七年级数学下册-第08讲 单项式乘多项式（5种题型+强化训练）（解析版）

第08讲单项式乘多项式1.利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式，熟练计算单项式乘多项式；2.经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力；3.培养学生合作交流的思想，体验单项式与多项式相乘的内涵．1.单项式乘多项式法则单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用字母表示为:m(a+b+c)=ma+mb+mc.【要点归纳】(1)单项式与多项式相乘,实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式(2)单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同.(3)计算过程中要注意符号,单项式乘多项式的每一项时,要包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号.(4)对于混合运算,应注意运算顺序;最后有同类项的,必须合并同类项从而得到最简结果2.易错警示(1)法则中的每一项,是指含符号的每一项,容易出现符号错误.(2)运用乘法分配律计算单项式乘多项式时不要漏乘项,特别是常数项.题型一：利用单项式乘多项式法则计算1．（2023下·七年级单元测试）计算：．【答案】【分析】根据积的乘方及单项式乘以多项式可进行求解．【详解】解：．【点睛】本题主要是考查积的乘方及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．2．（2023下·江苏·七年级专题练习）计算：．【答案】【分析】根据单项式乘以多项式可进行求解．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型二：利用单项式乘多项式进行化简求值1．（2024上·陕西西安·七年级西安市第三中学校考期末）先化简，再求值：，其中，满足．【答案】，【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先计算积的乘方，单项式乘以多项式，再合并同类项化简，接着根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可．【详解】解：，∵，，∴，∴，∴，∴原式．2．（2023·江苏·七年级假期作业）先化简，再求值，其中．【答案】，【分析】先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．【详解】解：．当时，原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．3．（2022上·上海浦东新·七年级统考期中）已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值．【答案】【分析】根据题意先计算，根据与的取值无关，求得的值，然后根据整式的乘法化简代数式，将的值代入进行计算即可求解．【详解】解：∵，∵与的取值无关，∴，解得；；当时，．【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，化简求值，正确的计算是解题的关键．4．（2022下·江苏·七年级专题练习）阅读：已知x2y=3，求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入.解：2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24.你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！(1)已知ab=3，求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值；(2)已知a2＋a－1＝0，求代数式a3＋2a2＋2018的值．【答案】(1)-78；(2)2019.【分析】(1)将待求式展开化为−4(ab)3+6(ab)2−8ab形式，将ab=3整体代入所化简的式子求值即可；(2)所求式子第二项拆项后，前两项提取a，将已知等式变形为a2＋a=1代入计算即可求出值.【详解】解：(1)(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)=-4a3b3+6a2b2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab将ab=3代入上式，得−4×33+6×32−8×3=-78所以(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)=−78(2)∵a2＋a=1，∴a3＋2a2＋2018=a3＋a2＋a2＋2018=a(a2＋a)＋a2＋2018=a＋a2＋2018=1＋2018=2019.【点睛】本题考查了单项式乘多项式，将所求式子进行适当的变形和整体代入是解题关键．题型三：单项式乘多项式的应用1．（2023上·湖南衡阳·七年级校联考期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，代数式的值与x的取值无关，，解得．【理解应用】（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；（2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则是解题的关键．（1）将多项式整理为，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案；（3）设，由图可知，，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得．【详解】解：（1），∵其值与x的取值无关，∴，∴；（2）∵，，∴，∵的值与x无关，∴，即；（3）设，由图可知，，∴，∵当的长变化时，的值始终保持不变．∴取值与x无关，∴，∴．2．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．【理解应用】（1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为__________；（2）已知，且的值与x的取值无关，求n的值．【能力提升】（3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当AB的长变化时，的值始终保持不变，请直接写出的值．

【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案；（3）设，由图可知，，即可得到关于的代数式，根据取值与可得，据此求解即可．【详解】解：（1），∵其值与的取值无关，，解得，，故答案为：；（2）∵，∴，的值与无关，∴，即；（3）设，由图可知，，，当的长变化时，的值始终保持不变．取值与无关，∴．【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键．3．（2022下·江苏·七年级专题练习）已知为有理数，现规定一种新运算，满足．求的值；求的值；，探索与两个式子是否相等，说明理由．【答案】（1）8；（2）240；（3）不相等，理由见解析．【分析】（1）先根据新运算列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得；（2）利用两次新运算进行转化，再计算即可得；（3）先根据新运算列出运算式子，再计算整式的加减法与乘法即可得．【详解】（1），，；（2），，，，，；（3）两个式子不相等，理由如下：，，则，，，，因为，所以，所以与两个式子不相等．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算、整式的加减法与乘法，读懂题意，掌握新运算的定义是解题关键．题型四：利用单项式乘多项式解方程1．（2022上·上海·七年级专题练习）解关于的方程：．【答案】【分析】先按照单项式乘多项式的法则去括号，再移项、合并同类项，整理为一元一次方程，解答即可．【详解】解：去括号得：整理：移项、合并同类项：系数化为1：【总结】本题主要考查对单项式乘多项式乘法法则、同底数幂的乘法及解方程的应用，正确把握单项式乘多项式法则是解答此题的关键．题型五：利用单项式乘多项式进行方案设计1．（2022上·江苏连云港·七年级校考期中）如图，一扇窗户，上部是半圆形，其下部是边长相同的四个小正方形，所有窗框使用铝合金材料，窗户半圆部分安装彩色玻璃，四个正方形部分安装透明玻璃，已知下部小正方形的边长是a米（本题中π取3，长度单位为米）．

(1)一扇这样的窗户一共需要铝合金多少米？（用含a的代数式表示）(2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？（用含a代数式表示，窗框宽度忽略不计）(3)某公司需要购进扇窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商给出的报价如下表，当时，该公司在哪家厂商购买合算？铝合金（米/元）彩色玻璃（平方米/元）透明玻璃（平方米/元）甲不超过平方米的部分，元/平方米，超过平方米的部分，元/平方米乙元/平方米，每购1平方米透明玻璃送米铝合金【答案】(1)；(2)；(3)当时，该公司在甲家厂商购买合算；【分析】（1）根据图形及弧长公式直接求解即可得到答案；（2）根据图形及扇形面积公式直接求解即可得到答案；（3）根据方案直接求出费用比较即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，一扇这样的窗户一共需要铝合金材料为：（米），答：一扇这样的窗户一共需要铝合金米；（2）解：由题意可得，“彩色玻璃”的面积为：，“透明玻璃”的面积为：，所以一扇这样窗户一共需要玻璃：，答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米；（3）解：当时，，，由题意可得，40扇这样的窗户：需要铝合金的长度为720米，需要“彩色玻璃”的面积为60平方米，“透明玻璃”的面积为160平方米，甲方案费用为：（元），乙方案费用为：（元），∵，∴当时，该公司在甲家厂商购买合算；【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意及图形得到周长、面积，同时根据题意找到相应的等量关系式．一．选择题（共8小题）1．（2023春•江都区期中）已知，则的值为A． B．9 C． D．8【分析】根据，得到，进而得到，由此即可得到答案．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，正确推出是解题的关键．2．（2023春•天宁区校级期中）若三角形的底边为，对应的高为，则此三角形的面积为A． B． C． D．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：三角形的底边为，对应的高为，此三角形的面积为：．故选：．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2022秋•河西区期末）计算的结果是A． B． C． D．【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查的是单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．4．（2023春•台儿庄区期中）夏夏在检查作业时，发现有一道题的部分内容被墨水浸染了，■，那么这部分内容可能是A． B． C． D．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：■，被墨水浸染部分内容可能是：．故选：．【点评】此题主要考查了整式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（2023春•新吴区期中）如果，那么代数式的值是A． B．5 C．3 D．【分析】由已知条件可得：，把所求的式子进行整理，再整体代入运算即可．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．（2023秋•射洪市期末）当a＝﹣2时，代数式3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）的值是（）A．﹣98 B．﹣62 C．﹣2 D．98【分析】先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再把a的值代入计算即可求出答案．【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）＝3a×2a2﹣3a×4a+3×3a﹣2a2×3a﹣4×（2a2）＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2＝﹣20a2+9a，当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4+9×（﹣2）＝﹣98．故选：A．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．7．（2023春•武功县期中）已知与一个多项式的积是，则这个多项式是A． B． C． D．【分析】直接利用整式的乘除运算法则得出答案．【解答】解：与一个多项式的积是，这个多项式是：．故选：．【点评】此题主要考查了整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2023春•通川区校级期末）已知，则的值为A．2 B．0 C． D．1【分析】先根据已知条件求出，再利用单项式乘单项式法则化简，最后整体代入求值即可．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题主要考查了整式的求值，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式．二．填空题（共9小题）9．（2023秋•广阳区校级期末）计算的结果是．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则进行运算即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题考查单项式乘多项式，正确记忆运算法则是解题关键．10．（2023春•江阴市期中）若，，则的值为．【分析】由，，可得，即：，进而可得，化简后再代入，即可求解．【解答】解：，，，即：，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了单项式乘多项式、幂的乘方与积的乘方以及整式化简，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．11．（2023春•玄武区期中）计算的结果为．【分析】根据单项式乘多项式法则即可求出答案．【解答】解：原式，故答案为：．【点评】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式法则，本题属于基础题型．12．（2023春•东台市期中）若，，则．【分析】原式去括号进行化简，然后进行变形，利用整体思想代入求值．【解答】解：原式，，，原式，故答案为：．【点评】本题考查整式的运算，掌握单项式乘多项式的运算法则，利用整体思想代入求值是解题关键．13．（2023秋•射洪市期末）计算．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题主要考查的是单项式与多项式的乘法，掌握计算法则是解题的关键．14．（2023春•汨罗市月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：y+_____．空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写．【分析】根据单项式乘多项式运算法则计算即可．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题考查了单项式乘多项式，去括号，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是解题的关键．15．（2023春•泗洪县期中）一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于．【分析】根据体积的计算公式，长宽高代入化简即可．【解答】解：长宽高．故答案为：．【点评】本题考查了单项式乘多项式的法则应用，单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．16．（2023春•玄武区校级期中），．【分析】利用单项式乘多项式的法则，整式的除法的法则进行运算即可．【解答】解：；，故答案为：；．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．（2023春•乳山市期中）若一个多项式与的乘积为，则这个多项式为．【分析】根据题意列出关系式，利用多项式除以单项式法则即可得到答案．【解答】解：根据题意可得：．故答案为：．【点评】本题主要考查多项式除以单项式，根据题意列出正确的算式是解题的关键．三．解答题（共7小题）18．（2023秋•梨树县期末）计算：．【分析】利用单项式乘多项式法则及合并同类项法则计算即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．19．（2023春•秦都区期中）计算：．【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．【解答】解：．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．20．（2023春•石景山区期末）计算：．【分析】根据整式的混合运算法则求解即可．【解答】解：．【点评】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则．21．（2023春•迁安市期中）如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积．老师在黑板上的板书：．（1）请根据老师的板书说出的实际意义：菜地的宽度；（2）请用含的多项式表示菜地的面积为：；（3）如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含的多项式表示）；（4）当米时，求菜地开垦后的面积．【分析】（1）根据题意的实际意义是菜地的宽度即可得到答案；（2）根据题意即可列出关于的方程；（3）由题意得，开垦后菜地的长为米，菜地的宽为米，即可求出答案；（4）把代入第（3）的结果即可求出答案．【解答】解：（1）由题意得：的实际意义是菜地的宽度；故答案为：菜地的宽度．（2）设菜地的宽度为，则长度为，菜地的面积为：；故答案为：；（3）菜地的长为120米，菜地的宽为100米，四周开垦的菜地宽度均为米，开垦后菜地的长为米，菜地的宽为米，开垦后菜地的面积为：．（4）由（3）得：开垦后菜地的面积为：，当时，原式．【点评】本题考查单项式乘多项式的应用，灵活运用单项式乘多项式法则是解答本题的关键．22．（2023春•振兴区校级期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是多少？【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以得出正确结果．【解答】解：这个多项式是，（3分）正确的计算结果是：．（3分）【点评】本题利用新颖的题目考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．23．（2023春•即墨区校级月考）当、为何值时，的展开式中，不含有和的项？【分析】原式去括号得到最简结果，根据结果中不含和的项，求出与的值即可．【解答】解：，根据结果中不含和的项，得到，，解得：，．【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2022下·浙江宁波·七年级校考阶段练习）先化简，再求值，其中．【答案】4m，【分析】先根据单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：，当时，原式＝．【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．25．（2022上·上海·七年级专题练习）先化简，后求值：，其中

．【答案】，1【分析】先根据单项式乘多项式，单项式乘单项式的法则进行计算，然后合并同类项，将x和y的值代入计算即可．【详解】解：原式．将代入计算得：原式=．【点睛】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项进行化简，最后代值计算．26．（2022上·上海·七年级阶段练习）先化简再求值：，其中x＝﹣1，y＝2【答案】，304【分析】直接利用整式的混合运算法则，运用单项式乘以多项式化简后，再把已知数据代入得出答案即可．【详解】解：，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝＝＝．【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及到单项式乘以多项式运算法则、同底数幂的乘法运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．27．（2022上·宁夏吴忠·八年级校考期中）先化简，再求值：其中．【答案】，【分析】先根据单项式乘以多项式的计算法则化简，然后合并同类项，最后代值计算即可．【详解】解：，当，原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．28．（2022上·浙江·七年级期中）某校需要订购中考专用的某款跳绳和排球，经调查发现，该款跳绳、排球各商家均标价为50元/条，40元/个，现有3家商店在做促销活动如下表：商店促销活动甲库存充裕，全场9折乙库存充裕，按套数（即1条跳绳和上个排球）优惠：30套以内（包括30套），每套85元：超过30套，每增加1套，所有套数每套降价0.5元，但每套降幅不超过15元丙仅库存排球55个，排球每满5个送1个(1)若在乙店购买10套，则总费用_______元；在乙店购买40套，则总费用______元．(2)若现在需要跳绳a条和排球a个，且仅在一家商店购买，请用含a的代数式分别表示甲、乙两店的总费用．甲店总费用：__________________________；乙店总费用：当时，_____________；当时，____________；当时，___________．(3)当需要购买60条跳绳和120个排球时，请你通过计算设计一种最省钱的购买方案，并求出总费用．【答案】(1)850；3200(2)元；元，元，元(3)在乙店购买60套，丙店购买45个排球，送9个排球，在甲店购买6个排球，总费用是6216元【分析】（1）根据乙店的优惠方案求解即可；（2）根据甲、乙店的优惠方案分别求解即可；（3）分5种情况讨论计算：只在甲店购买、只在乙点购买、在丙店和甲店购买、在丙店和乙店购买、在甲店和丙店以及乙店购买的费用，进而得到答案．【详解】（1）解：若在乙店购买10套，则总费用（元）；在乙店购买40套，每套的价格是，则总费用是（元）；故答案为：850；3200；（2）甲店总费用是：元；乙店总费用：当时，元；当时，元；当时，元；（3）若只在甲店购买，所需费用是：（元）；若只在乙店购买，所需费用是：（元）；若在丙店购买45个排球，送9个排球，剩下的在甲店购买，则所需费用是：（元）；若在丙店购买45个排球，送9个排球，剩下的在乙店购买，则所需费用是：（元）；若在乙店购买60套，丙店购买45个排球，送9个排球，在甲店购买6个排球，所需费用是：（元）；综上，最省钱的购买方案是在乙店购买60套，丙店购买45个排球，送9个排球，在甲店购买6个排球，总费用是6216元．【点睛】本题考查了列出实际问题中的代数式和整式的运算，正确理解题意、接触相应的代数式是解题的关键．29．（2023上·四川德阳·七年级统考阶段练习）学校课外学习小组想靠着一面足够长的旧墙，开垦一块长方形的实验