高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 平面几何中的向量方法

6.4.1-2平面向量的应用

【新知初探】

要点一向量方法在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a〃

6(6W0)=a=.

(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：

非零向量a,b,•/>=()0.

a•b______

(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos

怙1lb、/宕+货、3+卢

(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式:

a\

思考△/阿中，以N分别为四、然的中点.求证：物〃比:

要点二直线的方向向量

(1)直线Ax+By+C=Q的方向向量为；直线y-kx+b的方向向量

为.

(2)应用直线的方向向量求两直线的夹角

已知直线71：与直线72：y—k,x+b2,它们的方向向量依次为匕=

(1,4),v,=(1,kb.

当匕_1_丹，即匕,吃=1+左左=0时，J1_L4，夹角为直角；当左左W—1时，K,,v2

#0,直线/与乙的夹角为，(0°<^<90°).不难推导利用左、比表示cose

的夹角公式：

,I%_11J-4网

cos-I%||外|-[1+—•勺1+居・

思考1已知直线/：2x—y+l=0,在下列向量：

①%=(1,2)；②外=(2,1)；③为=卜巳，-1);④%=(—2,—4).其中能作

为直线/方向向量的有：.

思考2直线x-2y+l=0与直线2x+y—3=0的夹角为；直线2x—y

-1=0与直线3^+y+l=0的夹角为.

要点三直线的法向量

(1)直线Ax+By+C=0的法向量为；直线y=kx+b的法向量

为•—

(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直

线么:4x+6j+G=0,72：4x+旦y+C=0,它们的法向量分别为四=(4,5),

m=(4，B).

当m〃小时，/〃/2或乙与乙重合.即4区一45=0=/〃/2或/与心重合；

当时，7,172.即44+3昆=00/」4.

思考直线入(a+2)x+(l—a)y—3=0与直线人：(a—l)x+(2a+3)y+2=0

垂直，则a的值为.

要点四平面向量的线性运算在物理中的应用

(1)力、速度、位移的合成就是向量的,符合向量加法的三角形法

则和平行四边形法则.

(2)力、速度、位移的分解就是向量的，符合向量减法的三角形法则

和平行四边形法则.

(3)动量RV就是__________，符合_________向量的运算律.

思考请利用向量的方法解决下列问题：絮"

如图所示，在细绳0处用水平力区缓慢拉起所受重力为G的物体，绳i

子与铅垂方向的夹角为明绳子所受到的拉力为凡由

⑴求出I，I用随"角的变化而变化的情况；

⑵当川W2Gl时，求J角的取值范围.

要点五平面向量的数量积在物理中的应用

物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即r=

\F\|s|cos<F,s)，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及

两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量尸与S的数量积.

思考已知力尸与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N,一个质量为

8kg的木块受力尸的作用在动摩擦因数P=0.02的水平平面上运动了20m.问

力尸和摩擦力F所做的功分别为多少？(g=10m/s2)

【题型通关】

题型一向量在平面几何中的应用

例1求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.

跟踪训练1已知正方形1时中，E、尸分别是S4?的中点，BE、必'交于点

Q求证：(DBELCF；(2)AP=AB.

题型二向量在解析几何中的应用

例2已知△/回的三个顶点4(0,-4),8(4,0),以一6,2),点。、E、6分别

为边BC、CA,4?的中点.(1)求直线小；EF、"的方程；

(2)求48边上的高线。/所在直线方程.

跟踪训练2已知点4(4,0),6(4,4),(7(2,6),试用向量方法求直线”和OB(O

为坐标原点)的交点P的坐标.

题型三平面向量的综合应用

例3如图所示，在平行四边形ABCD中,BC=2BA,N"C=60°,作AELBD

交BC于■E,求登的值.

跟踪训练3已知夕是正方形力腼对角线而上一点，PFCE为矩形.求证：PA

=）且PAVEF.

例4(1)已知。是平面上的一个定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动

一A“A

点产满足百三而十A(七必■—一),其中4W(0,4-00),则动点P

AB\COSB|4C|COSC

的轨迹一定通过△♦a'的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

(2)已知。是平面上的一个定点，4B,。是平面上不共线的三个点，动点〃满

足涝三涝十儿(———十---),其中46(0,+8),则动点尸的轨迹

\AB\sinB\'AC\sinC

一定通过△/SC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

(3)已知。是平面上的一个定点，A,B,。是平面上不共线的三个点，动点P满

l—OB+OC

足OP=-2—

A~P/

+A(-------+—------),其中4e(0,+8),则动点尸的轨迹一定通过

|AB\COSBIAC\cosC

△46。的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

题型四平面向量的线性运算在物理中的应用

例5某人在静水中游泳，速度为"区km/h,如果他径直游向河对岸，水的流

速为4km/h,他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

跟踪训练5某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹

来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方

向.

题型五平面向量的数量积在物理中的应用

例6已知两恒力E=(3,4),£=(6,—5)作用于同一质点，使之由点4(20,15)

移动到点8(7,0).

(1)求E，为分别对质点所做的功；

(2)求E，凡的合力尸对质点所做的功.

跟踪训练6已知尸=(2,3)作用于一物体，使物体从4(2,0)移动到8(—2,3),

求户对物体所做的功.

【课堂达标】

1.已知况；AB=a,左=6,且a•沃0,则△/理的形状为()

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定

2.已知1(1,2),5(-2,1),以力6为直径的圆的方程是.

3.在直角坐标系“勿中，已知点4(0,1)和点以一3,4),若点C在N408的平分

线上且IOC\—2,贝.

4.正方形如完'的边长为1,点〃，£分别为45,%的中点，试求cos/〃位的

值.

5.已知直线/：3x+y—2=0与直线人：曲~了+1=0的夹角为45°,求实数

加的值.

6.已知一个物体在大小为6N的力厂的作用下产生的位移s的大小为100m,

且尸与s的夹角为60°,则力尸所做的功W=J.

7.一条河宽为8000m,一船从/出发航行垂直到达河正对岸的6处，船速为

20km/h,水速为12km/h,则船到达6处所需时间为分钟.

【札记】

参考答案

【新知初探】

不凡一及弘=0

1在+必4=0

思考证明设质=a,AC=b,则瓦:=衣一恭=Z>—a,

又以平分别为48、〃1的中点.

一1一1,

AM=~a,AN=

△4%V中,祢=苏力一；a=](Z>—a),

乙乙乙

：.MN=^BC,即疏与死共线，.1邮〃％

(B,一⑷

(1,A)

思考1答案①③④

思考2答案90°45°

(/,而

(A,—1)

思考答案±1

解析/?1=(a+2,1—a),n>=(a—1,2a+3),

7.172,

z?i,ik—(a+2)(a—1)+(1—a)(2a+3)

=(a—1)(—a—1)=0,

a=±1.

加法

减法

数乘向量

数乘

思考解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,

IG|

得一G=R+E,\E.=-cos0

|E|=|G|tan。,

当，从。趋向于90。时，出出|都逐渐增大.

I1

(2)由£1=，^,达|W2G,得cos

cosU2

又因为0°W"90°,

所以0°W0W60°.

思考答案如图所示，设木块的位移为s,

则F,s=|F|s|cos30°=50X20X^=500^/3(J).

将力尸分解，它在竖直方向上的分力式的大小为

|/^|=|F|sin30°=50x|=25(N),

所以，摩擦力F的大小为

\f\=\〃(G—£)1=(80—25)X0.02=1.1(N),

因此，f-s=|r|ls|cos180°=1.1X20X(-D=-22(J).

例1解如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、

轴建立直角坐标系.

设4(2a,0),6(0,2a),

则〃(a,0),r(0,a),

从而可求：AC=(-2a,a),BD=(a,—2a),

不妨设衣、协的夹角为明则cose=AC'BD.

\AC\\BD\

(-2a,a)•(a,-2a)—4#4

y[5a•乖a545,

4

故所求钝角的余弦值为一m.

跟踪训练1证明建立如图所示的平面直角坐标系，设18=2,

则4(0,0),6(2,0),。(2,2),£(1,2),尸(0,1).

⑴应'=(—1,2),在=(—2,-1).

：.BE'存'=(-1)X(-2)+2X(-1)=0,

J.BELCF,即应上6K

⑵设点尸坐标为(x,y),则徐=(x,y—1),

FC=(2,1),,：FP//FC,

Ax=2(y—1),即x=2y—2,

同理，由陟〃诙，得y=-2x+4,

6

x=2y—2,

由得〈

尸一2才+4

工点户的坐标为1).

55

亦=y&+(|y=2=i福,

即AP=AB.

例2解(1)由已知得点〃(一1,D，以一3,-1),6(2,-2),设久筋力是直

线应上任意一点，则防"庞

〃V=(x+l,y—1),DE—(—2,—2).

(—2)X(x+1)—(—2)(y—1)=0,

即x—y+2=0为直线庞的方程.

同理可求，直线明功的方程分别为

x+5y+8=0,x+y=0.

(2)设点N(x,y)是“所在直线上任意一点,

则应L超

：.CN'AB=O.

又生三(x+6,y—2),加=(4,4).

.•.4(x+6)+4(y—2)=0,

即x+y+4=0为所求直线团的方程.

跟踪训练2解设尸(x,y),则苏一(x,y),~AP=(,x-4,y),

因为尸是/。与仍的交点，

所以。在直线力。上，也在直线加上，

即得而〃弛,AP//AC,

由点4(4,0),8(4,4),<7(2,6)得,

范=(一2,6),市=(4,4),

6(*—4)+2尸0,

得方程组,

4x—4y=0

解得「一：’故直线力。与防的交点户的坐标为⑶3).

ly=3

例3解方法一(基向量法)

设瓦l=a,反'=/>,|a|=1,\b=2.

a,b=Ia//b\cos60°=1,曲=a+b.

设诙=ABC=Ab,则衣=砺—威=Ab-a.

由力质L初，得森•瓦HO.

即a),(a+1&)=0.

2

-

252

-

f=3_-3-

5J

5_

方法二以8为坐标原点，直线比1为x轴建立平面直角坐标系，根据条件，设

8(0,0),。(2,0),

又设E(m,0),

由熊_L助，得AE*BD=O.

D2—乎x乎

4

4山2缈52

得zs片M，所以反飞=亍

5

跟踪训练3证明以〃为坐标原点，，。所在直线为x轴，的所在直线为y轴,

建立平面直角坐标系。盯（如图所示），

设正方形边长为1,

\0P\=A,则4（0,1）,

得，笔《轲

樗儿,0）于是码-由，I-乎”

"臣T，邛"

力同=4(1—乎。+HM

=q32血"+i,

同理|砺I=yjA2-y[2A+l,

二|B|=|砺I，：.PA=EF.

加应坐用明一轲邛g

：.PALEF.：.PALEF.

~AD~AT

例4解析⑴由已知得力=A(―---------+—------),两边同向量应取数量

\AB\COSBIAC\cosC

积，得苏•瓦=儿(】•瓦+F•应)=4(一|而*而)=(),故动点夕

IAB\COSB\AC\COSC

的轨迹一定通过△/笈的垂心，故选B.

~ADAC1

(2)对游三应+A(―--------4—^—)，其中4W(0,+8)进行移项转化，

|AB\sinB\AC\sinC

设△力回的回边

上的高为力，a'边上的中点为〃，则由已知得落=(拔+而，即苏三F办

hh

向量苏，与向量莅共线，故动点尸的轨迹一定通过的重心，故选A.

~AP~AC

(3)设区的中点为〃则由已知得济=几(=-----+—------),两边同时与

|AB\cosB|AC\cosC

A—►—►,>

向量比取数量积，得无•凯

BC=4(y"+/'J)=A(-|^;|+|BC)

'AB\COSBHC|COSC

=0,故动点。的轨迹一定通过△/a'的外心，故选C.

答案(1)B(2)A(3)C

例5解如图所示，设人游泳的速度为南，水流的速度为应，以力、X"T

仍为邻边作平行四边形如龙，则此人的实际速度为洒+南=宓根j'

据勾股定理，|庞1=8,

口△/Q7中，N烟=60°,故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进，速度

大小为8km/h.

跟踪训练5解设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的木

向量，无风时此人感到风速为一a,/\

BAO

设实际风速为v,那么此时人感到风速为V—a,设诵l=-a,OB=

-2a,PO=v,因为的+汤=/I,

所以商=v—a,这就是感到由正北方向吹来的风速，

因为由+而=面,所以崩=v—2&

于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是诙

由题意：/PBO=45°,PALBO,BA=AO,

从而，△尸必为等腰直角三角形，所以PO=PB=y[ia,

即：|m=啦2

所以实际风速是每小时啦a千米的西北风.

例6解⑴宓=(7,0)-(20,15)=(—13,—15),

睨=£•能=(3,4)•(—13,-15)

=3X(-13)+4X(-15)=-99(J),

%=E•而=(6,-5)•(-13,-15)

=6X(-13)+(-5)X(-15)=-3(J).

力E，凡对质点所做的功分别为一99J和一3J.

(2)W=F・宓=(£+£)•AB

=[(3,4)+(6,-5)]•(-13,-15)

=(9,-1)•(-13,-15)

=9X(-13)+(-1)X(-15)

=-117+15=-102(J).

...合力尸对质点所做的功为一102J.

跟踪训练6解AB=(-4,3),

/勺尸•$=/?•而=(2,3)•(-4,3)

=—8+9=1(J).

.••力尸对物体所做的功为1J.

【课堂达标】

1.答案A

2.答案