高中数学隐含条件的挖掘

高中数学隐含条件的挖掘

《高中数学隐含条件的挖掘》

作者单位：绥中一高中作者姓名：撰写日期:

旗中县秋t学会

2011芹盛数，学给文

绥中县教育学会优秀论文申报我

姓名刘志华性别男职务

单位绥中一高中学

论文题目高中数学隐含条件的挖掘

单位

意见

（盖章

县教育学

会意见

/U

摘要

木文从高考数学试题中隐含条件对学生的影响入手，首先论述了挖掘隐含条件的重要

性，其次分别从概念与性质中，从类比中，从推理中，从题目的结构特征中，从联想中，

从联系中，从数形结合中去挖掘隐含条件。以分析为主、解答为辅的方法阐述了如何去挖

掘隐含条件，给学生们做示范，启在得到抛砖引玉的作用。使高中师生在较短时间内有意

识地去挖掘隐含条件，提高他们的解题能力。最后说明了隐含条件的挖掘对提高学生数学

解题的影响及促进作用。

关键词：隐含条件，挖掘，认知动因，激活，降维思想3

Highschoolmathquestionsimpliedconditionsexcavation

AbstractThemathematicalquestionsfromthecollegeentranceexamination,

impliedconditionsofthestudentsaffectedby,firstdiscussedexcavation

conditionsimpliedimportance,followedfromtheconceptandnature,from

analogy,fromreasoning,fromthestructuralcharacteristicsoftopics,from

theLegend,fromlinksfromShuxingjieheChinatotapthehiddenconditions.

Toanalyseprimaryandsecondarymethodsanswerexpoundedhowtotapimplicit

conditionforthestudentstodoamodel,Kaibeenvaluableintherole.For

highschoolstudentsinarelativelyshorttimeconscioustotapimplicit

conditions,andimprovetheirabilitytosolve.Finallyontheimplied

conditionsofthestudentsdiggingtheimpactandthepromotionoftheroleof

mathematicalcalculations.

Keyword：Impliedconditions,excavation,cognitivedynamics,thus,would

fallDavid4

目录

ji口I，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，1

（-）严格查看概念与性质，从概念与性质中去挖掘隐含条件1三.从类比中去

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

（一）仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件2

（二）利用“降维思想”将空间问题转化为平面问题，从类比中挖掘隐

（一）严格审视求证结论，从推理中挖掘隐含条件,,3

（-）联系数列方程与韦达定理，从推理中去挖掘隐含条件™3五.从题目的结构

特征中挖掘隐含条件4

（―）从题目中挖掘数学公式4

（-）从题目中挖掘几何图形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4六.从联想中挖掘隐含条件

（-）类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件6

（二）联想数列方程，从抽象函数中挖掘隐含条件6七.从联系中挖掘隐含

!牛7

（-）联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件7

（二）仔细分析条件，从联系中挖掘隐含条件7八.从数形结合中挖掘隐含条

（•）仔细分析已知条件，从图形特征中挖掘隐含条件7

（二）利用转化思想，从图形特征中挖掘隐含条件，,,,,,,,,,,,,,8九.结束语

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，9卜.jW^，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，10。

引言

随着近儿年高考数学难度的增大，减轻了计算难度，加大了对思维能力的考查。许多数

学试题看起来很常见，但做起来却非常困难，原因这几年的高考题所给题的信息比较隐

晦，有隐含条件，这是高考数学成绩低的一个重要原因之一。

因此，为了提高高考学子的挖掘隐含条件的能力，使他们在较短的时间内提高数学解题

的能力，提高他们的数学成绩本文拟从概念与性质中，从类比中，从推理中，从题目的结

构特征中，从联想中，从联系中，从数形结合中七个方面去挖掘隐含条件。

隐含条件是指数学问题中那些若明若暗,含而不露的已知条件,或者从题设中不断挖掘并

利用条件进行推理和变形而从新发现的条件.它的表现形式主要包括：（1）问题中的字母,变

量或关系式所隐含的制约条件和取值范围；（2）问题中的字母,变量或关系式所隐含的几何

图形的特征和位置关系；（3）问题所涉及的基本概念,它所属对象的性质；（4）问题所适合的

数学模型或公式,定理,法则；（5）生产,生活的实际问题中所讨论的变量的适用范围及相互

间满足的关系.

从概念与性质中挖掘隐含条件

（-）严格查看定义，从概念与性质中挖掘隐含条件

定义与性质是数学解题(证明)的出发点，虽然这是浅层次的隐含条件，但不注意也会

变成深层次的隐蔽条件，如一元二次方程的二次项系数不为零，指数函数的底数是非1正

数等。

例1无穷数列｛an｝中,

In1a(),n3kIn3,kn时•，则此数列的各项和为21/26,证明这个命题。

a(l)n1,n3kIn3

挖掘隐含条件的分析：首先，数列通项是一个分段函数，这是隐含条件，其次，数列是

一个以自然数为自变量的函数，它的值域也是由自然数组成的分数，当n=3k-l时，即n

1被3除不足1时，换句话说，n被3除余2时，由表出，否则，n3k1

时，即3

1被3除余数不为2时，数列用表出，第三，揭示这“无穷递缩等比数列”的

关键是36nn

11111111把数列揭示出来：()0,()1,()2,()3,()4,()5,()6,()733333333

从定义和性质中，挖掘隐含条件得出三个首项不同，而公比相同的三个“无穷递缩等比

数列”

111(1)()0,()3,()6,333

111(2)()1,()4,()7,333

111(3)()2,()5,()8,333

11127111S1()0()3()6,S2()1()4()733326333

91113,S3()2()5()82633326

27932126262626SIS2S3

二从类比中挖掘隐含条件

(-)仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件

从相似比较中挖掘隐含条件的实质是类比，是一-种铺垫激活策略。

1例2已知a,b,cR，且abc1,求证:a2b2c23111.证明：设

atl,bt2,ct3,则tlt2t30

33311112a2b2c2=(tl)2(t2)2(t3)2=t12t22t32(tlt2t3)

33333

11=tl2t22t3233

这是高中学习阶段的一个重要的题型，本题提供了一个很好的解法，循环增量换元法。

例题如下：已知m,n,k均大于1,求证：

nkloglogloginmnkmnkmnk1.222

如果被比较的两道题中，前者是认知者已经掌握的知识，后者是认知者目前还不会证明

的，在两个中仔细观察分析中，发现隐含条件是

nklogmloglogmnkmnkmnk1,这样这题的解法就被激活了。上述两题的条件一样，

要证明的

结论也一样，只不过第二个看起来形式复杂一些，但它们本质上是一样的。

7

（二）利用降维思想将空间问题转化为平面问题，从类

比中挖掘隐含条件

例3求证：正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值

证明：如图1,将正四面体与正三角形类比：正三角形内任

意一点到各个边的距离之和为定值（等于此三角形的高），B

只须用平积法即可得到结论，那么我们只须用体积法来处理

本例。ADC

图1

设四面体A-BCD内一点0到各个面的距离分别是hl,h2,h3,h4,0点与四个面构成了四

个小四面体，则它们的体积之和等于原四面体的体积，即

1111VVIV2V3V4hlslh2s2h3s3h4s4,其中SIS2S3S4S为四个三

角3333

形的面积，则

HShS（hlh2h3h4）,hlh2h3h4为定值。（h为正四面体的高）33

“降维思想”是一重要的类比的方法，空间中的许多问题都可以用这一类比方法去解

决。

工从推理中挖掘隐含条件

(-)严格审视求证结论，从推理中挖掘隐含条件

根据手段——目的分析的策略，解题的实质是消除或缩小当前状态与目标状态的差异，

并运用数学知识与方法来缩小这种差异，直到问题解决。

例4在三角形ABC中，求证：tg2ABetg2tg21222

由此题的结构特征我们想到了“交叉不等式”，要想证明上述结论成立，不妨看一看

tgABBCCAtgtgtgtgtg是否大于或等于1。这样或许能消除已知条件与求证之间的

222222

差异，这是推理中所需要解决的问题，事实上，

BCtgABCBCtgtg()etgBC2222tgtg22

ABBCCAtgtgtgtgtgtg12222221tg

这是由推理所得出的隐含条件，它的发现把已知和求证之间的差异彻底消除了。所以命

题得证。

实际上，推理的过程中也需要我们观察题目特征，联想有关的数学公式，这样或许能够

帮8助缩短已知、求证之间的差异，进而使推理有效的进行。

(二)联系数列方程与韦达定理，从抽象函数中挖掘隐含条件

有的数列方程与降标方程一起，表明数列的两个项是二次方程之两根，于是根据韦达定

理而得一可解型方程。

例5数列｛a

n｝满足aO0,an15an求其通项。

解：去根号化为：an12lOanan1an210*

降标得：

an210anlanan1210

也就是：an12lOanan1an210**

*与**式表明an1与an1是方程x2lOanx(an21)0的两个根。这是该题的隐

含条件，利用它将该题转化为较简单的数列问题。于是由韦达定理有：

an1an1lOan

特征方程：

x/6

y210y10,y5

V6

ancl5

R

nc25

J24而+1

n

注意到al5a0,有：

0clc2,

1cl5c25cl

an5

瓜

爬

V6

瓜

c22424n

娓

n5本题隐含条件的挖掘不仅需要学习者有丰富的数列方程知识，而且还需要观察能

力。四从题目的结构特征中挖掘隐含条件

解题时•，如果题设中隐含着与某些数学概念、公式具有类似结构的数式或图形信息，则

应抓住结构特征，挖掘隐含条件，用构造的方法转化研究对象，使问题顺利解决。

（一）从题目中挖掘所应用的数学公式9

xx3

例6求函数y的值域。12x2x4

分析：分子，分母为x的高次幕且上下又无公因式，无法直接进行解答。但是，注意到

分母可以分解为1x22,分子可以分解为x1x2,即

xx312xlx2

yo联想到三角中万能公式，令xtg,则242212xx21xlx

1111ysin2cos2sin4，所以y,2444

本题的函数表达式中隐含着数学公式，能挖掘出来这一条件可使问题顺利解决。

（二）从题目中挖掘所应用的几何模型

例7已知锐角,,满足cos2cos2cos21,求证

V2

tgtgtg

分析：直接用三角方法来证颇感棘手，若由条件联想到立体

几何中长方体对角线的性质则茅塞顿开。ACD1C1B1A1

图2

证明：构造长，宽，高分别为a,b,c的长方体ABCDA1BC如图2,使其对角线

AC111D1,

与棱AB,AD,AA1的夹角分别为，，，显然cos2cos2cos21,且

yjb2+C1

yjc2+a2

Jn'+/?[

\/c2+a2

+b2

+tgtgtg则tgtg

y1b2+c2

tg

y/2

bccaabbacacb

&

)=)()

()]22)2abc2abacbc2c

当且仅当a=b=c时取等号，即时结论成立。

此题也体现了数形结合思想，题目的结构特征隐藏着数学模型。利用数形结合这一转化

方法把问题的难度降低了，这有利于培养思维的独创性。

五.从联想中挖掘隐含条件

(-)类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件

在数学教学中，既有激活认知动因的策略，还有激活认知内容与方法的策略。前者靠联

想，后者靠类比。解题过程既是联想过程，又是类比过程。

例8一个等比数列的前n项和是48,前2n项的和是60,则前3n项的和是多少？10

挖掘隐含条件的分析：读者根据认知动因的激活策略，联想到等差数列的类似题，必须分

清前n项，次n项与后n项是与题设中的前n项，前2n项与前3n项是完全不同的概念，

为了挖掘隐含条件，解题经验说明一个等差数列的前n项之和，次n项之和与后n项之和

也同样成等差数列，试问此题中等比数列的前n项之和，次n项之和与后n项之和是否也

成等比数列呢？这即可以证明，又可以用特殊激活一般的策略，设2,4,8,16,32,64

成等比数列，前2项的和是6,次2项的和是24,后2项的和是96,同样也成等比数列，

其公比是4(原公比是2)。再回到本例题，它可以转化成一个等比数列的前n项之和是

48,次n项之和是12即(60-48=12),设前3n项的和是S,后n项之和是S-60,求S=?

依等比数列的定义有比利式12/48=(S-60)/12,得出S=63。

(二)联想数列方程，从抽象函数中挖掘隐含条件

例9设f(x)

析式。

解：解这类题一般利用fn1xf(fn(x))来建立数列方程。x,并记fnx

((共n重f),试求fl986(x)的解f(f(f(fx))))21x

fn1x

J+U(x)

f(fn(x))l

fn12(x)fx于是有112fn(x)

可见⑴是等差数列，公差为1，2fn(x)

这是一个隐含条件，它把函数方程转化为数列方程，而这是一等差数列方程容易得到解

决，此种方法的关键是要掌握好等差数列的知识。

11(n1)1fn2(x)f12(x)

111x21注意到2=

5/l+nx1

22

Jl+1986l

1fl(x)f2(x)xx

fn(x)

fl986(x)11

六.从联系中挖掘隐含条件

(-)联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件

当单独、孤立地审视已知条件已经达到“山穷水复疑无路时，联系审视几个已知条件，

就可能出现柳岸花明又一村的新境界”，从而挖掘隐含条件。

例10在锐角三角形中，tgA,tgB,tgC成等差数列，若f(cos2A)=cos(BCA),试求

函数f(x)的表达式。

挖掘隐含条件的分析：一方面有第一个已知条件得出tgB

导公式得出tgBtg(AC)1(tgAtgC),另一方面由诱2tgAtgC由以上两方面结

合得出tgAtgC1

tgAtgtgACtgC32tgAtgC1,推出隐含条件tgA=.因为

2tgAtlgCtgCcoBs(Ctg2A13/tgc19tg2CAcos(2A)=-cos2A-2,

=22tgA13/tgc19tgC2

1tgC9tg2c这样，第二个已知条件转化为f()21tgC9tgC

用变量替换法求函数的表达式：

1x9(1x)/(1x)5x41tg2C2tgCf(x)令=*

21x9(1x)/(lx)4x51tgC

本题将几个已知条件一起进行推理，将所得的信息取交集，进而得到新的已知条件。

(二)仔细分析条件，从条件中挖掘隐含条件

例11已知a,bR,且lln1,试证，对于每一个nN,

abanbn22n2n1

ab

成立。(1998年全国高中数学联赛题)证明：由111可推得：ab

abab(1)

(2)(3)得：ab4(2)所以由(1)

a1b11(3)

ab

nanbn=abanbnan1bn11=

nl2a1an1an2an3a1b1bn1bn2bn3

b11

二a

\[ab

n1an

战

2an3a1bn1b

yfab

n2bn3b11

122nIn)l=22n2n111=(21

在证明过程中，挖掘出上述的三个隐含条件，巧妙分解出a1b11,使

问题迎韧而解。

七.从数形结合中挖掘隐含条件

(-)仔细分析条件，从图形特征上挖掘隐含条件

有些数学问题，其部分条件隐于图形之中，若能抓住图形的特征，利用运动变换的观

点，恰当地添设辅助图形，可能就会发现含而未漏的条件，使问题获解。

例12在平面上有两点A(-1,0),B(1,0),在圆x3y44上取一点

P,求使AP2BP2取最小值时点P的坐标。

分析：本题的一般解法是列出目标函数yAP2BP2,然后再求最

小值，过程繁且易出错。如图3,并结合三角形的中线性质，便可得

AP2BP2AP2BP220P220B22。所以当0P达到最小值时，22也达到最小值。易知

点0与圆心(3,4)的连线与圆的交点即为所

求点P的坐标。

所以联立以下方程得到：4yx消元得到下列一元二次方程

3(x3)2(y4)24921215x230x90xl,x2由于x2不符合题意。

555

9912所以xP点的坐标为(,)555

(-)利用转化思想，从图形中挖掘隐含条件

例13已知正方形ABCD,边长为4,E,F分别是AB,AD的中点，GC平面ABCD且

GC=2,求B点到平面EFG的距离。

分析：如图4

EF//BD,BD〃平面EFG,所以B点到

平面EFG的距离等于正方形ABCD的中心0到平面EFG

13AFPEGBC图4的距离，故可以将B点处的面垂线平移到0点处。这是一隐含条件，由

题中给的数据很难解答本题。但观察图形发现上述隐含条件，这种想法是利用平移的思想

将空间图形集中到一个平面内。

所以过点。作ON平面