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文档简介
高中数学隐含条件的挖掘
《高中数学隐含条件的挖掘》
作者单位:绥中一高中作者姓名:撰写日期:
旗中县秋t学会
2011芹盛数,学给文
绥中县教育学会优秀论文申报我
姓名刘志华性别男职务
单位绥中一高中学
论文题目高中数学隐含条件的挖掘
单位
意见
(盖章
县教育学
会意见
/U
摘要
木文从高考数学试题中隐含条件对学生的影响入手,首先论述了挖掘隐含条件的重要
性,其次分别从概念与性质中,从类比中,从推理中,从题目的结构特征中,从联想中,
从联系中,从数形结合中去挖掘隐含条件。以分析为主、解答为辅的方法阐述了如何去挖
掘隐含条件,给学生们做示范,启在得到抛砖引玉的作用。使高中师生在较短时间内有意
识地去挖掘隐含条件,提高他们的解题能力。最后说明了隐含条件的挖掘对提高学生数学
解题的影响及促进作用。
关键词:隐含条件,挖掘,认知动因,激活,降维思想3
Highschoolmathquestionsimpliedconditionsexcavation
AbstractThemathematicalquestionsfromthecollegeentranceexamination,
impliedconditionsofthestudentsaffectedby,firstdiscussedexcavation
conditionsimpliedimportance,followedfromtheconceptandnature,from
analogy,fromreasoning,fromthestructuralcharacteristicsoftopics,from
theLegend,fromlinksfromShuxingjieheChinatotapthehiddenconditions.
Toanalyseprimaryandsecondarymethodsanswerexpoundedhowtotapimplicit
conditionforthestudentstodoamodel,Kaibeenvaluableintherole.For
highschoolstudentsinarelativelyshorttimeconscioustotapimplicit
conditions,andimprovetheirabilitytosolve.Finallyontheimplied
conditionsofthestudentsdiggingtheimpactandthepromotionoftheroleof
mathematicalcalculations.
Keyword:Impliedconditions,excavation,cognitivedynamics,thus,would
fallDavid4
目录
ji口I,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1
(-)严格查看概念与性质,从概念与性质中去挖掘隐含条件1三.从类比中去
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
(一)仔细分析已知条件,从类比中挖掘隐含条件2
(二)利用“降维思想”将空间问题转化为平面问题,从类比中挖掘隐
(一)严格审视求证结论,从推理中挖掘隐含条件,,3
(-)联系数列方程与韦达定理,从推理中去挖掘隐含条件™3五.从题目的结构
特征中挖掘隐含条件4
(―)从题目中挖掘数学公式4
(-)从题目中挖掘几何图形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4六.从联想中挖掘隐含条件
(-)类比联想数量关系,从认知动因与方法中挖掘隐含条件6
(二)联想数列方程,从抽象函数中挖掘隐含条件6七.从联系中挖掘隐含
!牛7
(-)联想中审视已知条件,从联系中挖掘隐含条件7
(二)仔细分析条件,从联系中挖掘隐含条件7八.从数形结合中挖掘隐含条
(•)仔细分析已知条件,从图形特征中挖掘隐含条件7
(二)利用转化思想,从图形特征中挖掘隐含条件,,,,,,,,,,,,,,8九.结束语
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,9卜.jW^,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,10。
引言
随着近儿年高考数学难度的增大,减轻了计算难度,加大了对思维能力的考查。许多数
学试题看起来很常见,但做起来却非常困难,原因这几年的高考题所给题的信息比较隐
晦,有隐含条件,这是高考数学成绩低的一个重要原因之一。
因此,为了提高高考学子的挖掘隐含条件的能力,使他们在较短的时间内提高数学解题
的能力,提高他们的数学成绩本文拟从概念与性质中,从类比中,从推理中,从题目的结
构特征中,从联想中,从联系中,从数形结合中七个方面去挖掘隐含条件。
隐含条件是指数学问题中那些若明若暗,含而不露的已知条件,或者从题设中不断挖掘并
利用条件进行推理和变形而从新发现的条件.它的表现形式主要包括:(1)问题中的字母,变
量或关系式所隐含的制约条件和取值范围;(2)问题中的字母,变量或关系式所隐含的几何
图形的特征和位置关系;(3)问题所涉及的基本概念,它所属对象的性质;(4)问题所适合的
数学模型或公式,定理,法则;(5)生产,生活的实际问题中所讨论的变量的适用范围及相互
间满足的关系.
从概念与性质中挖掘隐含条件
(-)严格查看定义,从概念与性质中挖掘隐含条件
定义与性质是数学解题(证明)的出发点,虽然这是浅层次的隐含条件,但不注意也会
变成深层次的隐蔽条件,如一元二次方程的二次项系数不为零,指数函数的底数是非1正
数等。
例1无穷数列{an}中,
In1a(),n3kIn3,kn时•,则此数列的各项和为21/26,证明这个命题。
a(l)n1,n3kIn3
挖掘隐含条件的分析:首先,数列通项是一个分段函数,这是隐含条件,其次,数列是
一个以自然数为自变量的函数,它的值域也是由自然数组成的分数,当n=3k-l时,即n
1被3除不足1时,换句话说,n被3除余2时,由表出,否则,n3k1
时,即3
1被3除余数不为2时,数列用表出,第三,揭示这“无穷递缩等比数列”的
关键是36nn
11111111把数列揭示出来:()0,()1,()2,()3,()4,()5,()6,()733333333
从定义和性质中,挖掘隐含条件得出三个首项不同,而公比相同的三个“无穷递缩等比
数列”
111(1)()0,()3,()6,333
111(2)()1,()4,()7,333
111(3)()2,()5,()8,333
11127111S1()0()3()6,S2()1()4()733326333
91113,S3()2()5()82633326
27932126262626SIS2S3
二从类比中挖掘隐含条件
(-)仔细分析已知条件,从类比中挖掘隐含条件
从相似比较中挖掘隐含条件的实质是类比,是一-种铺垫激活策略。
1例2已知a,b,cR,且abc1,求证:a2b2c23111.证明:设
atl,bt2,ct3,则tlt2t30
33311112a2b2c2=(tl)2(t2)2(t3)2=t12t22t32(tlt2t3)
33333
11=tl2t22t3233
这是高中学习阶段的一个重要的题型,本题提供了一个很好的解法,循环增量换元法。
例题如下:已知m,n,k均大于1,求证:
nkloglogloginmnkmnkmnk1.222
如果被比较的两道题中,前者是认知者已经掌握的知识,后者是认知者目前还不会证明
的,在两个中仔细观察分析中,发现隐含条件是
nklogmloglogmnkmnkmnk1,这样这题的解法就被激活了。上述两题的条件一样,
要证明的
结论也一样,只不过第二个看起来形式复杂一些,但它们本质上是一样的。
7
(二)利用降维思想将空间问题转化为平面问题,从类
比中挖掘隐含条件
例3求证:正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值
证明:如图1,将正四面体与正三角形类比:正三角形内任
意一点到各个边的距离之和为定值(等于此三角形的高),B
只须用平积法即可得到结论,那么我们只须用体积法来处理
本例。ADC
图1
设四面体A-BCD内一点0到各个面的距离分别是hl,h2,h3,h4,0点与四个面构成了四
个小四面体,则它们的体积之和等于原四面体的体积,即
1111VVIV2V3V4hlslh2s2h3s3h4s4,其中SIS2S3S4S为四个三
角3333
形的面积,则
HShS(hlh2h3h4),hlh2h3h4为定值。(h为正四面体的高)33
“降维思想”是一重要的类比的方法,空间中的许多问题都可以用这一类比方法去解
决。
工从推理中挖掘隐含条件
(-)严格审视求证结论,从推理中挖掘隐含条件
根据手段——目的分析的策略,解题的实质是消除或缩小当前状态与目标状态的差异,
并运用数学知识与方法来缩小这种差异,直到问题解决。
例4在三角形ABC中,求证:tg2ABetg2tg21222
由此题的结构特征我们想到了“交叉不等式”,要想证明上述结论成立,不妨看一看
tgABBCCAtgtgtgtgtg是否大于或等于1。这样或许能消除已知条件与求证之间的
222222
差异,这是推理中所需要解决的问题,事实上,
BCtgABCBCtgtg()etgBC2222tgtg22
ABBCCAtgtgtgtgtgtg12222221tg
这是由推理所得出的隐含条件,它的发现把已知和求证之间的差异彻底消除了。所以命
题得证。
实际上,推理的过程中也需要我们观察题目特征,联想有关的数学公式,这样或许能够
帮8助缩短已知、求证之间的差异,进而使推理有效的进行。
(二)联系数列方程与韦达定理,从抽象函数中挖掘隐含条件
有的数列方程与降标方程一起,表明数列的两个项是二次方程之两根,于是根据韦达定
理而得一可解型方程。
例5数列{a
n}满足aO0,an15an求其通项。
解:去根号化为:an12lOanan1an210*
降标得:
an210anlanan1210
也就是:an12lOanan1an210**
*与**式表明an1与an1是方程x2lOanx(an21)0的两个根。这是该题的隐
含条件,利用它将该题转化为较简单的数列问题。于是由韦达定理有:
an1an1lOan
特征方程:
x/6
y210y10,y5
V6
ancl5
R
nc25
J24而+1
n
注意到al5a0,有:
0clc2,
1cl5c25cl
an5
瓜
爬
V6
瓜
c22424n
娓
n5本题隐含条件的挖掘不仅需要学习者有丰富的数列方程知识,而且还需要观察能
力。四从题目的结构特征中挖掘隐含条件
解题时•,如果题设中隐含着与某些数学概念、公式具有类似结构的数式或图形信息,则
应抓住结构特征,挖掘隐含条件,用构造的方法转化研究对象,使问题顺利解决。
(一)从题目中挖掘所应用的数学公式9
xx3
例6求函数y的值域。12x2x4
分析:分子,分母为x的高次幕且上下又无公因式,无法直接进行解答。但是,注意到
分母可以分解为1x22,分子可以分解为x1x2,即
xx312xlx2
yo联想到三角中万能公式,令xtg,则242212xx21xlx
1111ysin2cos2sin4,所以y,2444
本题的函数表达式中隐含着数学公式,能挖掘出来这一条件可使问题顺利解决。
(二)从题目中挖掘所应用的几何模型
例7已知锐角,,满足cos2cos2cos21,求证
V2
tgtgtg
分析:直接用三角方法来证颇感棘手,若由条件联想到立体
几何中长方体对角线的性质则茅塞顿开。ACD1C1B1A1
图2
证明:构造长,宽,高分别为a,b,c的长方体ABCDA1BC如图2,使其对角线
AC111D1,
与棱AB,AD,AA1的夹角分别为,,,显然cos2cos2cos21,且
yjb2+C1
yjc2+a2
Jn'+/?[
\/c2+a2
+b2
+tgtgtg则tgtg
y1b2+c2
tg
y/2
bccaabbacacb
&
)=)()
()]22)2abc2abacbc2c
当且仅当a=b=c时取等号,即时结论成立。
此题也体现了数形结合思想,题目的结构特征隐藏着数学模型。利用数形结合这一转化
方法把问题的难度降低了,这有利于培养思维的独创性。
五.从联想中挖掘隐含条件
(-)类比联想数量关系,从认知动因与方法中挖掘隐含条件
在数学教学中,既有激活认知动因的策略,还有激活认知内容与方法的策略。前者靠联
想,后者靠类比。解题过程既是联想过程,又是类比过程。
例8一个等比数列的前n项和是48,前2n项的和是60,则前3n项的和是多少?10
挖掘隐含条件的分析:读者根据认知动因的激活策略,联想到等差数列的类似题,必须分
清前n项,次n项与后n项是与题设中的前n项,前2n项与前3n项是完全不同的概念,
为了挖掘隐含条件,解题经验说明一个等差数列的前n项之和,次n项之和与后n项之和
也同样成等差数列,试问此题中等比数列的前n项之和,次n项之和与后n项之和是否也
成等比数列呢?这即可以证明,又可以用特殊激活一般的策略,设2,4,8,16,32,64
成等比数列,前2项的和是6,次2项的和是24,后2项的和是96,同样也成等比数列,
其公比是4(原公比是2)。再回到本例题,它可以转化成一个等比数列的前n项之和是
48,次n项之和是12即(60-48=12),设前3n项的和是S,后n项之和是S-60,求S=?
依等比数列的定义有比利式12/48=(S-60)/12,得出S=63。
(二)联想数列方程,从抽象函数中挖掘隐含条件
例9设f(x)
析式。
解:解这类题一般利用fn1xf(fn(x))来建立数列方程。x,并记fnx
((共n重f),试求fl986(x)的解f(f(f(fx))))21x
fn1x
J+U(x)
f(fn(x))l
fn12(x)fx于是有112fn(x)
可见⑴是等差数列,公差为1,2fn(x)
这是一个隐含条件,它把函数方程转化为数列方程,而这是一等差数列方程容易得到解
决,此种方法的关键是要掌握好等差数列的知识。
11(n1)1fn2(x)f12(x)
111x21注意到2=
5/l+nx1
22
Jl+1986l
1fl(x)f2(x)xx
fn(x)
fl986(x)11
六.从联系中挖掘隐含条件
(-)联想中审视已知条件,从联系中挖掘隐含条件
当单独、孤立地审视已知条件已经达到“山穷水复疑无路时,联系审视几个已知条件,
就可能出现柳岸花明又一村的新境界”,从而挖掘隐含条件。
例10在锐角三角形中,tgA,tgB,tgC成等差数列,若f(cos2A)=cos(BCA),试求
函数f(x)的表达式。
挖掘隐含条件的分析:一方面有第一个已知条件得出tgB
导公式得出tgBtg(AC)1(tgAtgC),另一方面由诱2tgAtgC由以上两方面结
合得出tgAtgC1
tgAtgtgACtgC32tgAtgC1,推出隐含条件tgA=.因为
2tgAtlgCtgCcoBs(Ctg2A13/tgc19tg2CAcos(2A)=-cos2A-2,
=22tgA13/tgc19tgC2
1tgC9tg2c这样,第二个已知条件转化为f()21tgC9tgC
用变量替换法求函数的表达式:
1x9(1x)/(1x)5x41tg2C2tgCf(x)令=*
21x9(1x)/(lx)4x51tgC
本题将几个已知条件一起进行推理,将所得的信息取交集,进而得到新的已知条件。
(二)仔细分析条件,从条件中挖掘隐含条件
例11已知a,bR,且lln1,试证,对于每一个nN,
abanbn22n2n1
ab
成立。(1998年全国高中数学联赛题)证明:由111可推得:ab
abab(1)
(2)(3)得:ab4(2)所以由(1)
a1b11(3)
ab
nanbn=abanbnan1bn11=
nl2a1an1an2an3a1b1bn1bn2bn3
b11
二a
\[ab
n1an
战
2an3a1bn1b
yfab
n2bn3b11
122nIn)l=22n2n111=(21
在证明过程中,挖掘出上述的三个隐含条件,巧妙分解出a1b11,使
问题迎韧而解。
七.从数形结合中挖掘隐含条件
(-)仔细分析条件,从图形特征上挖掘隐含条件
有些数学问题,其部分条件隐于图形之中,若能抓住图形的特征,利用运动变换的观
点,恰当地添设辅助图形,可能就会发现含而未漏的条件,使问题获解。
例12在平面上有两点A(-1,0),B(1,0),在圆x3y44上取一点
P,求使AP2BP2取最小值时点P的坐标。
分析:本题的一般解法是列出目标函数yAP2BP2,然后再求最
小值,过程繁且易出错。如图3,并结合三角形的中线性质,便可得
AP2BP2AP2BP220P220B22。所以当0P达到最小值时,22也达到最小值。易知
点0与圆心(3,4)的连线与圆的交点即为所
求点P的坐标。
所以联立以下方程得到:4yx消元得到下列一元二次方程
3(x3)2(y4)24921215x230x90xl,x2由于x2不符合题意。
555
9912所以xP点的坐标为(,)555
(-)利用转化思想,从图形中挖掘隐含条件
例13已知正方形ABCD,边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC平面ABCD且
GC=2,求B点到平面EFG的距离。
分析:如图4
EF//BD,BD〃平面EFG,所以B点到
平面EFG的距离等于正方形ABCD的中心0到平面EFG
13AFPEGBC图4的距离,故可以将B点处的面垂线平移到0点处。这是一隐含条件,由
题中给的数据很难解答本题。但观察图形发现上述隐含条件,这种想法是利用平移的思想
将空间图形集中到一个平面内。
所以过点。作ON平面
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