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文档简介
6.4.1-2平面向量的应用
【新知初探】
要点一向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a〃
6(6W0)=a=.
(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:
非零向量a,b,•/>=()0.
a•b______
(3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式cos
怙1lb、/宕+货、3+卢
(4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式:
a\
思考△/阿中,以N分别为四、然的中点.求证:物〃比:
要点二直线的方向向量
(1)直线Ax+By+C=Q的方向向量为;直线y-kx+b的方向向量
为.
(2)应用直线的方向向量求两直线的夹角
已知直线71:与直线72:y—k,x+b2,它们的方向向量依次为匕=
(1,4),v,=(1,kb.
当匕_1_丹,即匕,吃=1+左左=0时,J1_L4,夹角为直角;当左左W—1时,K,,v2
#0,直线/与乙的夹角为,(0°<^<90°).不难推导利用左、比表示cose
的夹角公式:
,I%_11J-4网
cos-I%||外|-[1+—•勺1+居・
思考1已知直线/:2x—y+l=0,在下列向量:
①%=(1,2);②外=(2,1);③为=卜巳,-1);④%=(—2,—4).其中能作
为直线/方向向量的有:.
思考2直线x-2y+l=0与直线2x+y—3=0的夹角为;直线2x—y
-1=0与直线3^+y+l=0的夹角为.
要点三直线的法向量
(1)直线Ax+By+C=0的法向量为;直线y=kx+b的法向量
为•—
(2)直线法向量的简单应用:利用直线的法向量判断两直线的位置关系:对于直
线么:4x+6j+G=0,72:4x+旦y+C=0,它们的法向量分别为四=(4,5),
m=(4,B).
当m〃小时,/〃/2或乙与乙重合.即4区一45=0=/〃/2或/与心重合;
当时,7,172.即44+3昆=00/」4.
思考直线入(a+2)x+(l—a)y—3=0与直线人:(a—l)x+(2a+3)y+2=0
垂直,则a的值为.
要点四平面向量的线性运算在物理中的应用
(1)力、速度、位移的合成就是向量的,符合向量加法的三角形法
则和平行四边形法则.
(2)力、速度、位移的分解就是向量的,符合向量减法的三角形法则
和平行四边形法则.
(3)动量RV就是__________,符合_________向量的运算律.
思考请利用向量的方法解决下列问题:絮"
如图所示,在细绳0处用水平力区缓慢拉起所受重力为G的物体,绳i
子与铅垂方向的夹角为明绳子所受到的拉力为凡由
⑴求出I,I用随"角的变化而变化的情况;
⑵当川W2Gl时,求J角的取值范围.
要点五平面向量的数量积在物理中的应用
物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,即r=
\F\|s|cos<F,s),功是一个实数,它可正可负,也可以为零.力的做功涉及
两个向量及这两个向量的夹角,它实质是向量尸与S的数量积.
思考已知力尸与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50N,一个质量为
8kg的木块受力尸的作用在动摩擦因数P=0.02的水平平面上运动了20m.问
力尸和摩擦力F所做的功分别为多少?(g=10m/s2)
【题型通关】
题型一向量在平面几何中的应用
例1求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
跟踪训练1已知正方形1时中,E、尸分别是S4?的中点,BE、必'交于点
Q求证:(DBELCF;(2)AP=AB.
题型二向量在解析几何中的应用
例2已知△/回的三个顶点4(0,-4),8(4,0),以一6,2),点。、E、6分别
为边BC、CA,4?的中点.(1)求直线小;EF、"的方程;
(2)求48边上的高线。/所在直线方程.
跟踪训练2已知点4(4,0),6(4,4),(7(2,6),试用向量方法求直线”和OB(O
为坐标原点)的交点P的坐标.
题型三平面向量的综合应用
例3如图所示,在平行四边形ABCD中,BC=2BA,N"C=60°,作AELBD
交BC于■E,求登的值.
跟踪训练3已知夕是正方形力腼对角线而上一点,PFCE为矩形.求证:PA
=)且PAVEF.
例4(1)已知。是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动
一A“A
点产满足百三而十A(七必■—一),其中4W(0,4-00),则动点P
AB\COSB|4C|COSC
的轨迹一定通过△♦a'的()
A.重心B.垂心C.外心D.内心
(2)已知。是平面上的一个定点,4B,。是平面上不共线的三个点,动点〃满
足涝三涝十儿(———十---),其中46(0,+8),则动点尸的轨迹
\AB\sinB\'AC\sinC
一定通过△/SC的()
A.重心B.垂心C.外心D.内心
(3)已知。是平面上的一个定点,A,B,。是平面上不共线的三个点,动点P满
l—OB+OC
足OP=-2—
A~P/
+A(-------+—------),其中4e(0,+8),则动点尸的轨迹一定通过
|AB\COSBIAC\cosC
△46。的()
A.重心B.垂心C.外心D.内心
题型四平面向量的线性运算在物理中的应用
例5某人在静水中游泳,速度为"区km/h,如果他径直游向河对岸,水的流
速为4km/h,他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?
跟踪训练5某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹
来,而当速度为每小时2a千米时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方
向.
题型五平面向量的数量积在物理中的应用
例6已知两恒力E=(3,4),£=(6,—5)作用于同一质点,使之由点4(20,15)
移动到点8(7,0).
(1)求E,为分别对质点所做的功;
(2)求E,凡的合力尸对质点所做的功.
跟踪训练6已知尸=(2,3)作用于一物体,使物体从4(2,0)移动到8(—2,3),
求户对物体所做的功.
【课堂达标】
1.已知况;AB=a,左=6,且a•沃0,则△/理的形状为()
A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定
2.已知1(1,2),5(-2,1),以力6为直径的圆的方程是.
3.在直角坐标系“勿中,已知点4(0,1)和点以一3,4),若点C在N408的平分
线上且IOC\—2,贝.
4.正方形如完'的边长为1,点〃,£分别为45,%的中点,试求cos/〃位的
值.
5.已知直线/:3x+y—2=0与直线人:曲~了+1=0的夹角为45°,求实数
加的值.
6.已知一个物体在大小为6N的力厂的作用下产生的位移s的大小为100m,
且尸与s的夹角为60°,则力尸所做的功W=J.
7.一条河宽为8000m,一船从/出发航行垂直到达河正对岸的6处,船速为
20km/h,水速为12km/h,则船到达6处所需时间为分钟.
【札记】
参考答案
【新知初探】
不凡一及弘=0
1在+必4=0
思考证明设质=a,AC=b,则瓦:=衣一恭=Z>—a,
又以平分别为48、〃1的中点.
一1一1,
AM=~a,AN=
△4%V中,祢=苏力一;a=](Z>—a),
乙乙乙
:.MN=^BC,即疏与死共线,.1邮〃%
(B,一⑷
(1,A)
思考1答案①③④
思考2答案90°45°
(/,而
(A,—1)
思考答案±1
解析/?1=(a+2,1—a),n>=(a—1,2a+3),
7.172,
z?i,ik—(a+2)(a—1)+(1—a)(2a+3)
=(a—1)(—a—1)=0,
a=±1.
加法
减法
数乘向量
数乘
思考解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,
IG|
得一G=R+E,\E.=-cos0
|E|=|G|tan。,
当,从。趋向于90。时,出出|都逐渐增大.
I1
(2)由£1=,^,达|W2G,得cos
cosU2
又因为0°W"90°,
所以0°W0W60°.
思考答案如图所示,设木块的位移为s,
则F,s=|F|s|cos30°=50X20X^=500^/3(J).
将力尸分解,它在竖直方向上的分力式的大小为
|/^|=|F|sin30°=50x|=25(N),
所以,摩擦力F的大小为
\f\=\〃(G—£)1=(80—25)X0.02=1.1(N),
因此,f-s=|r|ls|cos180°=1.1X20X(-D=-22(J).
例1解如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、
轴建立直角坐标系.
设4(2a,0),6(0,2a),
则〃(a,0),r(0,a),
从而可求:AC=(-2a,a),BD=(a,—2a),
不妨设衣、协的夹角为明则cose=AC'BD.
\AC\\BD\
(-2a,a)•(a,-2a)—4#4
y[5a•乖a545,
4
故所求钝角的余弦值为一m.
跟踪训练1证明建立如图所示的平面直角坐标系,设18=2,
则4(0,0),6(2,0),。(2,2),£(1,2),尸(0,1).
⑴应'=(—1,2),在=(—2,-1).
:.BE'存'=(-1)X(-2)+2X(-1)=0,
J.BELCF,即应上6K
⑵设点尸坐标为(x,y),则徐=(x,y—1),
FC=(2,1),,:FP//FC,
Ax=2(y—1),即x=2y—2,
同理,由陟〃诙,得y=-2x+4,
6
x=2y—2,
由得〈
尸一2才+4
工点户的坐标为1).
55
亦=y&+(|y=2=i福,
即AP=AB.
例2解(1)由已知得点〃(一1,D,以一3,-1),6(2,-2),设久筋力是直
线应上任意一点,则防"庞
〃V=(x+l,y—1),DE—(—2,—2).
(—2)X(x+1)—(—2)(y—1)=0,
即x—y+2=0为直线庞的方程.
同理可求,直线明功的方程分别为
x+5y+8=0,x+y=0.
(2)设点N(x,y)是“所在直线上任意一点,
则应L超
:.CN'AB=O.
又生三(x+6,y—2),加=(4,4).
.•.4(x+6)+4(y—2)=0,
即x+y+4=0为所求直线团的方程.
跟踪训练2解设尸(x,y),则苏一(x,y),~AP=(,x-4,y),
因为尸是/。与仍的交点,
所以。在直线力。上,也在直线加上,
即得而〃弛,AP//AC,
由点4(4,0),8(4,4),<7(2,6)得,
范=(一2,6),市=(4,4),
6(*—4)+2尸0,
得方程组,
4x—4y=0
解得「一:’故直线力。与防的交点户的坐标为⑶3).
ly=3
例3解方法一(基向量法)
设瓦l=a,反'=/>,|a|=1,\b=2.
a,b=Ia//b\cos60°=1,曲=a+b.
设诙=ABC=Ab,则衣=砺—威=Ab-a.
由力质L初,得森•瓦HO.
即a),(a+1&)=0.
2
-
252
-
f=3_-3-
5J
5_
方法二以8为坐标原点,直线比1为x轴建立平面直角坐标系,根据条件,设
8(0,0),。(2,0),
又设E(m,0),
由熊_L助,得AE*BD=O.
D2—乎x乎
4
4山2缈52
得zs片M,所以反飞=亍
5
跟踪训练3证明以〃为坐标原点,,。所在直线为x轴,的所在直线为y轴,
建立平面直角坐标系。盯(如图所示),
设正方形边长为1,
\0P\=A,则4(0,1),
得,笔《轲
樗儿,0)于是码-由,I-乎”
"臣T,邛"
力同=4(1—乎。+HM
=q32血"+i,
同理|砺I=yjA2-y[2A+l,
二|B|=|砺I,:.PA=EF.
加应坐用明一轲邛g
:.PALEF.:.PALEF.
~AD~AT
例4解析⑴由已知得力=A(―---------+—------),两边同向量应取数量
\AB\COSBIAC\cosC
积,得苏•瓦=儿(】•瓦+F•应)=4(一|而*而)=(),故动点夕
IAB\COSB\AC\COSC
的轨迹一定通过△/笈的垂心,故选B.
~ADAC1
(2)对游三应+A(―--------4—^—),其中4W(0,+8)进行移项转化,
|AB\sinB\AC\sinC
设△力回的回边
上的高为力,a'边上的中点为〃,则由已知得落=(拔+而,即苏三F办
hh
向量苏,与向量莅共线,故动点尸的轨迹一定通过的重心,故选A.
~AP~AC
(3)设区的中点为〃则由已知得济=几(=-----+—------),两边同时与
|AB\cosB|AC\cosC
A—►—►,>
向量比取数量积,得无•凯
BC=4(y"+/'J)=A(-|^;|+|BC)
'AB\COSBHC|COSC
=0,故动点。的轨迹一定通过△/a'的外心,故选C.
答案(1)B(2)A(3)C
例5解如图所示,设人游泳的速度为南,水流的速度为应,以力、X"T
仍为邻边作平行四边形如龙,则此人的实际速度为洒+南=宓根j'
据勾股定理,|庞1=8,
口△/Q7中,N烟=60°,故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进,速度
大小为8km/h.
跟踪训练5解设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的木
向量,无风时此人感到风速为一a,/\
BAO
设实际风速为v,那么此时人感到风速为V—a,设诵l=-a,OB=
-2a,PO=v,因为的+汤=/I,
所以商=v—a,这就是感到由正北方向吹来的风速,
因为由+而=面,所以崩=v—2&
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是诙
由题意:/PBO=45°,PALBO,BA=AO,
从而,△尸必为等腰直角三角形,所以PO=PB=y[ia,
即:|m=啦2
所以实际风速是每小时啦a千米的西北风.
例6解⑴宓=(7,0)-(20,15)=(—13,—15),
睨=£•能=(3,4)•(—13,-15)
=3X(-13)+4X(-15)=-99(J),
%=E•而=(6,-5)•(-13,-15)
=6X(-13)+(-5)X(-15)=-3(J).
力E,凡对质点所做的功分别为一99J和一3J.
(2)W=F・宓=(£+£)•AB
=[(3,4)+(6,-5)]•(-13,-15)
=(9,-1)•(-13,-15)
=9X(-13)+(-1)X(-15)
=-117+15=-102(J).
...合力尸对质点所做的功为一102J.
跟踪训练6解AB=(-4,3),
/勺尸•$=/?•而=(2,3)•(-4,3)
=—8+9=1(J).
.••力尸对物体所做的功为1J.
【课堂达标】
1.答案A
2.答案
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