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文档简介

《组合数的两个性质》教学设计旧知回顾计算证明（过度）：在组合数的运算、化简和证明过程中，除了直接使用组合数公式外，还有与组合数有关的一些性质，这节课我们就来研究组合数的两个重要性质。组合数的性质一问题1：某班有8名篮球运动员，从中选取5人参加比赛，有多少种不同的选法？从中选3人不参加比赛，有多少种不同的选法？思考：这两个组合数有什么联系？（教师用组合数的意义推出性质一）：这是一种巧合吗？还是所有的情况都是如此？再举一个例子，从这8人中选6人参加比赛，选法数是C86，从8人中选2人不比赛，选法数是C62，计算一下，这两个组合数也相等。实际上，从8人中选5人参加比赛，就等于选3人不参加比赛，这两个问题计算的是同一件事，那么他们的组合数就相等。选6人参加比赛，就等于选2人不参加比赛，两个问题计算的是同一件事。同样的道理，从8个元素中选m个符合条件的，就等于选8等式的特点：等式两边下标相同，上标之和等于下标。这个性质也叫作对称性。性质的作用：这条性质的作用就是当上标超过下标的一半时，可以化简计算。比如计算C119比较繁琐，但是计算C112就很简单了。大家来计算组合数公式证明：下面我们用组合数公式来证明这个性质。组合数的性质一例题例1（1）计算C20222011（多选）C20A.4B.5C.6D.7跟踪训练1（1）若CnA.1B.11C.50D.55若C183n+6=组合数的性质二问题2：某班有8名篮球运动员，若这8名运动员中还有1名体育委员，依然选取5人参加比赛，有多少种不同的选法？观察反思：观察这个等式，右边两个组合数的下标相同，上标是两个连续的自然数，他们的和等于一个新的组合数，下标加1，上标取大数。这个等式也是一个巧合吗？我们再举一个例子，袋子里有n个不同的白球，1个黑球，从这些球中取m个球，有多少取法？第一种方法，由于取的m个球没有限制颜色，所以我可以随便取，组合数就是Cn+1m。第二个方法，考虑球的颜色，如果黑球被取到了，取法数是Cnm−1，如果黑球没被取到，取法数是Cnm得出结论：这是组合数的第二个性质，与性质一一样，等式两边是对同一问题的不同计算方法，所以左右相等。等式的特点：相加的两个组合数下标相等，上标是两个连续的自然数，和等于一个组合数，下标加1，上标取大数。性质的作用：这条性质用于化简计算，以及等式的证明。例如C组合数公式证明：下面我们用组合数公式来证明这个性质。组合数的性质二例题例2（1）已知m≥A.1B.mC.m+1D.0C40+A.C20202B.C20213C.延伸探究：若将式子换成C4跟踪训练2：（1）若Cn+17C实际问题中的应用例3在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽3件有多少种不同的抽法？

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