轨迹是以(-4,0)为圆心，4为半径的圆，

所以所求图形的面积为16万，

故选：D

2.C

【分析】设M(x，y),由题意列式求出c圆的方程，再由直线方程可得直线/恒过定点(1，坊,

求出圆C上横坐标为/的点的纵坐标即可.

【详解】设M(X，y),由4-2,0),且陷=

得|M4「=2|MO「，即(x-2f+y2=8,

直线/：y=-x-1)+6恒过定点(1，b),

把x=I代入(x-2)2+V=8,解得y=±V7,

要使对任意实数鼠直线/：(*-2)2+丁=8与圆C恒有公共点，

则-近4力4夜，即b的取值范围是[-疗，5]

故选：C

3.A

【分析】根据题设，应用两点距离公式可得J(x+4y+y2=2j(x-2)?+y2,整理并化为圆

的标准形式，即可确定圆心.

【详解】令P(x,y),则J(x+4『+y2=2加-2)2,两边平方并整理得：(x-4)2+/=16,

•••圆心为(4,0).

故选：A.

4.D

【分析】求阿波罗尼斯圆后判断两圆的位置关系.

【详解】由已知动点P(x,y)满足黑=2,得&一?+(广。)=2

PO4^7

答案第17页，共17页

叩动点尸轨迹为圆：（x+l）2+V=4,

QJ[2-（T）丁+02=2+1，两圆外切.

故选:D.

5.B

【分析】根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.

【详解】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点。，半径为r,显然直线/与圆C相离,

令点。到直线/的距离为d,

由圆的性质得：/；'=）、，解得2=8,r=2,

[d+r=10

所以C的长度为4-

故选：B

6.A

【分析】首先求得点尸的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.

【详解】由条件可知，=2,

化简为：（x+l），y2=4,

动点尸的轨迹是以（-1,0）为圆心，2为半径的圆，

圆（x-2）\y2=2是以（2,0）为圆心，行为半径的圆，两圆圆心间的距离d=3<2+&，

所以两圆相交.

故选：A

7.D

IPAI

【分析】利用高=2求出圆的方程和半径，进而利用圆的范围可求出三角形面积的最大值.

IpAI

【详解】设P（x，y）,因为A（—1,0）、M0）,且7—7=2,

I〃田

所以^^:2

整理得3/+3）2-10》+3=0,

V（x-l）2+y2

即圆的方程为（x-g）2+y2=£,半径为g；

答案第18页，共17页

故选：D.

8.A

【分析】设C(x,y),依题意舄=白，根据两点的距离公式求出动点C的轨迹方程，再求

出圆心到直线的距离，即可求出点C到直线距离的最小值；

【详解】解：设C(x,y),则黑=&，即=5化简得(X-2y+V=3,