2019届高考数学一轮复习 第6单元 不等式、推理与证明听课学案 理

第六单元不等式、推理与证明

第33讲不等关系与不等式

课前双击巩固

知识聚焦、

1.两个实数比较大小的方法

b

a-b>Oa_____b

a-b=Oa_____b

(1)作差法［a-b<

(2)作商法

ta

一>l(aR,b>0)Qb(aR,b>0),

b

a

—=lab(a,b=0),

h

a

一<l(aR,b>0)ab(aR,b>0).

\b

2.不等式的性质

(1)对称性:a〉g(双向性).

⑵传递性:a>b,b>ga>c(单向性).

(3)可力口性:a,2a+c6+c(双向性)；

a>b,c>g(单向性).

(4)可乘性:a>b,cX)=>acbc;

a>b,c<0=acbc\

c>d>0=ac力"(单向性).

(5)乘方法则：6"(〃&N,〃21)(单向性).

(6)开方法则:a>"0n*，W(〃GN,心2)(单向性).

对点演练、

题组一常识题

1.［教材改编］设a=*,b=j-F,c=«9,则a,b,c中最大者为

2.［教材改编］若/(x)之*-2x,g(x)=*-2,则与g(x)的大小关系是

11

3.［教材改编］已知下列四个条件:①(2^>a>b\③aX〉b;④a>g不能推出a8成立

的序号是.

题组二常错题

♦索引：求范围时乱用不等式的加法原理;乘法运算不注意符号的影响；除法运算受定势的影

响,不注意不等式两端的符号.

4.已知-3QK5,则2a-b的取值范围是.

abc

5.已知a,b,cGR,,设S=b+c町+c+a+b,则s与1的大小关系是.

a

6.已知2Q<3,-3<*-2,则石的取值范围是.

课堂考点探究

。探究点一比较两个数(式)的大小

*-庐a-b

2

Ift(1)己知a*0,P=^+btQ=a+bt则p,Q的大小关系为.

(2)已知a,6,c为正数，且3"N"W',则下列正确的是()

A.6c<3a<4bB.6e<4Z?<3c?

C.3<a<4Z?<6cD.4A<3d<6c

［总结反思］(1)判断两个式子的大小关系的方法:作差、作商法;不等式性质法;单调性法;

中间量法;特殊值法;数形结合法等.

(2)作差法的一般步骤:作差,变形,定号,得出结论.

趣题⑴已知R,,K2p+l)(p-3),心(0与)(”3)+10,则也4的大小关系为.

⑵若aX,且aW7,则()

A.77a<7aa

B.77a5a7

C.77a>7aa

D.7'a"与7"a7的大小不确定

。探究点二不等式的性质

［ft⑴［2017•淮北一中四模］若ae<0,给出下列不等式:

111

①st乱〉6;②/;③a+b>a)b.

其中正确的个数是()

A.OB.1

C.2D.3

(2)设0Q<l,"cA),则下列结论不正确的是()

A.a<a

B.lf>c

C.loga6<log.,c

aa

D.B)C

［总结反思］解决此类题目常用的三种方法：

(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意

前提条件；

(2)利用特殊值法排除错误答案;

(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数

函数、基函数等函数的单调性进行判断.

圜式题(1)若a<7K0,则下列不等式不能成立的是()

A.箝ab

1111

C.a>bD.a-b)a

(2)［2017•北京朝阳区二模］已知则下列不等式一定成立的是()

11

A.x<y

B.log2(^-y)>0

C.x>y

。探究点三不等式性质的应用

b

例h(1)[2017•衡水中学三调]三个正数a",c满足aWb+cW2a,bWa+cW2b,贝值的取值范

围是()

23,

A.辰

黑8)

B」2)

C.[2,3]

D.[1,2]

1111

⑵已知-2W2x+_r〈2,-2W3x+jW2,则9x+y的取值范围是.

[总结反思]运用不等式的性质解决问题时,常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导,

并注意不等式性质成立的条件以及笠仇我强的思想，比如减法可以转化为加法,除法可以转

化为乘法等.但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性

质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体

的等量关系,再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

康民题已知f(a,》=ax+by,如果1WF(1,DW2,且TWF(1,T)W1,则/>⑵1)的取值范围

是.

第34讲一元二次不等式及其解法

课前双击巩固

知识聚焦、

1.一元二次不等式

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式.

2.一元二次不等式的解集

判别式

4X)A=OA<0

/=6-Aac

常用结论

1.(1)“@/+打心0心力0,王哥)恒成立”的充要条件是“aX且炉Mac<0”.

(2)“aV司x+c<O(a#O)恒成立”的充要条件是“a<Q且Z^MacO'.

2.(1)对于不等式ax+bx+cX),求解时不要忘记讨论a=0时的情形.

(2)注意区分48时,ax'坳什c>0(aW0)的解集为R还是0.

对点演练、

题组一常识题

1.［教材改编］不等式X2-3X-10<0的解集为.

2.［教材改编］已知一元二次方程x42ax+(7a"6)K(aGR)有两个不等的实数根，则实数a的

取值范围是.

3.［教材改编］已知集合A=(x/x-2x-3<0},8={-1,0,1,2,3},则A^B=.

题组二常错题

♦索引：解不等式时变形必须等价;注意二次项的系数符号;对参数的讨论不要忽略二次项系

数为0的情况.

4.不等式2x(x-7)>3(x-7)的解集为.

5.不等式(x+3)(1-x)20的解集为.

6.对于任意实数x,不等式mHmxf<0恒成立,则实数m的取值范围是.

课堂考点探究

。探究点一一元二次不等式的解法

例1⑴［2017•河南新乡三模］若集合心{x。巧xT4<t)河心{*/1<x<4},则等于

()

A.0B.(1,4)

C.(2,4)D.(l，2)

⑵已知不等式af节x坳X)的解集为{x/-34<2},则不等式加七户a为的解集为()

A.IAI-3<x<2}

B.{1x<-3或x>2}

C.{x/-3<x<2}

D.{A-/%<-3或x>2}

［总结反思］解一元二次不等式的一般步骤：①化为标准形式(二次项系数大于0)；②确定

判别式4的符号(若则求出该不等式对应的二次方程的根，若4<0,则对应的二次方

程无根)；图合二次函数的图像得出不等式的解集.

震式题⑴已知集合4={xGZ/V-3IW0},6={xGZ/2V-『6刈，则4C8的真子集的个数

为.

11

(2)已知一元二次不等式/(x)<0的解集为(-8,15)uG+8),则不等式/(10x)A)的解集

为.

。探究点二一元二次不等式恒成立问题

考向1形如/'(M»OaGR)

IB不等式(a-2)x02(a-2)xYe对一切xdR恒成立,则实数a的取值范围是.

(a>0,

［总结反思］⑴若不等式a.+bx+c为(aWO)恒成立，则满足L=b2-4ac<0.

(a<0,

⑵若不等式af+Ox+c-e(aWO)恒成立，则满足L=b2-4ac<0.

(3)若不等式恒成立,则要考虑aR时是否满足.

考向2形如f(x)》0(xe[a,6])

例fe若对任意的xd[T,2],都有V-2x+aW0(a为常数)，则a的取值范围是()

A.(-°0,-3]B.(-8,o]

C.[1,+8)D.(…,1]

[总结反思]一元二次不等式在指定范围内恒成立,其本质是这个不等式的解集包含着指定

敢区阿•恒大于0就是相应的二次函数图像在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相

应的二次函数图像在给定的区间上全部在x轴下方.

考向3形如f(x)20(参数///€[a,b\)

IB对任意ae[-1,1],函数F(x)=/+(aM)xM-2a的值总大于零,则x的取值范围

是.

[总结反思]解决一元二次不等式在给出参数取值范围恒成立问题时一定要搞清谁是主元,

谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围，谁就是参数.

强化演练

1.【考向1][2017•南充检测]关于x的不等式V-ax+aXKaGR)在R上恒成立的充分不必

要条件是()

A.a<0或a>4B.0<a<2

C.0<a<4D.0<a<8

2.【考向2][2017•吉林实验中学模拟]若对任意xG[l,2],有f-aWO恒成立，则实数a

的取值范围是()

A.aW4B.a》4

C.aW5D.a35

3.【考向1]若函数f⑺52+&%+1的定义域为实数集R,则实数a的取值范围为()

A.(-2,2)

B.(-8,-2)u(2,+8)

c(_oo,-2]u[2,+8)

D.[-2,2]

4.【考向3】不等式(a-3)x“<(4a-2)x对aS(0,1)恒成立,则x的取值范围是.

。探究点三一元二次不等式的应用

1ft［2017•芜湖一中月考］某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求

3

W10),每小时可获得的利润是50(5x-1+J元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元,求”的取值范围.

(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大

利润.

［总结反思］对于不等式应用问题,一般可按四步进行:一是理解题意,把握问题中的关键量;

二是引进数学符号，用不等关系疑造丕笠式;三是解不等式;四是回答实际问题.

稣题学校里两条互相垂直的道路AM,4M旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大

的三角形花园APQ,要求点B,P在4”上,点D,。在川上,且收过点C,其中川/=汕值100m,AB^30

m,4?=20m,如图6-34-1,记三角形花园4国的面积为Sm2.

(1)设〃。=xm(xX),建立三角形花园4国的面积S关于x的表达式.

(2)要使三角形花园4国的面积不小于1600m；请问的长应在什么范围内？

图6-34-1

第35讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课前双击巩固

知识聚焦、

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式表示区域

Ax+By+OO不包括______

直线Ax+By+C巾某一侧的所

Ax+By+0

有点组成的平面区域包括______

0

不等式组各个不等式所表示的平面区域的________

2.线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件由变量X,y组成的________

线性约束条件由关于*,y的______不等式组成的不等式组

目标函数关于X,y的函数________,如z3x+3y等

线性目标函数关于X,y的______解析式

可行解满足线性约束条件的______

可行域由所有可行解组成的______

最优解使目标函数取得______或_____的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_____或______的问题

3.利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤

(1)在平面直角坐标系内作出可行域.

(2)作出目标函数的等值线.

(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定最优解.

对点演练、

题组一常识题

'x-y-2<0,

x+y+3<0,

1.［教材改编］不等式组I-34XW0表示的平面区域的面积为.

,X+2y<8,

0<x<4,

2.［教材改编］若变量*,y满足约束条件I0WyW3,则z之x。的最大值等于.

3.［教材改编］某蔬菜收购点租用车辆将100t新鲜辣椒运往某市销售,可租用的大卡车和农

用车分别为10辆和20辆,若每辆卡车载重8t,运费960元,每辆农用车载重2.5t,运费360

元,据此安排两种车型使运费最少.设租用大卡车x辆,农用车/辆,则应满足的不等关系

为.

题组二常错题

♦索引：不明确目标函数的最值与等值线的截距间关系;不清楚目标函数的几何意义;对最优

解有无数个理解不透.

X+y<1

x>

0,

y->

4.已知变量％y满足约束条件0,则的最大值为

-x-y+5>0,

x+y>0,

5.若变量满足Ix<3,则的最大值是

y>o,

y—%+1工0,

6.已知变量x,y满足(y-2X+4N0,若Z可-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a

的值为.

课堂考点探究

瞰究点一二元一次不等式(组)表示的平面区域信宵

考向1平面区域的面积问题

'3x-2y>0,

3x-y-3<0,

I例i(1)在平面直角坐标系中，不等式组【y>o表示的平面区域的面积是()

3

A.1B,2

5

C.21).2

'x+y-3<0,

x—2y—3W0,

(2)设不等式组lx>l表示的平面区域为亿，直线y〃(x-3)分平面区域。，为面积相

等的两部分,则k=.

［总结反思］求解平面区域的面积问题的基本步骤：

(1)画出不等式组表示的关面区域；

(2)判断平面区域的形状,也可将平面区域划分为几个三角形;

(3)求解面积.

考向2平面区域的形状问题

12x-y+2>0,

x+y—2<0,

I例力不等式组【y>o表示的平面区域的形状为()

A.三角形B,平行四边形

C.梯形D.正方形

［总结反思］平面区域的形状问题主要有两种题型：

(1)确定平面区域的形状,求解时先画满足条件的平画区域,然后判断其形状；

(2)根据平面区域的形状求解参数问题,求解时通常先画满足条件的平面区域,但要注意对参

数进行必要的讨论.

强化演练

,x+y-2>0,

%<4,

1.【考向2】不等式组Iy<5表示的平面区域的形状为()

A.等边三角形

B.梯形

C.等腰直角三角形

D.正方形

'x>0,

x+y<2,

2.【考向1】在平面直角坐标系中，不等式组［x<y所表示的平面区域的面积为()

A.1B.2

C.4D,8

，x>0,,

（x,y）|x+y<1,

3.【考向1］［2017•三明质检］在区域1刀-丫31）中,若满足@户卜）0的区域面积

1

占°面积的则实数a的值是（）

21

A.3B.2

12

C.-2D.-3

'x<0,

x+y>0,

4.【考向2】若关于的不等式组lkx-y+120表示的平面区域的形状是等腰直角三角

形，贝Ik=.

。探究点二求目标函数的最值星四

考向1求线性目标函数的最值

'-2x+y<4,

4x+3y<12,

例h(1)[2017•河南新乡三模]已知变量满足约束条件Iy>l,则的最小

值为()

1

A.-2B.1

11

C.-2D.2

'y>3%-3,

2y<x+4,

（2）［2017•衡水中学月考］已知变量满足约束条件13x+4y+12>0,则z=2x-y的最大

值为（）

A.2B.3

C.4D.5

［总结反思］求目标函数z=ax+by的最大值或最小值,先准确作出可行域,再借助目标函数

的几何意义求目标函数的最值・

考向2求非线性目标函数的最值

'x>2,

x+y<6,

IB⑴［2017•成都三模］若满足不等式组5-2yW0厕zd+V的最小值是（）

A.2B.A/5

C.4D.5

-x-2y-4<0,

x4-y-1>0,____

(2)若变量满足约束条件l2%-y-2N0,则z』+l的取值范围是()

A.[0,2)B.[0,2]

11

-1-

C.'2」D」0,+8)

[总结反思]目标函数是非线性形式的函数时,常考虑目标函数的几何意义,常见代数式的几

何意义主要有：

(l)J/+y2表示点(X,力与原点(0,0)间的距离,J(x-a)2+(y-b)2表示点(%。与点(&»

间的距离；

yy-b

(2)或表示点(x,力与原点(0,0)连线的斜率,右表示点(x,y)与点(a,6)连线的斜率.

考向3求线性规划中的参数

'x+y>1,

mx-y<0,

IB(1)[2017•马鞍山三模]已知变量％?满足【2x-y+2N0,若z3r-y的最大值为1,

则小的值为()

8

A.3B.2

2

C.1D.3

'%+y-320,

x-2y4-3>0,

(2)[2017•烟台二模]关于的不等式组Ix-2<0表示的平面区域为〃若区域〃

内存在满足的点,则实数t的取值范围为()

A.(-8,1]B,口,+8)

C.(-8,5]D.[5,+8)

[总结反思](1)线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中；

(2)一般地，目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值.

强化演练

2x4-y-2>0,

x+y-3<0,

1.【考向1】若满足IxfyEN\则片2Y的最大值为（）

A.3B.2

C.0D.-2

Fx-y+1>0,

x+y>0,

2.【考向1］若变量满足【x<0,则z=2x+y的最小值为（）

1

A.-2B.0

3

C.1D,2

2x-y>0,

x+2y-2>0,L

3.【考向2］［2017娱州模拟］若x,y满足约束条件［y-l<0,则z=x的最大值为（）

A.1B.2

C.3D.4

1

4.【考向3］［2017•石家庄二模］变量满足/x+l/Wj<-5x+l时，目标函数ZMXY的

最大值等于5,则实数〃的值为（）

1

A.-1B.-2

C.2D.5

'x>0,

y<1,

5.【考向3］已知变量满足12x-2y+lW0,若目标函数z=ax+y（aW0）取得最小值时的

最优解有无数个,则实数a的值为.

y>1,

y<x-l,

6.【考向3］若x,y满足«+y<m,且z4+/的最大值为10,则m=.

。探究点三线性规划的实际应用

I例咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料分别用奶粉9g、咖啡4g、糖3g.乙种饮料分别用奶

粉4g、咖啡5g、糖10g.已知每天使用原料限额为奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g.

如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元.每天在原料的使用限额内饮料

能全部售出,每天配制甲种饮料杯、乙种饮料杯能获利最大.

［总结反思］解线性规划应用题的一般步骤：(1)分析题意,设出未知量；(2)列出约束条件和

目标函数;⑶作出平面区域；⑷判断最优解;(5)布据实际问题作答.

雷式题［2017%沙长郡中学三模］某高新技术公司要生产一批新研发的A款产品和B款产

品,生产一台A款产品需要甲材料3kg,乙材料1kg,并且需要花费1天时间,生产一台B款

产品需要甲材料1kg,乙材料3kg,也需要1天时间，已知生产一台A款产品的利润是1000

元,生产一台B款产品的利润是2000元,公司目前有甲、乙材料各300kg,则在不超过120

天的情况下，公司生产两款产品的最大利润是元.

第36讲基本不等式

课前双击巩固

知识聚焦、

a+b

1.基本不等式版W2

(1)基本不等式成立的条件:.

(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.

2.几个重要的不等式

(Da+42(a,方WR).

ba

(2)公正2(a,6同号).

Q+b

(3)abW(2)2(a"CR).

22

Q+ba+b

(a,6GR).

3.算术平均数与几何平均数

设aA),"0,则a"的算术平均数为,几何平均数为、万瓦基本不等式可叙述

为:.

4.利用基本不等式求最值问题

己知xX),y>0,则

(1)如果积孙是定值",那么当且仅当x可时,x+y有最小值是(简记:积定和最小).

(2)如果和x+y是定值0,那么当且仅当x可时,灯有最大值是(简记:和定积最大).

对点演练、

题组一常识题

1

1.［教材改编］已知x〉2则户"7的最小值为.

2.［教材改编］己知正实数x,y满足2x+y=\,则孙的最大值为.

3.［教材改编］一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，则这个矩形菜园的最大面积

为.

题组二常错题

♦索引：对于基本不等式的应用，注意字母的正负以及等号成立的条件,等号不成立时,通常

考虑利用函数的单调性求解.

4.函数了丁-1(x<l)的最大值为.

4

5.当x24时，,x+x-1的最小值为.

41

6.已知正实数x,y满足x+*3,则以3的最小值为,

课堂考点探究

❶探究点一利用基本不等式求最值

考向1利用配凑法求最值

8

例1(1)［2017•重庆九校联考］若aX),则a+2a+1的最小值为.

⑵已知x+3y=l(xX),y>0),则xy的最大值是.

［总结反思］利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

考向2利用常数代换法求最值

IB(1)［2017•烟台一模］已知函数y=l+log.x(9且/W1)的图像恒过点M若直线

xy

a正二1(aX,6刈经过点M,则a+b的最小值为()

A.2B.3

C.4D,5

(2)［2017•四川绵阳中学三模］已知正项等比数列｛%)满足曲若存在两项金,电使

14

2——

a

得a.aP=ie>l,则巾+P的最小值为()

4

A.3B.9

3

C.2D.不存在

ab

［总结反思］常数代换法主要解决形如“已知"yr1为常数)，求蒋亍的最值”的问题，先

ababx4-y

将蒋3转化为(入亍)•一1,再用基本不等式求最值.

考向3利用消元法求最值

2a+3b

例3［2017•浙江学军中学模拟］已知正实数a"满足才-6掰W0,则a+b()

14

A.有最大值5

14

B.有最小值5

C.有最小值3

D.有最大值3

［总结反思］当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变

量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.

考向4利用两次基本不等式求最值

1

黝已知a〉M),那么a?仍(a-b)的最小值为.

［总结反思］利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证笠号悬查或或,特别

是当连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的

条件的一致性,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要

步骤,也是检验转换是否有误的一种方法.

强化演练

1

1.【考向1】已知xG（0,4）,则y=x（l/x）的最大值为.

1

2.【考向1]若函数⑵在产a处取得最大值，则a=（）

A.V2-lB.1~yl^

C.1D.2

3.【考向2】设直角坐标系x/平面内的三点小1,-2）,庾a,T）,C（也0）,其中aX,若

12

A,B,C三点共线,贝值石的最小值为（）

A.4B.6

C.8D.9

11

4.【考向4】设则才+万+而可的最小值是（）

A.1B.2

C.3D.4

41

5.【考向3][2017•山东实验中学一模]若a,6,c都是正数，且a»+c4,则RT市17的

最小值是（）

A.2B.3

C.4D.6

。探究点二基本不等式与函数的综合问题

IB（I）[2017哈肥质检]对函数心）,如果存在&ro使得/0）=-/（-%,则称（检式X。））

与（-8,/（-%））为函数图像的一组奇对称点.若/（x）m'-a（e为自然对数的底数）存在奇对称

点,则实数a的取值范围是（）

A.（-8,1）

B.（1,+8）

C.（e,+8）

D.[1,+8）

8

(2)［2017•南昌一模］已知两条直线/i：片7〃(加＞0)和，2：片2m+1,A与函数片|］。。2%1的图

像从左到右相交于点A,民心与函数片的。2%1的图像从左到右相交于点C,D,记线段/C和BD

b

在x轴上的投影长度分别为a,b,当加变化时,改的最小值为.

2

ax+bx+c

［总结反思］形如片dx+e的函数的值域或最值，可以利用基本不等式求解，在求解过

程中特别要注意取等号的情况,若不满足取等号的情况,则可以利用函数的单调性求最值.

圜式题若在函数片Mx)图像上不同两点材(几兄，M及,㈤处的切线的斜率分别是七,k、,规

\kM~*.1

定定理加=l-N|(/腑/为线段*的长度)叫作曲线尸f(x)在点M与点N之间的“弯曲

度”.设函数F(r)=x，2图像上的不同两点为做为，必),N5,㈤，且汨热=1,则＜t＞(此心的取值

范围是.

。探究点三基本不等式的实际应用

版fe小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年

起,每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输

累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第〃年年底出售,其销售价

格为(25-〃)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).

(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润=累计收入修肖售收

入-总支出)

［总结反思］利用基本不等式解决实际应用题的基本思路：

(1)设变量时一般把要求的变量定义为函数;

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，再利用基本不等式求得函数的最值;

(3)求最值时注意定义域的限制.

第37讲合情推理与演绎推理

课前双击巩固

知识聚焦、

1.合情推理

⑴定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行,然后提出的

推理叫作合情推理.

(2)分类:数学中常用的合情推理有和.

(3)归纳和类比推理的定义、特点及步骤

名称归纳推理类比推理

根据某类事物的_____具有某些特征,推

由两类对象具有_______特征和其中一

出该类事物的_______都具有这些特征

定义类对象的某些已知特征,推出另一类对象

的推理,或者由个别事实概括出一般结论

也具有这些特征的推理,叫作类比推理

的推理,叫作归纳推理

由______到______、

特点由______到______的推理

由______到______的推理

④戈出两类事物之间

0®过观察_______发现___________;的______________;

步骤②从已知的_______中推②用一类事物的_____去推

出_________________________测___________,得出一个明确的命题

(猜想)

2.演绎推理

(1)模式:三段论

。大前提：已知的一般原理；

②小前提:所研究的特殊情况；

霹论:根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

(2)特点:演绎推理是由到的推理.

对点演练y

题组一常识题

1.［教材改编］仔细观察如图6-37-1所示的图形:图⑴是一个水平摆放的小正方体木块,图

(2)、图(3)是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第7个叠放的图

形中,小正方体木块总数是.

图6-37-1

。］++**a+

2.［教材改编］若数列｛&｝("WN)是等差数列,且b0=n,贝IJ｛儿｝也为等差数列.

类比上述性质,相应地:若数列⑷是等比数列,且c,N,则当&=时，｛&｝也是等比数

列.

3.［教材改编］给出如下“三段论”的推理过程：

因为对数函数y=log“x(aX且a声1)是增函数(大前提)，而y=lo次是对数函数(小前提)，所

以y=lo次是增函数(结论).

则上述推理过程的错误原因是.

题组二常错题

♦索引：演绎推理中的大前提、小前提和结论判断出现错误或违背演绎推理规则;没有理解类

比推理中的规律，归纳推理中的猜想.

4.正弦函数是奇函数，因为f(x)=sin(x+l)是正弦函数，所以f(x)=sin(x+l)是奇函数.以上

推理的错误原因是.

S11

5.在平面几何中有如下结论:若正三角形力宽的内切圆面积为S,外接圆面积为题则$2=4.

推广到空间几何体中可以得到类似结论:若正四面体小时的内切球体积为匕外接球体积

为%则嗔=.

6.观察下列各式：

13

W22<2,

££5

W22^32<3,

1117

I1?©?/2a.

111

照此规律,当时，"22,32*.+(n+1)2<.

课堂考点探究

。探究点一类比推理

例1⑴设等差数列｛%｝的前〃项和为S1H则S,,W-S,$2-S成等差数列.类比以上结论有:设

%

等比数列｛九｝的前〃项积为T,„则T,,,78成等比数列.

(2)［2017•太原三模］我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细,所失弥

少，割之又割，以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过

1

1

1+------

程.比如在表达式H1+…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方

1-yJS+1

程1%玄心的)求得产2.类比上述方法，则j3+2j3+2j...=()

g+］

A.3B.2

C.6D.2#

［总结反思］英比推理悬由特殊到特殊的推理,其一般步骤为：魏出两类事物之间的相似

性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).

圉式题⑴［2017•吉林大学附属中学模拟］如图6-37-2,在梯形/版中,48〃吨+nb

CD,AB=a,CD=b｛a>6).若EFaAB,〃到CD与四的距离之比为m：n,则可推算出EF=m+n,

利用以上结论,推想出下面问题的结果.在上面的梯形切中,分别延长梯形的两腰4〃和BC

交于。点，设△力瓦△如C的面积分别为S,&,则△断的面积&满足俐用

历,〃，51,W表示).

(2)己知等差数列｛%］中，3|()«4),则a^+a2+--+aa=ai9*“+a20mM()＜2017).若等比数列也”｝

中，瓦1。=1,则类比上述等差数列的结论,试写出等比数列的结论为.

图6-37-2

雷式题(1)［2017•吉林大学附属中学模拟］如图6-37-2,在梯形/腼中,/8〃

ma+nb

CD,AB=a,CD=b(a＞。.若EF〃AB,做到CD与49的距离之比为m:n,则可推算出跖二6十九，

利用以上结论,推想出下面问题的结果.在上面的梯形5中,分别延长梯形的两腰力〃和BC

交于。点,设IXOAB、的面积分别为S,W,则△密的面积&满足(利用

m,77,51,S表不).

⑵已知等差数列｛，｝中，aioosO,则ai+ai+--+aa=团9*“(加＜2017).若等比数列也“｝

中，瓦1。=1,则类比上述等差数列的结论,试写出等比数列的结论为.

O探究点二归纳推理

例2(1)［2017•南昌三模］己知13+2342),13+23+3342),l3+23+3M3=\2)，….若

1'+23+33Ml•切3%025,则〃=()

A.8B.9C.10D.11

(2)［2017•郑州、平顶山、濮阳质检］平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角

线，以此类推，凸十三边形的对角线条数为()

A.42B.65C.143D.169

［总结反思］归纳推理是从蟋到二股的推理，所以应根据题中所给的现有的图形、数据、

结构等着手分析,从而找出一般性的规律或结论.

回式题(1)己知整数对的序列为

(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…，则第

70个数对是()

A.(3,10)B.(4,9)C.(5,8)D.(6,7)

2xx

⑵己知心)=2-X,设/i(x)=/(x),以X)=£T[£T(x)](n>l,cGN*),若A(x)=1-256%(旌心,

则m=()

A.9B.10C.11D.126

o探究点三演绎推理

例b如图6-37-3,在直三棱柱ABC-46K中，力人园点〃是四的中点.

图6-37-3

求证：⑴47_L6G;

(2)4G〃平面BKD.

［总结反思］演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般模式为三段论,应用三段论解决问题

时,首先应该明确大前提、小前提是乱么,而第前提是显然的,则可以省略.

震民题［2017•陕西渭南二模］某运动队对A,B,C,D四位运动员进行选拔,只选一人参加比

赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：''是C或D

参加比赛”；乙说：“是B参加比赛”；丙说：“A,D都未参加比赛”；丁说：“是C参加比赛”.

若这四位教练中只有两位说的话是对的，则参赛的运动员是.

第38讲直接证明与间接证明

课前双击巩固

知识聚焦、

1.直接证明

(1)综合法

综合法是从推导到的思维方法.

具体地说,综合法是从出发,经过逐步的,最后达到.

(2)分析法

分析法是从追溯到的思维方法,具体地说,分析法是从出

发,一步一步寻求结论成立的,最后达到或.

2.间接证明

反证法:假设不成立(即在的条件下,—不成立)，经过正确的推理,最后得

出，因此说明假设错误,从而证明了成立,这种证明方法,叫作