考研数学一笔记

/高等数学常用公式=1\*GB1⒈等比数列=2\*GB1⒉等差数列=3\*GB1⒊=4\*GB1⒋极限对于和式进行适当放缩有两种典型的方法=1\*GB3①当n为无穷大时，则n∙umin≤=2\*GB3②当n为有限项，且ui≥0时，则umax常用极限：常见等价无穷小代换总结常见等价无穷小代换总结x⟶0=1\*GB1⒈sinx-=2\*GB1⒉arcsinx=x+1arcsinarcsin=3\*GB1⒊tanx=x+13tantan=4\*GB1⒋arctanx=x-arcx=5\*GB1⒌lnx-=6\*GB1⒍ln=7\*GB1⒎e=8\*GB1⒏1-9.1+x1+10.a7种未定型（注意正真的0和1与极限为0和1的区别）设limfABA0A+∞A∞10A0A为数，B为∞∞AlimlimlimlimA∙BAA∙BA∞A0∙∞AlimflimfxA-BAA-BA∞A∞A∞-∞lim求渐近线的步骤=1\*GB1⒈先求垂直渐近线：=2\*GB1⒉求水平渐近线：=3\*GB1⒊求斜渐近线：（时才需求斜渐近线，因为水平渐近线和斜渐近线不同时存在）极值点的来源：=1\*GB3①不可导点：=2\*GB3②驻点七、需要考虑左右极限的情况=1\*GB1⒈式子中含有=2\*GB1⒉式子中含有=1\*GB3①=2\*GB3②不存在=3\*GB1⒊=1\*GB3①=2\*GB3②不存在=4\*GB1⒋式子中含有取整符号=5\*GB1⒌含有=6\*GB1⒍分段函数导数=1\*GB3①=1\*GB3①判定fx在ｘ０处是否可导=2\*GB3②利用导数的定义求极限（罗比达法则的替补）导数的应用导数的应用=1\*GB2⑴=1\*GB2⑴分段函数的分段点；=2\*GB2⑵抽象函数：=3\*GB2⑶不满足求导法则；=4\*GB2⑷求导函数太复杂。=3\*GB3=3\*GB3③求导数=1\*GB3①分子一动一静=1\*GB3①分子一动一静=2\*GB3②分母有左有右=3\*GB3③上下同阶或低阶可导条件可导条件1.1.公式法2.归纳法3.莱布尼兹公式求高阶导数求高阶导数=1\*GB3①写出=1\*GB3①写出Taylor展开式=2\*GB3②将f(x)间接展开=3\*GB3③利用对应系数相等步骤4.利用4.利用Taylor公式中值定理涉与的中值定理，即连续函数在闭区域[a,b]上的性质=1\*GB1⒈设在[a,b]上连续，则定理一（有界性）：定理二（最值定理）：，其中m，M分别是在[a，b]上的最小值与最大值。定理三（介值定理）：当时，其中m，M分别是在[a，b]上的最小值与最大值，使得定理四（零点定理）：当时，使得=2\*GB1⒉涉与导数的中值定理定理五（费马引理）：设在x0的某领域U(x0)内有定义，且在x0处可导如果对任意的x∈U(x0)有补充一（导数零点定理）设在[a,b]内可导，且，则,使得定理六（罗尔定理）：如果函数=1\*GB2⑴在闭区间上连续,=2\*GB2⑵在开区间内可导,=3\*GB2⑶且在区间端点的函数值相等，即,那末在内至少有一点,使得函数在该点的导数等于零，即。该定理的逆否命题：若在(a,b)内没有实根，即，则fx=0在[a,b]上至多只有一个实根。推广：若在(a,b)上没有实根，即，则fx=0在[a,b]上至多只有n个实根。定理七（拉格朗日中值定理）：如果函数=1\*GB2⑴在闭区间上连续,=2\*GB2⑵在开区间内可导则在内至少有一点，使等式成立。定理八（柯西中值定理）：如果函数与在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点,使等式成立。定理九（Taylor公式）：如果函数在含有的某个开区间内具有直到n+1阶的导数，则对任意，有这里的ξ是介于x0与之间的某个值。注：Taylor公式常用于处理含二阶与二阶以上导函数代数式的问题，证明的一般思路如下：=1\*GB3①将在x0处展开成比高阶导数低一阶的Taylor展开式=2\*GB3②关键在于如何确定与，一般把题目中已知某点的函数与各阶导数值设为区间端点为，闭区间的中点有时也会用到=3\*GB3③对=2\*GB3②得到的式子进行适当运算。=3\*GB1⒊涉与积分的中值定理定理十（积分中值定理）设在[a,b]上连续则在[a,b]上至少存在一点使得推广一：设在[a,b]上连续则使得推广二（第二积分中值定理）：设与在[a,b]上连续，且在[a,b]不变号，则，使得=1\*GB3=1\*GB3①逐项还原=2\*GB3②组合还原=3\*GB3③同乘因子=4\*GB3④求解微分方程f'fe2)λfλx同乘以e=1\*Arabic1.=1\*Arabic1.构造辅助函数两个模型两个模型同乘以x同乘以x罗尔定理考点罗尔定理考点2.2.找端点值使得f经典不等式总结=1\*GB1⒈三角不等式：设为实数则=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶推广：=1\*GB2⑴离散情况：设为实数，则=2\*GB2⑵连续情况：设在可积，则=2\*GB1⒉均值不等式=1\*GB2⑴，，推广：设是正整数，则=3\*GB1⒊杨氏不等式：设，则=4\*GB1⒋柯西不等式：=5\*GB1⒌施瓦茨不等式：若在可积，且平方可积，则=6\*GB1⒍其他不等式=1\*GB2⑴若，则=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶积分有理函数积分设有真分式Rx=P(x)Q(x)，A若分母中有一个因子x2Aex:求积分的方法=1\*GB3①=1\*GB3①公式法=2\*GB3②分项积分法=3\*GB3③第一类换元=4\*GB3④第二类换元=5\*GB3⑤分部积分法=6\*GB3⑥万能代换=7\*GB3⑦区间再现万能代换：令tanxsincos区间再现：在计算很多定积分和某些定积分证明时，有时需要互换积分限。常见互换积分限为：=1\*GB3①t=-x，x∈[-a,a]=2\*GB3②t=π-x，x∈[0,π]=3\*GB3③t=π2-x比较广义积分的敛散性比较判别法的极限形式=1\*GB2⑴设函数fx及g(x)都是在区间[a,+∞)非负连续函数，若，则当0<l<+∞时，a当l=0时，a∞g当l=∞时，若a∞gx=2\*GB2⑵设函数fx及g(x)都是在区(a,b]非负连续函数，，则0<l<+∞时a多元函数=1\*GB3①=1\*GB3①求具体点的偏导数=2\*GB3②几何意义=3\*GB3③求偏导数∂z∂x=4\*GB3④高阶偏导数=5\*GB3⑤偏积分偏导数偏导数考点微分=1\*GB1⒈∆z=fxdx+⟹f=2\*GB1⒉⟹fx,y在可微=1\*GB3①=1\*GB3①偏导个数=自变量个数=2\*GB3②项数=中间变量个数=3\*GB3③分线相加，连线相减=4\*GB3④∂z∂x，∂z∂y仍然是x,y=5\*GB3⑤抽象复合函数可以用1,23⋯表示偏导数的结构偏导数的结构微分方程=1\*GB1⒈二阶线性微分方程特解的求法令，则；，则于是令，则有如下重要性质（注：表示微分，表示积分）=1\*GB3①当时，当时，=2\*GB3②当时，=3\*GB3③=4\*GB3④其中为1除以按升幂排列所得商式，其的最高次数为右边多项式的最高次数。1除以的运算如下11其中其中一阶线性微分方程组的解法=1\*GB3①=1\*GB1=1\*GB3①=1\*GB1⒈齐次微分方程组解题程序：=2\*GB3②=1\*GB2⑴=2\*GB3②=1\*GB2⑴引入微分算子则=1\*GB3①⟹=2\*GB2⑵令，则满足求解（或）；=3\*GB2⑶将求出的代入方程=1\*GB3①中的第一个方程，求出(或第二个方程求出）注：求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法。=3\*GB3③=2\*GB2⑵=3\*GB3③=2\*GB2⑵非齐次微分方程组的解法方程=3\*GB3③的通解=对应的齐次方程=1\*GB3①的通解+非齐次方程=3\*GB3③的一个特解。y一个重要关系yox其中表示极径与点切线间的夹角。ox概率论常用知识分组=1\*GB1⒈有序分组个元素分成共组，其个数分别为，则分组方法的总数为=2\*GB1⒉无序分组个元素分成个组，其中各组的元素为，各组的元素为个，…，各组的元素为个，则分组方法的总数为函数=1\*GB1⒈定义=2\*GB1⒉性质=1\*GB3①，=2\*GB3②为正整数时：=3\*GB3③参数的置信区间=1\*GB1⒈已知，置信区间为=2\*GB1⒉未知，置信区间为参数的置信区间（未知），置信区间为微积分常用公式aaansin+sin=2cos+coscos-cos导数部分=1\*GB1⒈C'=0=2\*GB1⒉xα'==3\*GB1⒊sinx'==4\*GB1⒋cosx'==5\*GB1⒌tanx'==6\*GB1⒍(cotx)'=7\*GB1⒎secx'==8\*GB1⒏cscx'==9\*GB1⒐ax'=a=10\*GB1⒑ex'==11\*GB1⒒(logax)=12\*GB1⒓lnx'==13\*GB1⒔arcsinx'=14\*GB1⒕arccosx'=15\*GB1⒖arctanx'=16\*GB1⒗arccotx'积分部分=1\*GB1⒈kdx=kx+C=2\*GB1⒉1xdx=ln=3\*GB1⒊xμdx=x=4\*GB1⒋11+x2=5\*GB1⒌11-x=6\*GB1⒍sinxdx=-=7\*GB1⒎cosxdx=sin=8\*GB1⒏1cos2x=9\*Arabic91sin2xdx=csc2dx=-cotx+C=11\*GB1⒒secxtanx=12\*GB1⒓cscxcotx=13\*GB1⒔exdx=e=14\*GB1⒕tanxdx=-ln