新教材人教A版高中数学必修第一册复习资料

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必修第一册常用42个结论

1.并集的性质：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=A^BQA.

2.交集的性质：AP0=0；ACA=A；ACB=3nA；AHB=A^AQB.

3.补集的性质：AU([uA)=U；AC([uA)=0；Cu([uA)=A；[>(ACB)=([uA)U([g)；

[u(AU3)=([uA)A([M).

4.改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词,

再对量词进行改写.

5.否定结论：对原命题的结论进行否定.

6.倒数性质

(l)a>b,ab>O=>1<p

(2)a<0<b=M；

ab

(3)a>b>0,d>c>0^>->^.

7.有关分数的性质

若a>b>0,m>0,则

bb+mbb-m

->------(b—m>0)；

⑴rrn?aa—m

a■a__+_m_a__a_—__m

(2)b>b+m；b<b—m(b—m>0).

8.分式不等式的解法

f(x)

⑴77丁>°(<°)=0)的)>0(<°)・

f(x)[f(x)g(x)>0(<0),

⑵00)=

g(X)lg(x)#0.

9.两个恒成立的充要条件

a>0,

(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立=*

[b2-4ac<0.

a<0,

(2)一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立=二C八

lb2-4ac<0.

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10.几个重要的不等式

(l)a2+b222ab(a,beR),当且仅当a=b时取等号.

(2)ab<^—J(a,bGR),当且仅当a=b时取等号.

a2+b2fa+bV..

(3)―2—年，b£R),当且仅当a=b时取等号.

(4)^+^>2(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号.

11.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.

12.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象有0个或1个交点.

13.函数单调性的两个等价结论

设Vxl,x2dD(xlWx2),则

f(x1)—f(x2)

(1)------j—Z-----〉0(或(Xl—x2)[f(xl)—f(x2)]>0)of(x)在D上单调递增.

X.1XN

f(xl)——f(x2)

(2)------j—：-----<0(或(xl—x2)[f(xl)—f(x2)]<0)=f(x)在D上单调递减.

A.1X.N

14.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定

在端点取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

15.函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相

反的单调性.

(3)在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶土偶=偶，奇、奇=偶，偶、偶=偶,奇、偶=奇.

16.函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值X：

(1)若f(x4a)=-f(x),则T=2a(a>0).

(2)若f(x+a)=f(：)-,则T=2a(a>0).

(3)若f(x+a)=-Ep,则T=2a(a>0).

17.嘉函数的图象和性质

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、IJ需在直线工=i右侧，骞函数

\\\lxy=x_中、的指数由下向上逐渐增大

C禽寤总藉数在第一象

_-■3：Vx]限内单倜递增__________

A\\\\\当a<0时:函数在第一象

■\\__________)限内单调递减

国豪恒过点(1,1)|

指数函数图象的特点

18.指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),(-1,；),依据这三点的坐标可得到指数

函数的大致图象.

19.函数y=ax与y=g)(a〉0,且a/l)的图象关于y轴对称.

20.指数函数丫=2*与丫=6*的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；在

第二象限内，图象越高，底数越小.

21.换底公式的三个重要结论

①logab=]()<；；@logambn=ogab；③logab•logbc,logcd=logad.

22.对数函数图象的特点

(1)对数函数y=logax(a>0且a，l)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(；,—1),函数

图象只在第一、四象限.

(2)函数y=logax与y=logj_x(a>0且a?U)的图象关于x轴对称.

a

(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

23.函数图象平移变换的八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量.

(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值.

24.函数图象自身的轴对称

(l)f(—x)=f(x)o函数y=f(x)的图象关于y轴对称.

⑵函数y=f(x)的图象关于x=a对称Qf(a+x)=f(a—x)of(x)=f(2a—x)=f(—x)=f(2a

+x).

(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b—x),则函数y=f(x)的图象关于直

线对称.

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25.函数图象自身的中心对称

(l)f(—x)=-f(x)=函数y=f(x)的图象关于原点对称.

(2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称Qf(a+x)=—f(a—x)Qf(x)=—f(2a—x)Qf(—x)

=-f(2a+x).

(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称Qf(a+x)=2b—f(a—x)<=>f(x)=2b—f(2a

-x).

26.两个函数图象之间的对称关系

(1)函数y=f(a+x)与y=f(b—x)的图象关于直线一对称(由a+x=b—x得对称轴

方程)；

(2)函数y=f(x)与y=f(2a—x)的图象关于直线x=a对称；

(3)函数y=f(x)与y=2b—f(—x)的图象关于点(0,b)对称.

27.有关函数零点的三个结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.

28.“对勾”函数f(x)=x+,(a>0)的性质

⑴该函数在(一8,—和+oo)上单调递增，在［―6,0)和(0,Va］上单调递减.

(2)当x>0时，x=g时取最小值2部;

当x<0时，x=-g时取最大值一2油.

29.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成

倍增加，常用“指数爆炸''来形容；"对数增长''先快后慢，其增长速度缓慢.

30.象限角

/yT第一象限角)卜|浙8@仃+加=)

'［卜(第二象限角)

瞿/T第三象限角)同"研**淅+粤

31.轴线角

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终边落在工轴上的角

轴

线

角

的终边落在夕轴上的角

终边落在坐标轴上的角ta|a=2ir^eZ

32.三角函数定义的推广

设点P(x,y)是角a终边上任意一点且不与原点重合，r=|OP|,则sina=：,cosa=j,

y

tana=x.

33.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限“，其中的奇、偶是指］的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数

名称的变化.

34.同角三角函数的基本关系式的几种变形

(l)sin2a=1-cos2a=(l+cosa)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(l+sina)(l—sina)；

(sinaicosa)2=l±2sinacosa.

(2)sina=tanacosa(a埠+k兀，k《Z).

_____sin2a______tan2a

Sin°sin2a+cos2atan2a+1)

____cos2a________]

C0S°sin2a+cos2atan2a+1

35.四个必备结论

…一、卜1+cos2a1-cos2a

(1)降密公式：cos2a=-----2-----，sin2a=------------.

⑵升嘉公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a.

(3)tanaitanp=tan(aip)(l+tanatanB),

1+sin2a=(sina+cosa)2,

1—sin2a=(sina—cosa)2,

sinaicosa=*\/2sinfa±7j.

(4)辅助角公式

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asinx+bcosx=^/a2+b2sin(x+(p),其中tan<P=-.

36.对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，

相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间

的距离是半个周期.

37.与三角函数的奇偶性相关的结论

JT

⑴若y=Asin(cox+(p)为偶函数，则有(p=k7r+5(kwZ)；若为奇函数，则有(p=k7t(keZ).

JT

(2)若y=Acos((ox+(p)为偶函数，则有(p=k?r(kez)；若为奇函数，则有(p=k7t+](keZ).

(3)若y=Atan®x+(p)为奇函数，则有d>=k?r(kWZ).

38.对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系.y=Asin(sx+(p)的图象有无数

JT

条对称轴，可由方程3x+(p=k7i+/(kGZ)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的

交点，可由3x+(p=kjr(kGZ)解出.

TT

39.相邻两条对称轴间的距离为点相邻两对称中心间的距离也为点函数的对称轴一

定经过图象的最高点或最低点.

40.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>Bua>businA>sin

B«cosA<cosB.

41.三角形中的三角函数关系

(l)sin(A+B)=sinC.

(2)cos(A+B)=—cosC.

A+BC

(3)sin~—cosy.

A+BC

(4)cos-2-=siny.

42.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；

b=acosC+ccosA；

c=bcosA+acosB.

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必修第一册常见49个知识误区

i.忽视集合中元素的互异性致误；

2.集合运算中端点取值把握不准致误；

3.忘记空集的情况致误.

4.命题的条件与结论不明确致误；

5.含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提而致误；

6.对充分必要条件判断不明致误.

7.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方

向改变；

8.求范围乱用不等式的加法原理致错.

9.解不等式时不要忘记当a=0时的情形.

10.解不等式时忽视变形必须等价.

11.应用基本不等式求最值要注意：”一正、二定、三相等”.忽略任何一个条件，

就会出错；

12.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，

则一定要保证它们等号成立的条件一致.

13.函数定义域是研究函数的基本依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的

取值范围.

14.分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，

值域是各段值域的并集.

15.求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常

见的错误.

16.有多个单调区间应分开写，不能用符号“U”联结，也不能用“或”联结，只能

用“逗号”或“和”联结.

17.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具

有奇偶性的必要不充分条件.

18.函数,/(X)是奇函数5必须满足对定义域内的每一个x,都有人-x)=—/U),而不能

说存在X0，使/(—xo)=—/(xo).同样偶函数也是如此.

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19.不是所有的周期函数都有最小正周期,如«r)=5.

20.易忽视对二次函数的二次项系数的讨论；

21.黑函数定义不清晰，导致出错.

解决与指数函数有关的问题时,若底数不确定，应注意对。＞1及0＜。＜1进行分类讨论.

22.在运算性质中，要特别注意M＞0的条件，当〃WN*,且“为偶数

时，在无M〉0的条件下应为\OgaMn="lOgalM.

23.研究对数函数问题应注意函数的定义域.

24.解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对。＞1及0＜。＜1进行分类

讨论.

25.函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从五一2x)的图象到五—2x+l)的图

象是向右平移3个单位长度，其中是把无变成x—当

26.要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别.

27.函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)=O的根，也是函数y=f(x)的图象与x

轴交点的横坐标.

28.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个

数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑.

29.解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些

关键的字眼(如“几年后''与“第几年”)，考生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不

会做或函数解析式写错.

30.解应用题建模后一定要注意定义域.

31.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.

32.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等.

33.在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制.

34.已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况.

35.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

36.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，

尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍.

37.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

38.明确二倍角是相对的，如：?是彳的2倍，3a是竽的2倍.

39.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.

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40.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升霖、

降霖的灵活运用，要注意“1”的各种变形.

41.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在（0,兀）内，正弦值对应

的角不唯一.

42.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间（k兀一宗1C兀+刍

（kdZ）内为增函数.

43.求函数y=Asin®x+（p）的单调区间时要注意A和3的符号，尽量化成3>0的形

式，避免出现增减区间的混淆.

44.函数y=Asin（cox+（p）+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.

45.由y=sin（ox到y=sin（3x+（p）（（o>0,（p>0）的变换：向左平移会个单位长度而非（p

个单位长度.

46.在aABC中，已知a,b和A,利用正弦定理时，会出现解的不确定性，应注意

根据“大边对大角”来取舍.

47.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以

免漏解.

48.仰角与俯角是相对水平视线而言，而方位角是相对于正北方向而言的.

49.“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是［0,2TI）,方向角大小的范围是

必背知识点

一、集合

元素与

集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性

集合

子集：若对任意都有xdB,则AU8（或82A）

集合间真子集：若且8中至少有一个元素不属于A,则A呈凤或3崔A）

的基本相等：若AUB,且BUA,则A=B

关系结论：若有限集A中有"（"eNX）个元素，则A的子集有2"个，真子集有（2"一

1）个

集合的并集：AUB={x|xGA,或xdB},

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基本交集：AA8={x|无GA,且xWB},AQB^>AAB=A

运算补集：［uA={x\x&U,且/A},AUBoCuA?(:您

二、充分条件与必要条件

命题真假”若p，则q”为真命题“若p，则/'为假命题

推出关系由p能推出夕，记作poq由p不能推出q,记作〃O/q

p是q的充分条件p不是q的充分条件

条件关系

’(?是〃的必要条件q不是p的必要条件

三、充要条件

如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p"均是真命题，即既有p=q,又有q=p,

就记作poq.此时，。既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要

条件，简称为充要条件.概括地说，如果poq,那么“与<7互为充要条件.

四、全称量词与全称量词命题

全称量词命

全称量词全称量词命题题

的真假判断

短语“所有的”“任意一

含有全称量词的命题，叫做全称量词命

个”在逻辑中通常叫做全全真为真，

题.全称量词命题“对M中任意一个x,

称量词，并用符号“V”一假为假

p(x)成立"可用符号简记为VxWM,p(x)

表示

五、存在量词与存在量词命题

存在量词命题

存在量词存在量词命题

的真假判断

短语“存在一个”“至少有

含有存在量词的命题，叫做存在量词命

一个”在逻辑中通常叫做一真为真，

题.存在量词命题“存在M中的元素X,

存在量词，并用符号”全假为假

p(x)成立"可用符号简记为mxWM,〃(x)

表示

六、全称量词命题和存在量词命题的否定

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命题的否定命题的否定

命题的类型命题的符号表示

的符号表示的类型

全称量词命题p：Vx^M,p(x)~p：3~p{x}存在量词命题

存在量词命题p：3x^M,p(x)~p：V~p{x}全称量词命题

七、不等式的主要性质

1.对称性：a>bob〈ci.

2.传递性：a>b,b>c=>a>c.

3,加法法则：a>b=>a+c>b+c；a>h9c>d=^a+c>h+d.

4.乘法法则：a>b,c>O=^ac>bc；a>b,cVO=〃cV〃c；

a>b>0,c>d>Onac>bd.

5,倒数法则:a>b,ab>0=^-<-.

ab

6.乘方法则：a>b>Ona">b〃（jteN,九》2）.

7.开方法则：。>方>0=V^（〃£N,〃22）.

八、基本不等式

如果a,人是正数，那么属三字（当且仅当。=b时，等号成立）.

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九、二次函数与一元二次方程、不等式

设一元二次方程axI+/zx+c=O(〃>0)的两根为X1、x-29且/=〃一4〃c,则不等式

ax+bx+c>Q或ax+hx+c<0(«>0)的解集的各种情况如下表:

J>0

y=ax+bx+c

(a>0)的图象

ax-{-bx+c=O有两个不相等的实有两个相等的实数

没有实数根

(。>0)的根数根x…3V即)根汨=沏=一/

ax2+bx+c>0

{x\x<xi9或x>x2}XXR

(40)的解集

ax~-\-bx+c<0

U|xi<x<x2}00

(〃>0)的解集

十、函数的概念及其表示

一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数X,按照

函数某种确定的对应关系/,在集合8中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称

/：A-8为从集合A到集合B的一个函数

表示

解析法、列表法和图象法

法

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十一、函数的单调性与奇偶性

1.函数的单调性

增函数减函数

设函数/(%)的定义域为/,区间OU/：如果Vx”即GO

当为<%2时，者陌/国)</(④),

当为〈尤2时，都有/3)>/(心)，那么就称/G)

那么就称/(X)在区间。上单调递

在区间。上单调递减，。叫做/(x)的递减区间

增，。叫做/(x)的递增区间

2.函数的最大(小)值

前

一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

提

条YxGl,都有Vx^I,都有

件3x0^I,使得/(x0)=M3x0^I,使得

结

中那么称M是函数/(x)的最大值那么称M是函数/(X)的最小值

论

3.函数的奇偶性

奇偶

定义图象特点

性

一般地，设函数/(X)的定义域为/,如果

偶函

Vx^l,都有一xG/,且/(—x)=/(x),那关于〉轴对称

数

么函数/(X)就叫做偶函数

一般地，设函数/(X)的定义域为/,如果

奇函

VxG/,都有一且/(一元)=—/(x),关于原点对称

数

那么函数/(X)就叫做奇函数

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十二、毒函数

定义一般地，函数>=炉叫做幕函数，其中X是自变量，a是常数

常见五

种幕函

数的图象

幕函数在(0,+8)上都有定义

性质当a>0时，图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增

当aVO时，图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减

十三、指数与指数函数

1.正数的分数指数事

771***-11x

定义a£=VH^(a>0,加，nGNx,n>1)an=愣=,〃>1)

运算

aras=ar+s；("»=“；(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,sGQ

性质'

2.指数函数及其性质

一般地，函数y=a，(a>0,且aWl)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域

概念

是R

底数

的a>10<^z<l

范围

图象

过定点(0,1),即x=0时，y=l

性质

x>0时，y>l；xVO时，OVyVlxVO时，y>1；x>0时，OVyVl

在(一8,十8)上是增函数在(—8,+8)上是减函数

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十四、对数与对数函数

1.对数的概念与运算（a>0,且aWl,M>0,N>0）

一般地，如果〃=N（a>0,且。#1）,那么数x叫做以。为底N的对

定义、，、

数，记作X=10gaN

常用对数以10为底的对数叫做常用对数，并把logjv记为lgN

以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数，并把log’N记为In

自然对数

N

loaaNb

结论logol=0；log««=1；a=N；\og,aa=b

①log“（MN）=logaM+logJV；②log-=log“MjlogJV；

运算性质N

③logJW"=n\ogaM（〃GR）

换底公式log«/?=^^（a>0,且aWl；Z?>0；c>0,且cWl）

logca

2.对数函数及其性质

一般地，函数y=logd（a>0,且a#l）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是

概念

（0,十8）

底数

的a>l0<4Z<l

范围

『y=iogpx=\

W_______.

图象

7(To)"-1

__1产olgy

定义域：（0,+8）；值域：R

过定点（1,0）,即x=l时，y=0

性质

x>l时，y>0；OVxVl时，yVOx>l时，yVO；OVxVl时，y>0

在（0,+8）上是增函数在（0,+8）上是减函数

十五、函数与方程

1.函数的零点

对于一般函数>=/（九），我们把使/（%）=0的实数x叫做函数y=/（九）的

概念

零占

y八、、

方程f（x）=0有实数解Q函数y=/（x）有零点O函数y=/（x）的图象与x

等价关系

轴有公共点

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如果函数y=/(x)在区间［。，加上的图象是一条连续不断的曲线，且有

函数零点

f{a}f(b)<0,那么，函数y=/(x)在区间(a,。)内至少有一个零点，即

存在定理.

存在c£(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是方程/(x)=0的解

2.二分法求函数的零点

对于在区间［a,切上图象连续不断且/(a)/S)V0的函数y=/U),通过不断

二分法

地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进

的概念

而得到零点近似值的方法叫做二分法

(1)确定零点期的初始区间［a,b］,验证/(a)/(b)VO.

(2)求区间(a,b)的中点c.

步骤(3)计算/(c),并进一步确定零点所在的区间：①若/(C)=0(此时看=，)，则

(给定精c就是函数的零点；②若/(a)/(c)<0(此时零点即6(a,c)),则令人=c；③

确度£)若/(c)/S)V0(此时零点(c,b)),则令a=c.

(4)判断是否达到精确度切若则得到零点近似值a(或幼；否则

重复步骤⑵~(4)

十六、三角函数

1.同角三角函数的基本关系

(l)sin_a+cos'a=l；

(2)tanHkir+1,kGz).

2.诱导公式

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.

公式一：

sin(2H+a)=sina(无cZ)；cos(2E+a)=coss(ZGZ)；tan(2E+a)=tanaQcZ).

公式二：

sin(n+a)=­sina；cos(7t+a)=­cosa；tan(兀+a)=tana.

公式三：

sin(—a)=—sina；cos(—a)=cosa；tan(—a)=­tana.

公式四：

sin(兀一a)=sina；cos(n—a)=~cosa；tan(TT—a)=­tana.

公式五：

sin(1—a)=cosa；cos偿—a)=sina.

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公式六:

sinC+a)=cosa；cos(1+a)=—sina.

3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(l)cos(a±^)=cosacos毋sinasin夕；

(2)sin(a±)ff)=sinacos夕土cosasin夕;

tana±tan0

(3)tan(a±S)=

1+tanatan/?

4.二倍角公式

(l)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos%—sin%=2cos%—1=1-2sin%；

(3)tan2a=2