高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (12)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(12)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.己知三个点A,B,C的坐标分别为(3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),若△ABC为直角三角形，

求实数，〃的值.

2.已知m=(V3sina)x,cosa>x)>n—(coscox,—cosa)x)(a)>0,xGR)，f(x)=m-n-1且/(x)的图

象上相邻两条对称轴之间的距离为最

(1)求函数/(£)的单调递增区间；

(2)若EMBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且匕=夕，/(B)=0,sinA=3sinC,求

a,c的值及4c边上的中线.

3.已知向量五=(一2,1),b—(x,y).

(1)若x,y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先

后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足日7=-1的概率；

(2)若x,y在连续区间［1,6］上取值，求满足商7<0的概率.

4.在平面直角坐标系xQy中，已知4一1,-1),8(2,—l),C(m,n)为三个不同的定点.以原点O为圆心

的圆与线段4B,AC,BC都相切.

(I)求圆。的方程及的值；

(口)若直线，:丫=一%+，46/?)与圆。相交于时,村两点，且而•而=一去求f的值;

(HI)在直线A。上是否存在异于A的定点Q,使得对圆。上任意一点P，都有翳=4U为常数)？

若存在，求出点。的坐标及4的值；若不存在，请说明理由.

5.设向量方=(cos23°,cos67°),3=(cos68°,cos22°)，u=a+tK(te/?).(1)求五•1;

(2)求证的模的最小值.

6.在团ABC中，AB=2,AC=1,NBAC=120。，点E,尸在BC边上且晶=4后，BF=fiBC-

(1)若4=%求AE的长；

(2)若元1.第=4，求；的值.

7.在直角梯形ABC。中，已知AB〃CD,zDAB=90°,AB=6,AD=CD=3,对角线AC交8〃

于点O,点M在A8上，且0M1BD.

(1)求丽!•丽的值;

(2)若N为线段4c上任意一点，求瓶.厢的取值范围.

8.已知向量不=(cosa,sina),弓=(cos0,sin0)，且五与B满足关系+31=E-kB|(k>

0).

(1)求值与方的数量积用％表示的解析式f(k)；

(2)方能否和B垂直？五能否和石平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值

(3)求弓与3夹角的最大值.

9.已知向量不=(cos|x,sin|x),加=(cos：,-sin,且％6[0,5，求：

(l)a-KS|a+b|;

(2)若f(x)=五.3-2川日++的最小值为一去求实数;I的值.

10.在锐角△力BC中，设角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且bsin4=^a.

2

(1)求B的大小：

(2)若48=2,BC=|,点力在边AC上，,求8。的长.

请在①/W=DC；(2)ADBC=ADBA；③BD14C这三个条件中选择一个，补充在上面的横

线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分).

11.对于一个向量组近，说,雨，…，猊(nN3,neN*),令匕=4+诙+码+…+猊，如果存在

可(pe/v*),使得|亏|之寓-亏那么称可是该向量组的“长向量”.

(1)若又是向量组式，反,运的“长向量”，且乐=(n,x+n),求实数x的取值范围；

(2)已知可诙，码均是向量组近，无，码的“长向量”，试探究用瓦,码的等量关系并加以证明.

12.在平面上，给定非零向量石，对任一向量示定义£=方-鬻反

网2

(1)若@=(2,3),方=(—1,3)，求7；

(2)若方=(2,1)，位置向量(某一点的位置向量是以原点为起点，以该点为终点的向量)日的终点坐标

满足方程+By+C=O,求位置向量晟的终点坐标满足的条件；

(3)已知存在单位向量石,当位置向量五的终点坐标满足/=y时,位置向量晟的终点坐标满足必=X,

求方的坐标.

13.已知向量五=(2+sinx,1),b=(2,-2)>c=(sinx-3,1),d=(l,fc)(xeR,k&R).

(1)若xe［一且五〃@+求x的值.

(2)若函数f(x)=5.K，求/(x)的值域.

(3)是否存在实数%,使得位+办1@+可?若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理

由.

14.平面向量立了夹角为60。，K|3-6|=2.

(1)若同=乎，求|2(-3旬;

(2)求方.0+2力的最大值.

15.已知向量记=(cosx,sin%),n=(cosx,—sinx),函数/'(%)=记•元+:・

(1)若居)=1，xe(0,7T),求tan(%+9的值;

(2)若f(a)=aej?),sin£=区,Se(0,)求2a+夕的值.

1UZ4'104

16.已知平面上三个向量为1l的模均为1,它们相互之间的夹角为120。.

(1)求证：(a-K)1c;

(2)若|k五+3+小>l(keR),求一的取值范围.

17.在平面直角坐标系xO)，中，已知平面向量五=(2,3),b=(-2,4)>c=(1,-1).

(1)求证：五一31五一不垂直；

(2)若往+4氏与3是共线向量，求实数4的值.

18.如图在△ABC中，/-BAC=p满足而=3而.

⑴若48=会求的余弦值;

(2)点M是线段C。上一点，且满足前=小屈+之而，若AABC的面积为2g，求|而?|的最小值.

19.如图，在平行四边形ABC。中，己知/BAD=60。，|荏|=3,|而|=2，而==|CD.

D.C

(1)若前=根荏+n同，求〃?，”的值和向量前的模长;

(2)求前和前夹角的余弦值.

20.设6、尸2分别是椭圆C:,+\=l(a>b>0)的左、右焦点，E是椭圆C的上顶点，/“也是

等边三角形，短轴长为2

(1)求椭圆C的方程：

(II)已知A,B分别为椭圆左右顶点，位于y轴两侧的P,。分别是椭圆C和圆/+y2=炉上

的两个动点，且直线PQ与x轴平行，直线AP,3P分别与y轴交于M,N,证明：乙MQN=90°.

21.已知面=4，亩=2，且热与了夹角为120°，求:

(1,在1方向上的投影向量(用向量W表示)

(2)(。-2b)•(a+b)；

⑶12aMi

(4)a与Q+£)的夹角.

22.己知|方|=4,\b\=3，(2a-3b)-(2a+h)=61.

(1)求向量为与3的夹角仇

(2)若2=+M-c=0,求实数f的值及团.

23.已知向量力、石满足：|五|=1,|石|=6，a'(b—a)=2-

(1)求向量方与方的夹角及|2方一b|的值；

(2)是否存在实数;I使得(43-K)Lb,若存在，求实数;I的值；若不存在，说明理由.

24.已知椭圆C：'=l(a>b>0)经过点P(2,我),一个焦点F的坐标为(2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/：y=kx+m与椭圆C交于A,B两点，。为坐标原点，若岫〃koB=-5求明•丽的

取值范围.

25.已知五万夹角为60。，且|初=2,若了=一料+t另(teR),则|现+用一项的最小值为

26.如图，在2MBe中，AB=2,AC=3,/-BAC=60",丽=2而，CE=

BA

2瓯

D,

C

(1)求co的长;

(2)若方=4定，丽=4够求，〃的值，以及嘉的最小值.

27.2知向量记=(，，一乎),w=(sinx,cosx).

(1)若记，元，求x的值；

(2)若/与)的夹角为5xe(0,^),求x的值.

28.已知椭圆CW+3=l(a>6>0),A,B为椭圆的左、右顶点，点N(0,-2),连接BN交椭

圆C于点Q,AABN为直角三角形，且|NQ|：|QB|=3：2.

(1)求椭圆的方程；

(2)过A点的直线/与椭圆相交于另一点M,线段AM的垂直平分线与y轴的交点P满足同•询=

求点P的坐标.

29.已知点4(0,-1),B(0,l),动点P满足|闻||屈|=证.就记点尸的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)设。为直线y=-2上的动点，过。作C的两条切线，切点分别是E,F.证明：直线EF过定

点.

30.已知椭圆C:*+卷=l(a>b>0)的离心率e=多过右焦点尸(c,0)的直线y=工一c与椭圆交于

A,B两点，A在第一象限，且|4F|=企.

(1)求椭圆c的方程；

(2)在x轴上是否存在点M,满足对于过点尸的任一直线/与椭圆C的两个交点P,Q,都有9.MQ

为定值•若存在，求出点〃的坐标；若不存在，说明理由.

【答案与解析】

1.答案：解：由已知得同=（3,1），AC=BC=（-1

当乙4为直角时，而,充，则都•前=3（2-m）+1—巾=0，解得7n=（

当48为直角时，血_L/，则布•豆？=3（—1一m）—7n=0，解得m=-*

当4c为直角时，充_L而％则彳？•瓦：=（2一爪）（一1一机）+（1—6）（一小）=0,

即标一…=0,解得m=萼.

综上，当△ABC为直角三角形时，，"的值为：或-:或萼

解析：本题考查的是向量垂直的判断，考查向量数量积，是基础题.

先求得南=（3,1），彳？=（2--血），方=（一1一皿m），再对乙4,乙B,4c为直角分类讨论.

2.答案：解：（1）・・・f（久）=m-n

=->j3sina)xcosa)x—cos2a)x—g

V31

=--sin2a)x--cos2a)x—1

22

=sin(2tox--1,

・・・f(%)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为今

•••-=即T=7T,

22

・••23=竿=2,即3=1,

・•・/(%)=sin(2x-—1,

6

令一卫+2kn£2.x——+2/CTT,

262

解得上兀一x£kn十三(kEZ),

OO

/（X）的单增区间为POT-1,kn+^k&Z.

(2)根据f(B)=sin(2F-J)-1=0,得到B=或

由sin/=3s山C,根据正弦定理得Q=3c,Xvb=V7»

在中由余弦定理得尼=*22即得到

Z14BCa4-c—2accosBfc=1,a=3,

记AC边上的中线为30,

2

则(西2=的回)

(BA)2+2BA-BC+(BC>)2

二4

12+2X1X3X1+3213

44

・•.I防I=吟

故a=3,c=l,AC边上的中线为名.

2

解析：本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，以及三角函数图像和性质，以及

正弦定理余弦定理的运用，本题属于中档题.

(1)先根据/(x)=m-n~l，运用向量坐标运算公式和三角恒等变换得到/Q)=sin(2<ox-^)-1,

再根据f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为会得到/(x)周期T,进而求出3,即求出f(x)的

解析式，最后令一m+2k7r<2x-%w］+2k7r,解出关于x的不等式，即可求出函数f(x)的单调递

增区间；

(2)先根据/(8)=sin(2B-1=0,得到B=p再根据sinA=3sinC得到a=3c,

然后根据余弦定理得炉=a2+c2—2accosB,即可求出a、c的值，最后根据(前产=(半曳，，代

入数据运算即可求出AC边上的中线.

3.答案：解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6x6=36个;

由苍7=—1，得-2x+y=-l,.•・满足a-b=-l的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5)共3个；

:满足1•b——1的概率为P=/=白；

3612

(2)若x,y在连续区间［1,6］上取值，则全部基本事件的结果为0={(x,y)|14x46,1<y<6］；

满足为小<0的基本事件的结果为4={(x,y)|l<x<6,l<y<6且一2x+y<0}；

画出图形如图所示，

・2x

则矩形的面积为s矩形=25,

阴影部分的面积为S掰彩=25-ix2x4=21,

满足方•b<0的概率为P—

解析：本题主要考查了古典概率和几何概型的概率计算问题，体现了数形结合的数学思想，是中档

题.

(1)根据题意，求出满足条件五不=-1的基本事件个数及总的基本事件个数，

代入古典概型公式进行计算求解即可；

(2)根据题意，画出满足条件五不<0的图形，结合图形找出满足条件的点集对应的图形面积，利用

几何概型的概率公式计算即可.

4.答案：(1)因为圆0与48相切，所以半径等于。到48的距离.

直线AB：y=—1,所以丁=1,圆。：%2+y2=1.

圆。与AC相切，4(—1,—1),所以直线AC：x=—1,所以?=—1.

直线8C：当=篙Q3(7+1)+5+l)(x-2)=0

0到BC的距离为1,所以二:=1=n=3或—1(舍)

VV十(71十1)

所以几=3.

(11)设加=(右,丫1),丽=(无2/2)，因为M，N在直线/上，所以丫1=一/+3y2=-X2+t.

'V=­X+tX1+%2=t

联立，炉+丫2=1得2--2比+产_1=0,所以t2-l

X/2=—

则一:=0M•丽=%1%2+%丫2=xlx2+(一%+亡)(一％2+t)

t(Xj+%2)+t2=t2-1=>t=±Y'

—2XTX2—

(HI)直线AO：y=x,假设存在这样的。，设其坐标为(a,a).

设P%，y。)，财=蹲=k髅篙.

由P的任意性，令曲=1,y0=。和久0=-1,y0=0代入得(i_a：2+a2=於=(_1J)2+a2

=(1-a)2+Q2=5(-1-a)2+5a2=>a=-，或Q=-1(舍)

所以¥=(__a)2+a2=2,因为A>0,所以a=V2.

将a=-$4=&代入M=*邛答吐耳,贝IJ2=吊黑：：。詈：=诏+据=1恒成立.

22

2(x0-a)+(x0-a)(%o+5)”+(yo+5)

所以这样的。是存在的，坐标为(一3一》，此时;l=&.

解析：本题考查了直线与圆的方程、点到直线的距离等知识，运用了特殊值法、韦达定理等方法，

属于难题.

(I)因为4、8己知，所以通过。与AB的距离求半径，再根据半径求C点坐标，注意到A点坐标的

特殊性，AC这条直线是垂直于x轴的.

(11)将加、N点坐标设出来，将直线方程与圆的方程联立，将向量关系转化为韦达定理代入即可求

解.

(III)事实上条件的意思是圆。是以A、。为顶点；I为定比的阿波罗尼斯圆，所以这样的。点是存在

的.可以代入特殊点将。点坐标求出来，再代入验证.

5•答案：解：(1)a-b=cos23°cos680+cos670cos22Q=cos23°cos68°+s讥23°s讥68°

V2

=cos(23°—68°)=cos450=—;

(2)v\u\2=(a+tb)2=\a\2+t2\b\2+2ta-br

a2=COS223°+cos267°=cos223°+sin223°=1，由『=cos268°4-sin268°=1，

|u|2=l+t2+2t^=(t+^)2+|)

当"—当时,\u\min=^.

解析：本题考查了平面向量的坐标运算，平面向量数量积以及向量求模，也考查了三角恒等变换及

二次函数的性质，属于中档题.

(1)利用向量数量积求解，利用三角函数和差角公式化简求解；

(2)先求|u\2=(a+tK)2=|a|2+t2|b|2+2ta-b=(t+^)2+5然后求最小值.

6.答案：解：(1)设4B=a>^4C=b，

贝|J|矶=2,|K|=1，a-b=|a||K|cos120°=-I,

所以荏=而+屁=五+久3—方)=|为+

।画=J(轲+须2=J1(16+l-4)=当

(2)AE=AB+BE=a+A(b-a)=(1-A)a+Ab>

同理可得，AF=AB+BF=a+fi(b-a)=(1-+/ib，

AE-AF=[(1—A)a+AK]•[(1—/z)a+pb]

—4(1—2)(1—〃)+A/z—[(1-A)/z+(1—/i)A]

=4+7人林—5(4+〃)，

.・・4+7加-5(/1+〃)=4,7川一5(A+〃)=0,

-117

同除以加可得，

解析：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，是中档题.

(1)设荏=五，AC=b＞利用向量的数量积以及向量的模求解即可.

(2)求出荏.都=4中的向量表示，利用向量的数量积转化求解即可.

7.答案：解：(1)因为NDAB=90。，

所以以A为坐标原点，AB,AO分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如下图：

「C

因为AB//CD,AB=6,AD=CD=3,DU---------------

所以A(0,0),B(6,0),C(3,3),D(0,3).'〉〃

又因为对角线AC交班)于点O,IV/

所以由m=t就得方=(3t,3t),即O(3t,3t),PA/_____________

M

因此前=(3t,3t-3)，DB=(6,-3).

HuDO//DB»所以—3x3t—6x(3t—3)=0,解得t=y

因此0(2,2).

又因为点M在AB上，所以设

因此砺=(m-2,-2),BD=(-6,3).

而OM1BD,所以丽•前=一6(加一2)-6=0，

解得nt=1,即M(l,0),

因此丽=(1,0)，而前=(一6,3)，

所以前•前=-6，

即祠•丽的值为一6；

(2)因为N为线段AC上任意一点，

所以由(1)知：可设N(n,7i)(0<n<3)(包括端点)，

因此前=(n,n)，MN=(n-l,n).

所以而•MN=n(n-1)+n2=2n2—n-

因为函数y=2/—n的图象开口上，对称轴为n=；,

而0<n<3,

所以函数y=2n2—n的值域为卜'15],

即丽•丽的取值范围是[一也词.

解析：本题考查了二次函数，向量的数量积，相等向量的概念，向量垂直的判断与证明，平面向量

的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题.

(1)根据题目条件，以A为坐标原点，AB,AO分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，利用相等向量

的概念的坐标运算得m=(3t,3t)，从而得O(3t,3t),再利用向量的坐标运算得前=(3t,3t-3)和

DB=(6,-3),再利用平面向量共线的充要条件得得t=|，从而得。(2,2),设M(m,0),从而得而=

(TH-2,-2),前=(一6,3),再利用向量垂直的判断的坐标运算得m=1,从而得M(l,0),再利用向

量的坐标运算得宿=(1,0),再利用向量数量积的坐标运算，计算得结论：

(2)利用(1)的结论，结合题目条件设N(n,n)(03)(包括端点)，再利用向量的坐标运算得前=

(n,n)^MN=(n-再利用向量数量积的坐标运算得RV•祈可=2n2—n>最后利用二次函数，

计算得结论.

8.答案：解：(1)由已知得|五|=|1|=1.

V\ka+b\=V3|a-fcb|.

(ka+b)2=30-k石>,

k2\a\2+2ka-b+\b\2=3(_\a\2-2ka-b+k2\b\2^

•••8ka,-b=2k2+2>•-a-b—(fc>0).

(2)由(1)知方•]>0.

五与石不可能垂直.

若五〃石，由五•石>0知方，方同向，

于是有方•/?=|a||b|cos0°=|a||K|=1>

即空1=1,解得k=2土旧，

4k

.••当A=2土6时，a//b.

(3)设五与方的夹角为。，

则<\)«0=~~士-=育•77=卜g>0),

IHI6I4k

...cos0=i(fc+i)=l[(Vfc)2+(i)2]=；[(Vfc-^)2+2]，

二当迎=亲即k—1时，cos。取得最小值

又0。<0W180。，.•.1与石夹角。的最大值为60。.

解析：本题考查了数量积运算，向量的垂直与平行的判定与证明以及求夹角的问题；

⑴区五+石|=百|日一上方|等式两边平方化简求解.

(2)由(1)得心石>0,所以五不可能能否和方垂直，所以利用平行的等价条件白司=|立网求解.

(3)用上表示下•T\,利用二次函数求最值.

9.答案:解：(1)a-K=cos|xcos|-sin|xsin|x=cos2x,

•・・(a+b)2=a2+2a-b^b2

=1+2cos2x+1

=2+2cos2x

2

=4cosxf

又xe血堂,

A|a+b|=2cosx\

(2)/(%)=a-6-2A|a+h|=cos2x—4Acosx=2cos2x—4Acosx—1

=2(cosx-A)2-2A2-1,因为cos上€[0,1,

若4>1时，当cos%=l,=1-4A<-3,与题意不符；

若2<0时，当COSX=0,=与题意不符；

若0<A<1,当COST=九fMmin=_2A2-1,

由—2万-1=—|,入E[0,1],解得人=

故实数;I的值为

解析：本题考查了平面向量的坐标运算，考查向量的数量积及向量的模的运算，及利用二次函数性

质、余弦函数的性质、分类讨论求最值，属于较难题.

(1)利用向量数量积、模的运算得结论；

(2)将⑴中方方及|五+1|的运算式子代入/(x)=方不一2七五+坂|，变形为f(x)=2(cosx-A)2-

2A2-1,通过分类讨论求最小值，即可解得4的值.

10.答案：解：(1)在△4BC中，由正弦定理=以及bsinA=受a得siriBsinA=史sinA，

''sm4sinB22

因为△ABC为锐角三角形，

所以((),，，所以sinAW0,所以

22

又Be(().§,所以B；.

(2)若选①.

在△ABC中，因为AD=DC,所以乔="而+就).

所以前2+BC2+2BA-BC)

_22+(1)Z+2X2X|XCOS^_37,

4—16

所以80=且.

4

若选②.

在448c中，S^ABC=S^ABD+S&CBD，

即工B4•BC-sin-=-BA•BD•sin-+-BD・BC•sin-,

232626

即工x2x三x3=工X2XBDX」+3XBDX2XL

22222222

解得8。=迪.

7

若选③.

在△ABC中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB

2/3\23TT13

=2-+(21-2x2x-xco«-=-j-.

所以北=叵.

2

因为SMBC=\BA-BC-sinB=1x2x|xy=^,

又SA4BC=：BDSC=WBD,

所以叵BD=递，

44

解得：BD=引竺.

13

解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了

计算能力和转化思想，属于中档题.

(1)由正弦定理化简已知等式，结合A,B为锐角进行求解；

(2)若选①.由题意可得前="明+能)，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解8。的

值；

若选②曲于SMBC=S-BD+S&CBD，利用三角形的面积公式即可求解BD的值；

若选③.由余弦定理可求4c的值，利用三角形的面积公式可得手BD=¥，即可求解.

11.答案:解:⑴由“长向量”定义得|可|＞同+乐|.

因为设=(弭％+九)，所以石*=(l,x+l)，雨=(2,x+2),aj=(3,x+3),

・,•/+石=(3,2%+3),

:.J9+(%+3产＞」9+(2%+3产,解得一24X40,

二实数x的取值范围为[一2,0].

(2)瓦，石，记的等量关系为近+石+码=0.

证明：由题意可知，而是向量组宕而后的“长向量”，即满足|万|)|布+6.

所以同|2）同+62,即访2》⑥+码产，

展开化简可得而2》近2+运2+2石.无，

同理石，雨也是向量组或，雨，雨的“长向量”，

则可2》瓦2+记2+2近怎,

可2》片十局2+2码.瓦,

三式相加并化简得：0》瓦2+诙2+码2+2/•记+2底・诟+2石•码,

即（西+诙+砧240,|二+通+雨|40,

•*•a1+a?+cig=0.

解析：本题考查了平面向量中新定义的理解与应用，向量坐标运算及模的求法，创新性好，正确理

解题意是解决问题的关键，属于难题.

（1）根据长向量的定义可知|而|》|互+诙结合条件用坐标表示出逼和码+石，即可由向量的模

长公式得关于X的不等式，解不等式即可求得X的取值范围.

⑵由“长向量”定义可得百2,石2,运2的不等式组，对三组式子合并化简即可证明.

12.答案：解：（1）五不=-2+9=7，|石『=io,

-；14（-1,3）721176

'.a=（2,3）io-=G3）一（一斤可）=（亏「制

(2)设2=(zn,n),则方•b=2m+九,|b『=5,

、2(2m+n)、-3m-4n-4m+3n

~fzzx

・•・a=(jnfn)---------(2,1)=(--—,---),

-37n-4n-3x-4y

m=--------

55

设a'=(%y)，-4771+371*_-4x+3y

5-5

•・,位置向量五终点坐标满足方程Ax+By+C=0,故个&X4+个包x8+C=0,

・•・(34+48)%+(44-38)y-5C=0,

位置向量/的终点坐标满足的条件为(3/+4B)x+(44-3B)y-5C=0,

(3)设3=(cos。,sin。)，5=(%,%2),则为•B=xcos。+/sin。，

・,・a'=(%,%2)—2{xcosS+x2sin0)(cos0,sind)=(—%2sin20—xcos2d,x2cos29—xsin20y

・・,位置向量/的终点坐标满足y2=%,故/cos?2。一2x3sin29cos29+x2sin220=-x2sin20-

xcos20,

.%x3cos220—2x2sin20cos20+x(sin2204-sin20)+cos20=0恒成立,

.(cos20=01.(sin26=-19.„

QC/QA、c八

•(•sjm2•0(sm20+1id)=0r\,i•cios29=0r\,♦292——TC4-2/C7T,k£Z,

3

・・.0=-yr4-lai,kEZ,

4

・•・cosO=—它，sin0=它或cos。=-»sin0=——,

2222

争或石=4,4).

解析：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算，属于中档题.

(1)根据定义式计算即可；

(2)设2=(加九)，求出3的坐标(％y),用x,y表示出相，〃，代入4%+By+C=0整理得出结论；

⑶设另=(cosasin。)，a=(x,x2),求出/坐标，代入y2=%化简，根据等式恒成立求出cos。和5比。

的值.

13.答案:解：⑴b+"=(sin%-1,-1)，又五〃(b+F)，

・•・—(2+sinx)=sinx—1,即sin%=一：.

又xe［一词］,

・•・%=一£.

6

(2)va=(2+sinx,1),b=(2,-2)，

/./(%)=a-K=2(2+sinx)-2=2sinx+2.

又％6R,

・•・当sinx=—l时，fQ)有最小值,且最小值为0;

当sinx=1时，/(%)有最大值，且最大值为4.

・•・/(%)的值域为［0,4］.

(3)1五+d=(3+sin%,1+k)，b-be=(sinx—1,-1)»

若0+Z)JL@+?)，则(五+办,@+0=0，

即(3+sinx)(sinx—1)—(14-fc)=0,

:.hsiirJ--2siiiJ--4=(sinT+1厂一5.

由sin%G[—1,1],得kG[—5,-1].

，存在kG[—5,—1]»使得位+d)1(64-c).

解析：本题考查向量的共线与垂直，数量积的应用，向量与三角函数的联系，难度适中.

(1)考查向量共线的坐标表示，再根据向量平行的坐标运算即可得到结果；

(2)由题设/(%)=a-b=2sinx+2,得函数的值域.

(3)由题设得(五+2)•0+弓=0,k=(sinx+l)2-5得解.

14.答案:解:⑴・.・向量区另夹角为603且|五一1|=2，

/.13—K|2=4»

即五2—2a-b+b2=4，

(v)2-2Xx|b|xi+\b\2=4-

解得：@=竽，

27

\2a-3b\2=4a2-12a-b+9b2=4x(^)-12x^x^x1+9x=誓,

--4V21

|2a-3b|=-y—

(2)因为|方—b|=2,所以0—6)2=4,所以|五E+।卜产一2五,匕=4,

又五7=|,||B|cos60。=?初|石I，

所以|矶2+\b\2-\a\\b\=4,

所以方•0+2石)=|a|2+2a-&=|a|2+|a||b|

同2+|洲b|

=4X___________________

|a|2+|K|2-|a||K|

\b\

+W

+（部-

1+百

=4x

（1+图」3疆+1）+3

4

1+用+」__3

同1+

令”1+卷，则"@+2石)=京4启=法=中,

当且仅当1=次，即号=6一1时，等号成立.

1。1

所以日,仁+2B)的最大值为第+4.

解析：本题考查了向量的模、向量的数量积和基本不等式的运用，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

(1)由|五一3『=2得|方|=竽，从而计算出|21一3a2,进而可得结论；

(2)由小①+2%)=|为『+2五不=|初2+।百|信|=4x谭谭|扁，分子分母同时除以

|小2,化简后由基本不等式可得最大值.

15.答案：解：(1)因为向量记=(cos%,sin%),n={cosx,—sinx),

所以/(%)=m•n+|=cos2%—sin2%4-1=cos2x+

因为fg=1,所以cos%+g=l,即cos%=[

又因为XE(0,7T),所以工£,

7r7T7Ttan丁+tan-

所以tan(j：+彳)=tan(彳+彳)----」7r---=-2—y/3.

4J4I一庙1(an-

«5

(2)若/(a)=-则cos2a+[=-',即COS2Q=-|.

因为cC(W),所以2Q€(7T」；)，所以sin2a=-41-cos22a=―>

2425

因为§讥夕=黑，，"),：)，所以cos/?={\一sin2s=

所以cos(2a+S)=cos2acos(i-sin2asin。=(—|)x^—(—|)x甯=争

?7T7T

又因为2c€(7T.彳)，36(().5),所以2a+6E(71,2"),

所以2a+£的值为，丁

解析：本题考查了向量的数量积、二倍角公式及两角和与差的三角函数公式，属于中档题.

(1)由向量的数量积可得f(x)=cos2x+p由/'(I)=1求得x的值，再由两角和与差的三角函数公式

可得tau(_r+：)的值；

(2)先求得cos2a=—|,结合角的范围得sin2a.同理由sin.得cos0,由两角和与差的三角函数公式可

得cos(2a+6),故可得答案.

16.答案：(1)证明T0—石)N=五々B1

=|a|•|c|•cosl20°—|b|­|c|­cosl20°=0,

•••(a-K)1c.

(2)解|k巧+1+E|>1o(k苍+1+?)2>i

22

即42五2+b+^+2ka-b+2ka-c+2b-c>l-

■.^\a\=\b\=\c\=1.且乙瓦口相互之间的夹角均为120。，

32=K2=c2=1-ab=b-c=ac=

k?+1—2/c>1>即A2-2k>0>

k>2或k<0.

即左的取值范围是(一8,0)U(2,4-00).

解析：本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式.

(1)利用向量的分配律及向量的数量积公式求出值-方)I;利用向量的数量积为0向量垂直得证.

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式将已知等式平方得到关于上的不等式求出

k的范围.

17.答案:(1)证明：因为多=(2,3),」=(-2,4)，c=

所以五一b=(4,—1)，a—c—(1,4),

从而Q—Z?)­(a—c)=4x1+(―1)x4=0,

且五—方与五一不均为非零向量，

所以方一方与五一下垂直；

(2)解:因为五=(2,3),b=(-2,4)>所以W+43=(2-24,3+4/1)，

又力=(1,一1),且益+41与不是共线向量,

所以(2-24)X(-1)-(34-41)x1=0,

解得4=—|.

解析：本题考查了向量垂直的条件，向量的数量积运算，平面向量的坐标运算，平面向量共线的充

要条件，属于中档题.

⑴求出五一3与五一口坐标，可得@一石>0=0，即可证明为一石与百一不垂直；

(2)求出五+4石=(2-24,3+4/1)，根据向量共线的充要条件得到关于4的方程，解之即可.

18.答案：解：(1)由题意可设|而|=a,则|而|=3a，

在中，有：AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cos/.ADC,①

在△BCD中，有：BC2=DB2+CD2-2DB-CD-cos^BDC,(2)

①+3x②，可得C£)2=i3a2,

在AACD中，有：AD2=AC2+CD2-2AC-CD-cos^ACD,解得cos44C。=源.

26

(2)由于祠=m^+T而=小正+|而，且C,M,。三点共线，

所以m

因为枭谢=茨超17元I・日=2后

故|福.|而|=8，

可得箱2=G前四)24前近2+]而而=[+英正『+薄'%

当且仅当|亚|=2次时，

所以|宿Im的=2.

解析：【试题解析】

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，平面向量的运算，基本不等式在解三角形中的综合

应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

⑴由题意可设|而|=a,则|而|=3a,在AACO中，△BC。中，利用余弦定理可得CD?=13a?,

在小ACC中利用余弦定理可求cos乙4CC的值.

(2)由已知可得病=m而+|而，且C,M,。三点共线，可求m=%利用三角形的面积公式可

求|荏正|=8,将已知等式两边平方后利用平面向量的运算，基本不等式即可求解|宿的

值.

19.答案：解：(1)•••胡=钮+#而+|而

=-2AD-3-AB,

n=-1,m=——2.

23

2

•••\EF\=4而一|荏)2

1——>212—>—»4—>2

=-AD-2X-X-AD-AB+-AB

4239

=1-2+4=3.

|EF|=V3.即市的模长为次.

(2)■.■AC^AB+AD>

|初=J颂+AD)2=J32+22+2X3X2X|=V19.

_______12___

-.■AC-EF=(AB+AD>)-(-AD--^4F)

19c1c7

=^-AB-ADk-^AB+^-AD-^AB-AD

2323

=——x3—~x9+-x4=-2,

6322

3V57

••・c…廊>=1=381

阮和前夹角的余弦值为-返.

38

解析：本题考查了向量的表示、向量的数量积的运算性质和向量的夹角，属拔高题.

(1)利用向量的关系，把所求向量用两个己知向量表示，然后利用向量的数量积的运算性质，求出向

量品的模.

(2)根据向量的夹角公式，分别求出向量前、前的数量积和模，即可求出两个向量的夹角的余弦值.

20.答案：解：(I)；♦忸E&&是等边三角形

・•・b=43c,a=2c,

vb=V3

.・.b2=3,c2=1储=4

椭圆c的方程为兰+日=1.

43

（11）设「点坐标（＞0，；/0），Q点坐标（t,yo）

•••42直线方程为丁=含0+2）

X（）+Z

M坐标为（0,舞）

•••8「直线方程为'=含0-2）

N坐标为（0,聋），

•••QN=y。）,西=-丫0），

2-x0Z+x0