2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型四 直角三角形问题（含矩形问题）（课件）

类型四直角三角形问题(含矩形问题)函数微技能——分类讨论思想确定动点位置一阶例8如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC.探究1：在抛物线对称轴上找一点P，使得△ACP为直角三角形；例8题图①解：①若AC为Rt△ACP的直角边时，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹);①满足条件的点P如解图①所示，即P1，P2；例8题图①例8题解图①【方法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论；以探究1为例，若AC为Rt△ACP的直角边，作图方法：___________________________________________________，所找点P为____________________________；若AC为Rt△ACP的斜边，作图方法：_____________________，所找点P为_____________________________．分别过点A、C作AC的垂线，垂线与抛物线对称轴的交点以AC的中点D为圆心AC长为直径作圆对称轴与⊙D的交点②若AC为Rt△ACP的斜边，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；例8题图②②满足条件的点P如解图②所示，即P3，P4；例8题解图②探究2：在抛物线上找一点E，使得△BCE为直角三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹)；例8题图③满足条件的点E如解图③所示即E1,E2；例8题解图③探究3:在抛物线上找一点E，平面内找一点Q，使得以E、Q、B、C为顶点的四边形为矩形．在图④中画出所有满足条件的点E、Q的示意图(保留作图痕迹)．例8题图④满足条件的点E、Q如解图④所示，即E3、E4、Q1、Q2.例8题解图④【方法总结】二次函数中矩形的存在性问题可考虑将其转化为直角三角形的问题，如探究3中，只需先画出△BCE为直角三角形的点E，再确定Rt△BCE斜边的中点，然后利用矩形对角线互相平分的性质确定点Q的位置．设问突破二阶例9

抛物线y＝

x2－x－4与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.一题多设问(1)若点F是x轴上的一点，点D为抛物线的顶点，是否存在点F，使得△FBD为直角三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；例9题图①【思维教练】要使△FBD为直角三角形，可分两种情况：①BD为Rt△FBD的直角边，利用两垂直直线解析式中k的关系求出直线DF的解析式，进而求得点F的坐标；②BD为Rt△FBD的斜边，利用垂直的性质即可求解；(1)解：存在．分以下两种情况：①当BD为Rt△FBD的直角边时，如解图①，过点B作BD的垂线，与x轴无其他交点，故此情况不存在点F.过点D作BD的垂线交x轴于点F1，例9题解图①∵抛物线的解析式为y＝

x2－x－4，∴B(4，0)，D(1，－

)，∴直线BD的解析式为y＝

x－6，∵DF1⊥BD1，∴可设直线DF1的解析式为y＝－

x＋b，将D(1，－

)代入y＝－

x＋b，得b＝－

，∴直线DF1的解析式为y＝－

x－

，当y＝0时，－

x－

＝0，

解得x＝－

，

∴点F1的坐标为(－

，0)；例9题解图①②当BD为Rt△FBD的斜边时，如解图①，以BD的中点E为圆心，BE长为半径画圆，圆与x轴交于点F2，∵点B在x轴上，∴DF2⊥OB，∴点F2的坐标为(1，0)．综上所述，点F的坐标为(－

，0)或(1，0)；例9题解图①【思维教练】要使△PAC为直角三角形，可分两种情况：①AC为Rt△PAC的直角边，利用两垂直直线解析式中k的关系求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P的坐标；②AC为Rt△PAC的斜边，通过辅助圆来判断是否存在点P即可；(2)若点P是抛物线上的一点，是否存在点P，使得△PAC为直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；例9题图②(2)解：存在．分以下两种情况：∵抛物线的解析式为y＝

x2－x－4，∴A(－2，0)，C(0，－4)，∴直线AC的解析式为y＝－2x－4，设直线AP1的解析式为y＝

x＋d，将A(－2，0)代入y＝

x＋d，得d＝1，∴直线AP1的解析式为y＝

x＋1，例9题图②①当AC为Rt△PAC的直角边时，如解图②，过点A作AC的垂线交抛物线于点P1，连接P1C，过点C作AC的垂线交抛物线于点P2，连接P2A，P1P2联立得

，解得

或

(舍去)，

∴点P1的坐标为(5，

)，同理点P2的坐标为(3，－

)；②当AC为Rt△PAC的斜边时，如解图③，以AC的中点M为圆心，AM长为半径画圆，圆与抛物线无其他交点，故此情况不存在点P.综上所述，点P的坐标为(5，

)或(3，－

)；解图③【思维教练】要使△QBC为直角三角形，可分两种情况：BC为Rt△QBC的直角边或斜边，通过勾股定理求解即可．(3)若点Q是抛物线对称轴上的一点，是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；例9题图③(3)解：存在．∵抛物线的解析式为y＝

x2－x－4，∴B(4，0)，C(0，－4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴BC2＝32，设点Q的坐标为(1，m)，∵Q(1，m)，B(4，0)，C(0，－4)，∴＝32＋m2，

＝12＋(m＋4)2，∵Q1B⊥BC，∴由勾股定理得

＝

＋BC2，12＋(m＋4)2＝32＋m2＋32，

解得m＝3，∴点Q1的坐标为(1，3)，例9题图③Q2分以下两种情况：①当BC为Rt△QBC的直角边时，如解图④，过点B作BC的垂线交抛物线的对称轴于点Q1，连接Q1C，过点C作BC的垂线交抛物线的对称轴于点Q2，连接Q2B，Q1同理

＝32＋m2，

＝12＋(－4－m)2，∵Q2C⊥BC，∴由勾股定理得

＝

＋BC2，32＋m2＝12＋(－4－m)2＋32，解得m＝－5，∴点Q2的坐标为(1，－5)；例9题图③Q2Q1②当BC为Rt△QBC的斜边时，如解图⑤，以BC的中点N为圆心，BN长为半径画圆，圆与抛物线的对称轴交于点Q3、Q4，连接Q3C、Q3B、Q4C、Q4B.同理BQ2＝32＋m2，CQ2＝12＋(m＋4)2，∵QC⊥BQ，∴由勾股定理得BC2＝CQ2＋BQ2，32＝12＋(m＋4)2＋32＋m2，解得m1＝－2－

，m2＝－2＋

，∴点Q3的坐标为(1，－2＋

)，点Q4的坐标为(1，－2－

)．综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－5)或(1，－2＋

)或(1，－2－

)；解图⑤【思维教练】要求以点Q、G、B、C为顶点的四边形是矩形时点Q、G的坐标，结合题意只需满足△QBC是直角三角形，可分BC为Rt△QBC的直角边和斜边两种情况，利用勾股定理列方程求解，再利用平移的性质即可．(4)若点Q是抛物线对称轴上的一点，点G是平面内一点，是否存在点Q、G，使得以Q、G、B、C为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点Q、G的坐标；若不存在，请说明理由．例9题图④(4)解：存在．如解图⑥⑦，∵以Q、G、B、C为顶点的四边形为矩形，∴△QBC为直角三角形，由(3)可知Q1(1，3)，Q2(1，－5)，Q3(1，－2＋

)，Q4(1，－2－

)，∵将点B向左平移3个单位，向上平移3个单位，即可得到点Q1，∴将点C向左平移3个单位，向上平移3个单位，即可得到点G1，∴点G1的坐标为(－3，－1)；解图⑥解图⑦同理G2(5，－1)，G3(3，－2－

)，G4(3，

－2)，综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－5)或(1，－2＋

)或(1，－2－

)，对应的点G的坐标为(－3，－1)或(5，－1)或(3，－2－

)或(3，

－2)．解图⑥解图⑦综合训练三阶5.(2023黔南州26题12分)如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A(8，0)，B(0，4)，D(－1，0)，点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC.(1)求过A、B、D三点的抛物线的解析式；第5题图解：(1)根据题意，设抛物线解析式为y＝a(x－8)(x＋1)，∵点B(0，4)在抛物线上，∴a(0－8)(0＋1)＝4，解得a＝－

.∴抛物线的解析式为y＝－

(x－8)(x＋1)，即y＝－

x2＋

x＋4；(3分)第5题图(2)有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB.设点E运动的时间为t(0<t<4)秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；(2)解：设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(8，0)，B(0，4)代入得

，解得

，

∴直线AB的函数解析式为y＝－

x＋4.

∵点C与点B关于x轴对称，

∴点C的坐标为(0，－4)．第5题图∴BC＝8，S△ABC＝

BC·OA＝

×8×8＝32.设点E的坐标为(2t，0)，∵EP⊥x轴于点E，点P在抛物线上，∴点P的坐标为(2t，－2t2＋7t＋4)．如解图①，设PE与直线AB的交点为Q，则点Q的坐标为(2t，－t＋4)，∵点P在点Q的上方，∴PQ＝(－2t2＋7t＋4)－(－t＋4)＝－2t2＋8t.第5题解图①∴S△PAB＝S△PBQ＋S△PAQ＝

PQ·xA＝

(－2t2＋8t)·8＝－8t2＋32t.∴S四边形PBCA＝S△PAB＋S△ABC＝－8t2＋32t＋32＝－8(t－2)2＋64.∵－8<0，∴当t＝2时，S最大，最大值为64，∴四边形PBCA的最大面积为64；

(8分)第5题解图①(3)抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．【解法提示】由抛物线y＝－

x2＋

x＋4得抛物线的对称轴为直线x＝

，∵点H在对称轴上，则设点H的坐标为(，h)，如解图②，∴BH2＝()2＋(h－4)2，AH2＝(8－)2＋h2，AB2＝82＋42＝80，∴当∠ABH1＝90°时，则BH12＋AB2＝AH12