高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练10高斯教师版

专题10高斯一、单选题1．对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.若，，为数列的前n项和，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】依据高斯函数的性质以及数列求和公式进行计算.【详解】解：由题意，当，，时，均有，故可知：.故选：A2．，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯接受，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则（

）A．0 B．1 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】依据函数的新定义求解即可.【详解】由题意可知4－(－4)＝8.故选：D.3．若复数的实部和虚部均为整数，则称复数为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数，使也是高斯整数其中正确的命题有（

）A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④【答案】A【解析】【分析】依据题意，逐项推断正误即可.【详解】解：①令，当时，，即为整数，依据题意，是高斯整数，故①正确；②令，，则，则为整数，为整数，故为高斯整数，故②正确；③令，且，故，所以至少有一个数为非整数，故不是高斯整数，③错误；④令，且，则，若为高斯整数，故为整数，即存在有限个，例如，故④正确.故选：A.4．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】结合表示不超过的最大整数，利用函数的值域求法求解.【详解】解：，因为，所以，，则，当时，；当时，；当时，；所以函数的值域是，故答案为：D5．高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”的美誉．高斯在幼年时首先运用了倒序相加法，人们因此受到启发，利用此方法推导出等差数列前项和公式．已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（

）A．8 B．11 C．13 D．17【答案】D【解析】【分析】依据等差数列下标的性质，结合已知条件即可求解.【详解】依据题意，，，，则，，两式相加得，即，所以，故选：D．6．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如，已知函数，令函数，则的值域为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先进行分别，然后结合指数函数与反比例函数性质求出的值域，结合已知定义即可求解．【详解】解：因为，所以，所以，则的值域．故选：C．7．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出在（0,3）上的值域，再依据高斯函数的定义，求解的值域.【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，因为，所以；故选：D.8．设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域为（

）A．{0，} B．{，1} C．{0，1} D．{，0，1}【答案】D【解析】【分析】按三类探讨，分别求函数的取值范围，从而求函数的值域，再求函数]的值域即可．【详解】①当时，，②当时，（当且仅当时，等号成立），故③当时，（当且仅当时，等号成立），故故函数的值域为[，1]，故函数的值域为{，0，1}，故选：D．9．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，当时，x的取值集合为A，则下列选项为的充分不必要条件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，依据高斯函数知时，，利用导数分析不等式的解集，即可得解.【详解】令，由题意时，，，时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，明显时，，又，所以的解为，其中，因为，，，所以，故选：B10．正态分布是由德国数学家高斯领先将其应用于天文学探讨，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数在处取得最大值为，则（）附：A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545【答案】B【解析】【分析】由题设有，依据正态分布的对称性及特别区间的概率求.【详解】由题意知：，所以.故选：B11．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依据二次函数的性质，化成顶点式，在已知定义域的状况下，依据顶点式，得到的值域，进而依据高斯函数的定义，即可求解.【详解】因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以；故选：B12．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（

）A．区间，上的值域为，B．区间，上的值域为，C．区间，上的值域为，D．区间，上的值域为【答案】A【解析】【分析】依据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象可知，在，的值域也为，.故选：A13．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现确定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【解析】【分析】视察要求解的式子，依据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【详解】由已知，数列通项，所以，所以，所以.故选：C.14．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.那么函数的值域内元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】化简函数解析式，推断函数值域，进而得解.【详解】由，所以函数的周期，故只需求的值域.当时，函数，当时，函数与函数均单调递增，所以，当时，函数与函数单调递减，所以，当时，函数与函数单调递减，所以，当时，函数，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以，当时，，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以，当时，，当时，函数单调递减，函数单调递增，所以，当时，，当时，函数单调递减，函数单调递增，所以，当时，，当时，函数单调递增，函数单调递增，所以，综上所述，故选：C.15．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满意，，，若，为数列的前n项和，则（

）A．249 B．499 C．749 D．999【答案】A【解析】【分析】利用已知关系式构造两个新数列，求出，利用放缩技巧，可得到数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列前项和后，带入函数解析式即可得到答案.【详解】由，得，又，所以数列是以3为首项，4为公比的等比数列，则①；由得，，又，所以数列是常数列，则②，由①②联立可得；因为，所以即：

所以，故，所以，则．故选：A二、多选题16．高斯是德国闻名数学家，享有“数学王子”的称号，以他名字命名的“高斯函数”是数学界特别重要的函数．“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数，例如，则函数的值可能为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】ABC【解析】【分析】依据题意，可知，利用基本不等式，结合高斯函数的定义，求出函数g（x）的值域，分析选项可得答案．【详解】，因为（当且仅当，即时，等号成立），所以，故的值域为．故选：ABC.17．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，设函数，则下列关于函数叙述正确的是（

）A．为奇函数 B． C．在上单调递增 D．有最大值无最小值【答案】BC【解析】【分析】依据的定义，将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，依据函数图象推断函数的性质.【详解】由题意：，所以所以的图象如下图，由图象分析：，所以A不正确；，所以B正确；在上单调递增，所以C正确；有最小值无最大值，所以D不正确.故选：BC.18．高斯是德国闻名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（

）A．函数在区间（）上单调递增B．若函数，则的值域为C．若函数，则的值域为D．，【答案】AC【解析】【分析】求出函数式确定单调性推断A；举特例说明推断B，D；变形函数式，分析计算推断C作答.【详解】对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；对于B，，则，B不正确；对于C，，当时，，，有，当时，，，有，的值域为，C正确；对于D，当时，，有，D不正确.故选：AC19．对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯接受，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（

）A．，B．，的奇函数C．函数的值域为D．恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由取整函数的定义得到，然后逐项推断.【详解】设是x的小数部分，则由取整函数的定义知：，当x为整数时，，则，当x不为整数时，，则，且成立，即，A，由取整函数的定义知：，所以，成立，故选A正确；B，当时，，当时，，故，不是奇函数，故B错误；C，由取整函数的定义知：，所以，，函数的值域为，故C正确；D，由取整函数的定义知：，，所以，故D正确．故选：ACD．20．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C．是偶函数 D．的单调递增区间为【答案】AD【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再利用特别值推断C、B，求出上的函数解析式，即可推断D；【详解】解：因为，所以的定义域为，故A正确；当时；当时；当时，当，时，当时，当，时，所以函数的值域不是，且函数在上单调递增，故B错误、D正确；，，，不是偶函数，故C错误；故选：AD三、填空题21．设，用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则的值域为___________.【答案】【解析】【分析】对进行分类探讨，结合高斯函数的学问求得的值域.【详解】当为整数时，，当不是整数，且时，，当不是整数，且时，，所以的值域为.故答案为：22．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果.【详解】∵，∴，∴，故答案为：23．高斯被誉为历史上最宏大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号表示不超过x的最大整数，如：．若函，则的值域为_________．【答案】【解析】【分析】先求出的值，再依据高斯函数的定义即可求出答案.【详解】当或时，；当时，；故的值域为．故答案为：.24．高斯被誉为历史上最宏大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数也应用于生活、生产的各个领域.高斯函数也叫取整函数，其符号表示不超过的最大整数，如：，，定义函数：，则值域的子集的个数为：________．【答案】8【解析】依题意求出函数的值域，再依据含有个元素的集合含有个子集；【详解】解：依题意，表示向下取整，即取值均为整数，所以，可以看做在取整数时的函数，由于的最小正周期；在内，有所以函数的值域为，故值域的子集的个数为个故答案为：【点睛】本题考查集合的子集，含有个元素的集合含有个子集；25．高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，例如．已知数列满意，，设数列的前n项和为，则______．【答案】2024【解析】【分析】首先利用裂项得到再化简，利用裂项相消求和，再利用高斯函数的定义，即可求解.【详解】因为，所以，所以．因为，所以，所以，所以，故．故答案为：26．函数称为高斯函数，表示不超过，x的最大整数，如，.已知数列满意，且，若，则数列的2024项和为___________.【答案】4959【解析】【分析】依据递推关系求出数列的通项公式，再分类探讨求出，即可求和.【详解】，，当时，时，；当时，时，；当时，时，；当时，时，；所以故答案为：495927．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则函数的值域是__．【答案】，##【解析】【分析】依据已有的函数解析式，先求解出的值域，然后依据题目的定义要求，计算出的值域即可.【详解】解：，，则，可得，，当，时，，当，时，，函数的值域是，．故答案为：，．28．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数.例如：，.则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为或.其中正确的结论有________.(写出全部正确结论的序号)【答案】①④【解析】【分析】依据取整函数的定义，对每个选项进行逐一分析，即可推断和选择.【详解】①，正确；②，错误，例如：，，；③若，则的取值范围是，故错误；④当时，，，∴或，或或，当时，或；当时，或；所以的值为或，故正确.故答案为：①④29．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上特别重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提