高中数学《简单随机抽样》导学案

,第曰章统计

DIYIZHANG§1.2抽样方法

•1.2.1简单随机抽样

课前新知预习

［航向标•学习目标］

i.理解并掌握简单随机抽样的概念、特点和步骤.

2.掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法.

3.针对实际问题中的总体进行合理的简单随机抽样.

［读教材•自主学习］

1.为了使样本具有好的代表性，设计抽样方法时最重要的是使每个个体有

画相等的机会被抽中.

2.设一个总体含有N个个体，从中逐个画不放回地抽取n个个体作为样

本如果每次抽取时总体内的每个个体被抽到的画可能性都相等,就把

这种抽样方法叫作简单随机抽样.

简单随机抽样方法有画抽签法和画随机数法.

3.随机数表是由0到9这10个数字组成的数表，并且表中的每个位置出现

各个数字的可能性匝相等.

［看名师•疑难剖析］

1.简单随机抽样具备下列特点

(1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的.

(2)简单随机抽样抽取的样本容量“小于等于样本总体的个数N.

(3)简单随机抽样是从总体中逐个抽取的是一种不放回的抽样，也就是每次从

总体中抽取元素后不再将这个元素放回总体.

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(4)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为开

(5)当总体中的个体无差异且个体数目较少时，采用简单随机抽样抽取样本.

2.抽签法和随机数法的操作要点

抽签法的操作要点是：编号、写签、搅匀、抽取.

随机数法的操作要点是：编号、选起始数、读数、获取样本.

3.抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，

又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平；随机数法的优点与

抽签法相同，缺点是当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，

因此这两种方法只适合个体无差异且个体数目较少的总体.

4.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等.均为考但是这里一定要将

每个个体入样的可能性、第〃次每个个体入样的可能性、特定的个体在第〃次被

抽到的可能性这三种说法区分开，避免在解题中出现错误.

课堂师生共研

考点一简单随机抽样的概念

例1现在有一种够级游戏，其用具为四副扑克，包括大小鬼（又称为花）在内

共216张牌，参与人数为6人，并坐成一圈.够级开始时，从这6人中随机指定

一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌（这叫开牌），然后按逆时针方向，根

据这张牌上的数字来确定抓牌先后，这6人依次从216张牌中抓取36张牌，问这

种抓牌方法是否是简单随机抽样？

［分析］本题主要考查简单随机抽样的概念，根据简单随机抽样的特点来判

断.

［解］简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随

机确定了起始张，其他各张牌虽然是逐张抓牌，但是各张在谁手里已被确定，只

有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，即这215张扑克

牌被抽取的可能性与第一张扑克牌被抽取的可能性不相同，所以不是简单随机抽

样.

类题通法

判断简单随机抽样时，要紧扣简单随机抽样的特征：逐个、不放回抽取且保

证每个个体被抽到的可能性相等.

［变式训练1］下列抽样的方式属于简单随机抽样的有.

①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；

②从1000个个体中一次性抽取50个个体作为样本；

③将1000个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，

从中逐个抽取50个个体作为样本；

④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，

从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子；

⑤福利彩票用摇奖机摇奖.

答案③⑤

解析简单随机抽样是从有限多个个体中抽取，所以①不属于；简单随机抽

样是逐个抽取，不能是一次性抽取，所以②不属于；很明显③属于简单随机抽样;

④中，抽样是放回抽样，但是简单随机抽样是不放回抽样，所以④不属于；很明

显⑤属于简单随机抽样.

考点二抽签法的应用

例2现要在20名学生中抽取5名进行问卷调查，试写出抽取样本的过程.

［分析］由题目可以获取以下主要信息：

①有学生20名；

②从中抽取的学生数为5名.

解答本题可先根据题目特点选择合适的抽样方法，然后按所选抽样方法的步

骤进行抽样.

［解］(1)先将20名学生进行编号，编号为1,2,…，20；

(2)把号码写在形状、大小均相同的号签上；

(3)将号签放在某个箱子中充分搅拌，使之均匀，然后依次从箱子中抽取5个

号签.于是和这5个号签上的号码对应的5名学生就构成了一个样本.

类题通法

利用抽签法抽取样本时编号问题可视情况而定，若已有编号如考号、学号、

标签号码等，可不必重新编号，另外号签要求是大小形状完全相同而且一定要搅

拌均匀，从中逐一不放回抽取.

［变式训练2］某班有学生60人，为了了解学生各方面的情况，需要从中抽

取一个容量为10的样本，用抽签法确定要抽取的学生.

解(1)将这60名学生按学号编号，分别为01,02,…，60.

(2)将这60个号码分别写在相同的60张纸片上.

(3)将这60张纸片放在一个盒子里搅拌均匀.抽出一张纸片，记下上面的号

码，然后再搅拌均匀，继续抽取第2张纸片，记下号码.

重复这个过程直到取出10个号码时终止.

于是，和这10个号码对应的10个学生就构成了一个样本.

考点三简单随机抽样的公平性

例3用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生

被抽到的可能性是()

A.0.01B.0.04C.0.2D.0.25

［解析］明确是简单随机抽样且每个个体被抽到的可能性是相等的，问题的

突破口就找到了.因为样本容量为20,总体容量为100,所以总体中每一个个体

被抽到的可能性为2需0=02

［答案］C

类题通法

本题涉及简单随机抽样的等可能性，但题目中多了一个干扰数据，是本题的

一个易错点，只要弄清楚简单随机抽样任意一个个体被抽到的可能性相等，就不

会出错了.

［变式训练3］从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个

零件被抽到的可能性为0.25,则N的值为（）

A.120B.200C.150D.100

答案A

解析根据简单随机抽样每个个体被抽取的可能性等于先进行计算.因为从

含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，每次抽取一个个体时任一

个体被抽到的可能性为1乐在整个抽样过程中各个个体被抽取的可能性为3帚0，所

以书=0.25,从而有N=120.

规范答题思维

巧用随机数法

［例］（12分）某企业要调查消费者对某产品的需求量，要从95户居民家庭中

抽选10户居民，请用随机数法抽选样本.附部分随机数表：

8538440527489876060216085

2997161279430219298027768

2691627783845727848339820

6145939073792422037221048

870883460074636

（一）精妙思路点拨

（二）分层规范细解

第一步：将95户居民家庭编号，每一户家庭一个编号，

即01〜95①................................2分

第二步：两位一组的表中，随机确定抽样的起点和抽样

的顺序②.如假定从第6列和第7列这两列的第1行开

始读取，每次读两数，读数顺序从左往右.（横的数列称

为“行”，纵的数列称为''列..................6分

第三步：依次抽出10个号码③.可能有号码如97,这个

号码不在总体编号范围内，应排除在外，而60出现三

次，应排除2个，再补充三个号码.得到的样本号码是：

40,52,74,89,87,60,21,85,29,16............10分

由此产生10个样本号码，编号为这些号码的居民家庭

就是抽样调查的对象.......................12分

（三）来自一线的报告

通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的

①②③见分层规范细解过程）

在解答过程中，①处的编号易按习惯写为1.

①2,3.…，94,95的写法，出现这种错误是因为

没有理解随机数法的实质，即编号的位数应

失该相同，导致失2分.

分

警②在解答过程中.读数是随机的，若缺少②处

示

的叙述，则此步就会失分.

在解答过程中，③处所取的号码应该是随机

③抽取且在已知的编号中的，此处是解题易失

分之处.

解（1）在解题时首先注意编号的正确性；

题（2）强调随机数法中选取第一个数的随机性和读数

启

示方向的随机性；

（3）通过随机读数确定抽取的个体.

（四）类题练笔掌握

某商场新进70件商品，要从中选出10件商品进行质量检测，请用随机数法

给出一个抽样方案.（随机数表见课本第9页）

解第一步：将70件商品进行编号，编号为00,01,02,…，68,69；

第二步：由于总体的编号是两位数，所以每次要从随机数表中选取两列组成

两位数，从随机数表中的任意一个位置，选取任意一个方向进行读数.比如在表

1-2中第3列和第4列的第6行开始选数，由上至下分别为

35,11,48,77,79,64,58,89,31,55,00,93,80,46,66,…,其中77,79,89,93,80超出了69,

不能选取，故选取的不个数字是35,11,48,64,58,31,55,00,46,66.

第三步：根据以上10个数字抽取相应编号的商品即得抽样的样本.

（五）解题设问

（1）本题要求方法明确吗？,用法.

（2）使用此种方法的关键是什么？与.

答案（1）明确随机数

（2）编号随机取数

检测学业达标

1.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（）

A.与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些

B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些

D.每个个体被抽中的可能性无法确定

答案B

解析在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽

样无关.

2.关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是（）

A.要求总体中的个数有限

B.从总体中逐个抽取

C.它是一种不放回抽样

D.每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关

答案D

解析简单随机抽样，除具有A,B,C三个特点外，还具有抽样等可能性,

每个个体被抽到的机会相等，与先后顺序无关.故选D.

3.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是（）

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从

中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；

③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已经编好

号，对编号随机抽取）.

A.①B.②

C.③D.以上都不对

答案C

解析简单随机抽样的四个特点：总体个数有限；逐个抽取；不放回抽样；

每个个体被抽到的机会均等，与先后顺序无关.具有这四个特点的抽样是简单随

机抽样.故选C.

4.一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为

20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是.

答案.

解析每个个体被抽到的可能性都相等，都等于6=券=

1•JL

5.某车间工人加工一种轴共100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取

10件在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

解解法一：抽签法：

⑴将100件轴编号为1,2,…，100.

(2)做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个号码.

(3)将这些号签放在一个不透明的容器内，搅拌均匀.

(4)逐个抽取10个号签.

(5)然后测量这10个号签对应的轴的直径的样本.

解法二：随机数法：(随机数表见课本附录2)

⑴将100件轴编号为00,01,…,99.

(2)在随机数表中选定一个起始位置，如从第21行第1个数9开始.

(3)规定读数的方向，如向右读.

(4)依次选取10个数为

91,49,45,23,68,47,92,76,86,46,

则与这10个号签相应的个体即为所要抽取的样本.

|课后梯度测评|

一'选择题

1.下列问题中，最适合用简单随机方法抽样的是()

A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1〜40.有一次报告

会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈

B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查

C.某学校有在编人员160人.其中行政人员16人，教师112人，后勤人员

32人.教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本

D.某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩,

现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量

答案B

解析根据简单随机抽样的特点进行判断.A的总体容量较大，用简单随机

抽样法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校

各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容

量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法.

2.抽签法中，确保样本具有代表性的关键是()

A.制签B.搅拌均匀

C.逐一抽取D.抽取不放回

答案B

解析逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保样本具有

代表性的关键，有放回抽取（个体被重复取出可不算再放回）也不影响样本的代表

性，制签也一样.

3.下列抽样试验中，用抽签法方便的是（）

A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

答案B

解析A总体容量较大，样本容量也较大，不适宜用抽签法；B总体容量较

小，样本容量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，

不能用抽签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法.故选B.

4.某总体容量为其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中

抽取一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为（）

mMM

A-N•百B,m.-C,N--D.N

答案A

解析设机个个体中带有标记的个数为〃，根据简单随机抽样的特点知£=

n左刀/日m

m'解传〃=,Nr.必

5.用随机数法进行抽样有以下几个步骤：

①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数

的方向.

这些步骤的先后顺序应为（）

A.①②③④B.①③④②

C.③②①④D.④③①②

答案B

解析本题主要考查随机数法的使用，首先要对总体中的数据进行编号，然

后选定开始的数字和开始的方向开始读数进而获得样本号码.

6.为了考查5000发炮弹的杀伤半径，现从中抽取10发进行考查，则每发炮

弹被抽到的可能性为（）

八5000FOOu10

答案C

解析从个体数为N=5000的总体中抽取一个容量为“=10的样本，每个个

体被抽到的可能性都是？=蒜=焉.

二'填空题

7.某次考试有70000名学生参加，为了了解这70000名考生的数学成绩，从

中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下四种说法:

(1)1000名考生是总体的一个样本；

(2)1000名考生数学成绩的平均数是总体平均数；

(3)70000名考生的数学成绩是总体；

(4)样本容量是1000.

其中正确的说法.

答案⑶⑷

解析在统计学中，通常把被研究的对象的全体叫作总体.把组成总体的每

个单位叫作个体.从总体中抽取〃个个体，且这〃个个体的某一指标为观测值，

我们称这〃个个体的该指标的观测值为样本.N称作这个样本的容量.所以,70000

名考生的数学成绩是总体；1000名考生的数学成绩是样本；1000是样本容量；1000

名考生数学成绩的平均数是样本平均数.因此，(1)(2)错误；(3)(4)正确.

8.采用简单随机抽样，从6个标有序号A,B,C,D,E,R的球中抽取1

个球，则每个球被抽到的可能性是.

答案I

解析简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性是一样的.

9.关于简单随机抽样，有下列说法：

①它要求被抽取样本的总体的个数有限；

②它是从总体中逐个地进行抽取；

③它是一种不放回抽样；

④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被

抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，

从而保证了这种抽样方法的公平性

其中正确的有(请把你认为正确的所有序号都写上