高中数学-平面向量数量积教学设计学情分析教材分析课后反思

第三节平面向量的数量积教学设计

【设计教师】姓名：单位：

【授课内容】高中数学人教版必修4平面向量的数量积

【教材分析】

《课标》要求高中阶段要着重提高学生用数字获取信息、处理信息、分析问题和解决问题

的能力，特别要提高学生用数字进行思维和表达的能力，形成健全的情感、态度和价值观，

为未来发展和终身学习奠定良好的基础。

《课标》对高三数学教学提出几点要求：

1、要重视对学生学习兴趣和学习习惯的培养。

2、要重视基础知识和基本技能的训练。

3、要加强对学生学法的指导，使学生形成有效学习策略【教学目标】

【知识目标】：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系

【情感目标】：

1、培养学生认识学数学的目的在于学习交流运用，乐于参与数学学习实践活动。

2、在学习中积极与他人合作，相互帮助，共同完成学习任务

【策略目标：

1、通过让学生根据实际需要进行预习，让学生形成有效的认知策略

2、创造机会，让学生进行交际，将知识转化为技能的交际策略

【教学重点与难点】：

重点：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

难点：1.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【教学方法】

1.恰当运用多媒体辅助教学，提高课堂效率增加趣味性

2.以学生为中心开展“任务型”教学活动

3.小组合作教学，注重分层教学，尊重学生差异，让不同层次的学生参与课堂，获得成就

感

【教学过程】

《预习案》

预习1:平面向量的数量积

(1)向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a和b,作(W=a,Oli=b,则工AQ里就是向量a与b的夹角.

②范围：设9是向量a与b的夹角，则(FWeW18()。.

③共线与垂直：若0=0°,则a与b同向；若0=180。，则a与b反向;

若0=90°,则a与b垂直.

教师活动：ppt呈现有关问题及解答。

学生活动：三组学生回答获取直观信息，为随后的学习做好准备。

设计意图：体会平面向量夹角的定义，范围及特例，激起学生学习兴趣，尽快融入课堂。

预习2：平面向量的数量积

①定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0,则数量|a||b|cos。叫做a与b的数量

积(或内积)，记作a-b,即a-b=|a||b|cos0,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0・a

=0.

②几何意义：数量积a-b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.

b在a的方向上的投影为|b|cos0。

预习3：平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a=(x”yi),b=(X2,y2),0为向量a,b的夹角.

(1)数量积：a,b=|a"b|cos0=&2吐YHJ.(2)模：|a|=/G=，x*+y+.

，。、比缶/a・bxiX2+yiy2

⑶夹角：丽-布荷而•

(4)两非零向量a±b的充要条件：a-b=0<4xiX2+yiy2=0.

(5)|a・bW|a||b|(当且仅当a〃b时等号成立)台区逐2+丫停2区

预习4：平面向量数量积的运算律

(l)a・b=b-a(交换律).(2)ka・b=Ma・b)=a-Qb)(结合律).(3)(a+b)-c=a・c+b・c(分配律).

检验预习效果

1.判断下列结论的正误.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()

(3)由a・b=0,可得a=0或b=0.()

(4)两向量a_Lb的充要条件：a-b=0<=>xix2+yiy2=0.()

(5)若a・b>0,则a和b的夹角为锐角；若a・bVO,则a和b的夹角为钝角.(

(6)(a-b)-c=a-(b-c).()

(7)a・b=a・c(aW0),贝!Jb=c.()

2.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角8=120。，则a・b=.

3.已知|a|=，3,|b|=2,a与b的夹角为30。，则|a-b|=.

4.已知向量a=(l,2),向量b=(x,-2),且a_L(a-b),则实数x等于.

5.已知单位向量ei,e2的夹角为60°,则向量a=2ei+e2与b=2e2-3ei的夹角为.

教师活动：留出8分钟时间组内交流，互助学习，训练学生的表达能力及参与能力，引导学

生思考判断，自主学习，自我调整纠错。

设计意图：训练学生的自主学习，纠正失误，学会从小组交流中获取有效信息

《探究案》

平面向量的数量积运算

[典题1](1)(2015•新课标全国卷H)向量a=(L-1),b=(-l,2),贝U(2a+b)・a=()

A.-1B.0C.1D.2

(2)(2015•天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB〃DC,AB=2,BC=1,ZABC=60°.

__2_,__]__

点E和F分别在线段BC和DC上，且"L寸"、'”~至℃则•亚­4户的值为.

变式训练：

1.(2016•成都模拟)△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满A足M柒M=P常=

2,若|福|=2,|而|=3,ZBAC=90°,则•反:的值为()

A.1B.—|C.芋D.一g

2.(2016哈肥联考)已知|a|=l,|b|=2,a与b的夹角为60。,则a+b在a上的投影为.

教师活动：ppt呈现小组合作探究的任务，讨论检验学习效果。

学生活动：小组讨论，合作探究，细节寻找，找出错误点，抢先加以改正，看哪一组完成

的又快又准

平面向量的夹角与垂直问题

[典题2](1)(2015•重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a_L(2a+b),则a与

b的夹角为()A.]B.^C.yD.y

(2)已知向量a=(k,3),b=(l,4),c=(2,l),且(2a—3b)_Lc,则实数k=()

A.—TB.0C.3D.竽

[探究1]已知向量a=(k,3),c=(2,l),若a与c的夹角的余弦值为李，求k的值.

［探究2］已知向量a=(k,3),b=(l,4),c=(2,l),若2a—3b与c的夹角为钝角,

求k的取值范围.

教师活动：ppt呈现要求任务，组织学生展开组内讨论，3分钟巡视指导。

学生活动：小组讨论，合作探究，细节寻找，找出错误点，抢先加以改正，看哪一组完成

的又快又准

设计意图：学会运用所学知识答疑，检验复数量积知识学习及运用。

教师活动：ppt呈现小组合作探究的任务，细节理解，推理判断，

学生活动：小组讨论，合作探究，细节寻找，找出错误点，抢先加以改正，看哪一组完成

的又快又准。

设计意图：激发潜能活跃思维，学会合作，加强集体荣誉感和参与度，能自由发表个人观

点或快速寻找关键信息，锻炼能力。落实知识点的掌握，增加学习的乐趣。

［自我查验］

—>—>

1.［2013糊北高考］已知点A(—1,1)、B(l,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上

的投影为()

空妪_^2—遥

A.22J22

2.［2016•云南师大附中月考］设xGR,向量a=(Lx),b=(2,-4),且2〃1>,则a・b=()

A.-6B.V10C.y［5D.10

—>—>—>

4.［2015•四川高考］设四边形ABCD为平行四边形，|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=

—►—►-►—>—>

3MC,DN=2NC,则AM・NM=()

A.20B.15C.9D.6

—►—►—►—>

5.［2015•南昌零模］在AABC中，|AB|=3,|AC|=2,点D满足2BD=3DC,ZBAC=60°,

—>—>

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则AD・BC=()A・—gB.gC.gD.-g

—>—►

6.(教材改编)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DE-CB的值

—>—>

为;DE・DC的最大值为.

7.［2015•长春三模］己知|a|=L|b|=V2,且a_L(a-b),则向量a与向量b的夹角为()

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学习小结：1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义.要灵活选用，

和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.

2.求向量模的常用方法：利用公式|aF=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.

3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.

［易错防范］

1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a・b=a・c(aWO)不能得出b=c,两边不能约

去一个向量.

2.两个向量的夹角为锐角，则有ab>0,反之不成立;两个向量夹角为钝角，则有ab<0,

反之不成立.

训练案处理：本小节知识点展现，变式训练，从不同点考察运用，训练规范解答。

设计意图：再次巩固知识点，考点，与高考题型相结合。

【课堂评价】

评价方式：

(1)自我评价。学生进行反思，肯定自己学习的努力，并看到改进的必要性以及进取的可

能性

(2)互相评价。以小组为单位，同学之间对学习过程及效果作评价

(3)教师评价。学生的自评和互评，都必须与教师的评价结合起来，教师要在评价中发挥

主导作用

【设计理念】

理念之一：采用活动途径，倡导体验参与。新课程标准倡导任务型教学模式，让学生在教

师指导下，通过感知、体验、参与和合作等方式，实现任务的目标，感受成功。

理念之二：开发课程资源，拓展学用渠道。提倡积极利用现代化的教学手段，拓展学习和

运用知识的渠道。

理念之三：提倡自主、合作、探究的学习方式。学生的自主学习是学习者运用已有知识去

认识事物本质，去“发现新知识”的学习过程。课堂上引入竞争激励机制，促使学生互相

学习，学生利用旧知识发现新知识，达到富有个性、高层次的自主学习。

学情分析

这节课学生的学习，可能存在如下障的主要内容是:平面向量的夹角定义、

平面向量模的运算、平面向量夹角运用、平面向量数量积综合运算的理解及运用

对平面向量的学习设置了A、B两组训练，例题的选择都有代表性，以落实、掌

握为前提，对不同层次的学生有不同的适应度，尽量以简单明白、深入浅出的分

析为平面向量数量积的学习做好铺垫、打好基础，并巩固提高。

本节课的教学对象是高中三年级(1)班的学生，刚开始高一的时候，大部

分学生的数学基础薄弱，计算能力、基本知识运用能力、教学课堂开展有些困难。

经过高一时间的训练调整、学习方法的介绍、习题的训练运用，已经适应高中的

学习生活和数学的学习特点，教师学生之间的配合也渐渐有了起色，学生对老师

的教学特点和风格也渐渐适应，经过师生的共同努力，现在对高中数学知识理解、

运用、掌握、理解掌握了一些基本方法，具备了一定的思维能力，运用能力和解

决问题的能力都有很大进步，但在知识的深度、广度和对知识的运用、迁移上还

有待加强。

学生发展的内在动力是新的需要与原有水平之间的矛盾。因此，应抓住学生

实际情况这一契机，运用现代教学观念，适时开展数学课堂教学，提高学生的综

合运用知识的能力。

当堂检测

［自我查验］A组

1.判断下列结论的正误.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()

(3)由a-b=O,可得a=0或b=0.()

(4)两向量a_Lb的充要条件：a-b=0<=>xix2+yiy2=0.()

(5)若a-b>0,则a和b的夹角为锐角；若a・b〈O,则a和b的夹角为钝角.()

(6)(a・b)・c=a・(b・c).()

(7)a・b=a・c(aW0),贝!Jb=c.()

2.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角8=120。，贝！］a・b=.

3.已知冏=小，|b|=2,a与b的夹角为30。，则|a-b|=.

4.已知向量a=(l,2),向量b=(x,-2),且a_L(a-b),则实数x等于.

5.已知单位向量e“e2的夹角为60。,则向量a=2ei+e?与b=2e2-3ei的夹角为

［自我查验］B组

―>—>

1.［2013•湖北高考旧知点A(-1,1)、B(l,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上

的投影为()

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A.222"•2

2.［2016•云南师大附中月考］设xGR,向量a=(Lx),b=(2,-4),且a〃b,则a-b=()

A.-6B.V10C.A/5D.10

―>—>—>

4.［2015•四川高考］设四边形ABCD为平行四边形，|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=

―►―►―►—>—>

3MC,DN=2NC,则AM・NM=()

A.20B.15C.9D.6

->—>—>—>

5.［2015•南昌零模］在△ABC中，|AB|=3,|AC|=2,点D满足2BD=3DC,ZBAC=60°,

―>—>

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则ADBC=()A.一gB.gC.gD.一g

―>—>

6.(教材改编)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DE・CB的值

为;DE-DC的最大值为.

7.[2015•长春三模]已知|a|=l,|b|=V2,且a_L(a-b),则向量a与向量b的夹角为()

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效果分析

本课的情境创设以平面向量的知识点导入，通过对定义、公式、运算律复习让学生自

然地进入文本。通过情境的有效创设，可以真正激发学生的兴趣，愿意进入教师设定的情景

中去，而这些过程的进行都离不开学生的生活背景和已有认知基础。良好的情境创设通常表

现为：教师能够结合日常生活的现象或者已经学过的知识进行引入；能够迅速进入教师设计

的教学引入情境；教师设计的引入能帮助自己产生进一步学习的兴趣；教师引入的情境富有

思考性。

课堂评价是引导课堂教学效果变化的风向标,本堂课运用了学生点评与教师评价相结合

的评价方式。同学上课积极性较高，为小组进步做贡献的责任心高，学生积极踊跃的参与课

堂活动，主动讨论问题，踊跃的回答问题，注意力很集中，精神很饱满，顺利地完成了课堂

教学任务，取得了很好效果。

课堂教学效果是教师进行课堂教学的落脚点，一切教学手段的运用和教学方法的选择

最终的目的是课堂教学效果的最大化。学生是课堂的主体，小组成员通过探究，阐述各自观

点，对有疑问的地方进行集体研究，再在全班汇报自己小组的交流成果。对小组内没有解决

的问题，可以提出来请其他小组帮助解决。通过学生间的互相交流，实现优势互补，从而促

进知识的建构，充分唤起学生的主体意识，建立起探索性的个性化的主体学习方式，培养学

生的创新精神和创新能力。学生在融洽开放的学习氛围里，进行积极主动的交流合作，从而

减轻思想压力，增强自信心，增加动手实践的机会，培养学生的竞争意识、集体观念和合作

精神，使不同的学生都得到相应的发展。通过小组合作，达到生生互动，师生互动。

总之，本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大限度的挖掘，智力好的

学生吃得饱，中等水平的学生吸收得好，差的学生消化得了，学生人人学有所得。课堂教学

中充分体现师生平等、教学民主的思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配

合默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。教师教得轻松，学生学得愉

快。

教材分析

第四节平面向量的数量积

【考情分析】

《课标》要求高中阶段要着重提高学生用数字获取信息、处理信息、

分析问题和解决问题的能力，特别要提高学生用数字进行思维和表达

的能力，形成健全的情感、态度和价值观，为未来发展和终身学习奠

定良好的基础。

《课标》对高二数学教学提出几点要求：

1、要重视对学生学习兴趣和学习习惯的培养。

2、要重视基础知识和基本技能的训练。

3、要加强对学生学法的指导，使学生形成有效学习策

略。

【教学目标】

知识目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平

面向量的垂直关系.

情感目标：

1、培养学生认识学数学的目的在于学习交流运用，乐于参与数学学

习实践活动。

2、在学习中积极与他人合作，相互帮助，共同完成学习任务

策略目标：

1、通过让学生根据实际需要进行预习，让学生形成有效的认知策略

2、创造机会，让学生进行交际，将知识转化为技能的交际策略

教学重点与难点：

重点：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

难点：1.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两

个平面向量的垂直关系.

课堂教学反思

一、反思学生

这节课是一节复习课，教学对象为高三学生，其数学学习能力已经基本形成、抽象思

维能力也较好，对于这样一节由浅入深，认识平面向量的数量积的课程还是有一定的基础

与消化能力的。因此本节课从知识预习出发过度到数学实例，在引发学生思考总结运用，

从导入课题、进行基本知识总结学习、训练及变式训练、检查学习效果、自查纠偏、组内

互助纠偏。让学生主动参与，能更好的让学生接受。

高三学生积极主动,课堂上可以多设置一些活动，通过同学间合作互动,开展小组教学，

可以调动课堂气氛，实现较好的教学效果。

三、反思课堂

1、数学课堂应注重“教”向“学”的转移。

数学作为一门重要的基础学科，教学内容涉及许多定义、公式、解题技巧和思想方法。

学生如何掌握基础知识，如何把握解题技巧和了解思想方法，如何提高分析问题、解决问

题的能力，不但要“教”，更主要的是要使学生“会学”。“愿意学”，由被动接受变主动探索，

在教学中，通过兴趣的诱导、激发和升华，使学生形成学好数学的动机。

2、数学课堂应重视交流与协作，倡导开放的教学活动模式。重视师生之间的互动,

也不能忽略学生之间的相互协作，忽视发挥学生群体在教学中的作用。因此，在今后的教

学中，要重视学生主动学习的过程，交流与协作既是学习的手段，目的在于提高教学能力。

通过协作学习，学生可以取长补短；通过相互交流，更有利于发展学生的主体性，促进学

生智力、情感和社会技能及创造能力的发展。因此，应以强化小组交流与合作学习为核心，

通过师生互动、生生互动，促进各个层次学生的共同发展。

优点：

1、情景导入激发学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，从而自然而然地过渡到新教材的学

习上。

2、变式练习层次分明，有梯度性，既有基础巩固，又有能力提升，适合每个层次的学生。

3、对学生的表现能及时的做出评价。

4、小组讨论，合作探究效果较好，能达到解决问题的目标。

5、训练案题型与高考题型相结合，有的放矢，训练学生应对高考新题型的能力。

6、.本节课时间安排还是不够恰当，使得整节课最后的环节处理不够得当。可能前面内容处

理太快，导致后面时间剩余有点多，而且后面和学生谈体会、谈收获的时间不是很充分。

不足：

1、练习设置过多，时间上把握不是很准确。

2、学生并非全员参与，有些学困生在学习上有困难，无法正常跟上老师的节奏，因此也常

常被遗忘在角落里。

3、课堂小组讨论，有个别小组讨论效果不好，组织有些混乱，并未达到预期的效果。

总之，整堂课，既有优点又有不足，在今后的教学中，我一定会发扬优点，弥补不足。

具体措施如下：

1、加强课前预习的指导，做好监督和检查，确保人人有任务，人人能完成。可以利用小组

教学的优势，合理分配任务，发挥组长的组织，协调，带头作用，进行检查和监督。

2、把课堂还给学生，小组展示——小组讨论——教师点拨，及时发现问题，解决问题。

3、精选阅读练习，有效的提高学生的阅读能力，设置更优质的问题，给学生一个更高端的

平台。