第三章　第一节　函数的概念及其表示

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第一节函数的概念及其表示【课标解读】【课程标准】1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,理解函数图象的应用.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.分段函数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.预测预计2025年高考在函数的定义域、值域、解析式仍会出题,一般在选择题或填空题中出现,对分段函数的考查比较灵活,各种题型都可能涉及.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.函数的概念概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域x的取值范围A值域与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}2.同一个函数(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系完全一致.(2)结论:这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法(1)解析法:就是把两个变量之间的对应关系用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析式.(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.(3)图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.微点拨①在函数定义中,集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合B的子集.②两函数的值域与对应关系相同,但两函数不一定相同,如y=x2(x≥0)与y=x2.4.分段函数若函数在其定义域的子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.微点拨分段函数是一个函数而不是几个函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.常用结论1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.2.特殊函数的定义域:(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}基础诊断·自测类型辨析改编易错题号1231.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.(×)提示:函数y=1的定义域为R,而y=x0的定义域为{x|x≠0},其定义域不同,故不是同一个函数.(2)对于函数f:A→B,其值域是集合B.(×)提示:值域是集合B的子集.(3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.(×)提示:集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.(4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.(×)提示:只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数.2.(必修第一册P65例2·变形式)函数f(x)=x+3+1x+2,若f(a)=133,则a【解析】由a+3+1a+2=133,化简得,3a2+2a-5=0,解得a=1或a均符合题意,所以a=1或-53答案:1或-5【加练备选】(2023·上海高考)已知函数f(x)=2x,x>01,x【解析】当x>0时,f(x)=2x>1,当x≤0时,f(x)=1,所以f(x)的值域为1,答案:13.(忽视新元的范围致误)若函数f(2x)=4x-2x,则f(x)=.

【解析】由题意,f(2x)=4x-2x=(2x)设t=2x,则f(t)=t2-t,t>0,所以f(x)=x2-x,x>0.答案:x2-x(x>0)【核心考点·分类突破】考点一函数的概念1.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四个图象中,能表示集合M到集合N的函数关系的是()A.①②③④ B.①②③C.②③ D.②【解析】选C.对于①,定义域为{x|0≤x≤1},不符合题意;对于④,集合M中有的元素在集合N中对应两个值,不符合函数定义;②③符合题意.2.(多选题)下列各组函数是同一个函数的为()A.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1B.f(x)=x-1,g(x)=xC.f(x)=x2,g(x)=D.f(x)=-x3,g(x)=【解析】选AC.同一个函数应满足①定义域相同;②对应关系完全一致,只有A,C满足.3.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是.(填序号)

①f:x→y=12x;②f:x→y=13x;③f:x→y=23x;④f:x→y【解析】③中,f:x→y=23x,x∈[0,4]时,y=23x∈[0,83]⊈答案:③4.以下给出的同组函数中,是否表示同一个函数?为什么?①f1:y=xx;f2:y=1;f3:y=x0②f1:y=x2;f2:y=(x)2;f3:y=③f1:y=1f2:xx≤11<x<2x≥2y123f3:【解析】①不是.f1(x)与f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.②不是.f1(x)的定义域为R,f2(x)的定义域为{x∈R|x≥0},f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.③是同一个函数.x与y的对应关系完全一致且定义域相同,它们是同一个函数的不同表示方法.解题技法(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同.考点二函数的定义域[例1](1)函数y=4-x2A.[-2,2]B.(-1,2]C.(-1,0)∪(0,2]D.(-1,1)∪(1,2]【解析】选C.由已知可得4解得-1<x<0或0<x≤2,因此函数y=4-x2ln(2)已知函数f(x)=3x-1ax2+A.(13,+∞) C.(-12,0) D.(-∞,13【解析】选B.由题意可知ax2+ax-3≠0对任意实数x都成立.当a=0时,显然成立;当a≠0时,需Δ=a2+12a<0,解得-12<a<0.综上所述,实数a的取值范围为(-12,0].(3)金榜原创·易错对对碰①若函数y=f(x)的定义域是[0,2025],则函数g(x)=f(x+1②若函数f(x-1)的定义域为[0,2025],则函数g(x)=f(x+1【解析】①使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2025,解得-1≤x≤2024,故函数f(x+1)的定义域为[-1,2024].所以函数g(x)有意义的条件是-解得-1≤x<1或1<x≤2024.故函数g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2024].②由函数f(x-1)的定义域为[0,2025],得函数y=f(x)的定义域为[-1,2024],则-1≤x+1≤2024,所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2023].答案:①[-1,1)∪(1,2024]②[-2,1)∪(1,2023]解题技法1.由函数解析式求定义域已知函数的解析式,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.2.求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.对点训练1.函数f(x)=ln(4x-x2)+1x-2A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4]C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞)【解析】选C.使函数有意义,需满足4解得0<x<2或2<x<4.2.已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=f(2x)+1-2xA.[0,1] B.[-1,0]C.[-12,1] D.[-1【解析】选D.由题意得-1≤2x≤2,1-3.已知函数f(x)=2x-a的定义域为[2,+∞),则a【解析】由题意可知,不等式2x-a≥0的解集为[2,+∞),则22-a=0,解得a=4.当a=4时,由2x-4≥0,可得2x≥4=22,解得x≥2,符合题意.答案:4【加练备选】已知函数f(x)=ln(ax2+x+1)的定义域为R,则a的取值范围为.

【解析】由条件知,ax2+x+1>0在R上恒成立,当a=0时,x+1>0,x>-1,不满足条件,故a>0,Δ<0,答案:(14解题技法求函数解析式的四种方法考点三函数的解析式[例2](1)(一题多法)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=.

【解析】方法一(换元法)令2x+1=t(t∈R),则x=t-12,所以f(t)=4(t-1t2-5t+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).方法二(配凑法)因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).方法三(待定系数法)因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c.因为f(2x+1)=4x2-6x+5,所以4a=4,4a+2b=-6,a+b+c=5答案:x2-5x+9(x∈R)(2)已知f(x+1)=x+2x,则f(x)=.

【解析】方法一:设t=x+1,则x=(t-1)2,t≥1,代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1,x≥1.方法二:因为x+2x=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,所以f(x+1)=(x+1)2-1,x+1≥1,即f(x)=x2-1,x≥1.答案:x2-1(x≥1)(3)f(x)满足2f(x)+f(1x)=3x-1,则f(x)=【解析】(构造方程组法)已知2f(x)+f(1x)=3x-1①以1x代替①中的x(x≠0),得2f(1x)+f(x)=3x-1①×2-②,得3f(x)=6x-3x-1,故f(x)=2x-1x-13(答案:2x-1x-13(对点训练1.已知f(4x+1)=2x2-3x,则f(2)=(A.-1 B.1 C.2 D.3【解析】选A.令4x+1=2,则所以f(2)=2-3=-1.2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=.

【解析】因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即ax+5a+b=2x+17,所以a=2,所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7.答案:2x+73.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f(1x)·x-1,则f(x)=【解析】在f(x)=2f(1x)·x-1中,将x换成1则得f(1x)=2f(x)·1x由f解得f(x)=23x+答案:23x4.设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)+2f(2023x)=3x,则f【解析】因为f(x)+2f(2023x所以f(2023x)+2f(x联立得-3f(x)=3x-3×2×2所以f(x)=-x+2×2所以f(2023)=-2023+2=-2021.答案:-2021考点四分段函数及其应用考情提示一手考情:分段函数作为考查函数知识的载体,因其考查函数知识较全面而成为高考命题的热点,重点考查求值、解方程与不等式,涉及函数的零点、图象及性质等.角度1分段函数求值[例3](1)(2023·三明模拟)已知函数f(x)=3x,x≤0,log【解析】f(f(-2))=f(3-2)=log33答案:-2(2)已知函数f(x)=2x-1,x≤0,x1【解析】由题意可知2m-1=3,m≤0答案:9解题技法“分段函数——分段看”,遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式代入.(1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义域区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.对点训练1.设函数f(x)=3x-b,x<1,2x,xA.1 B.78 C.34 【解析】选D.f(56)=3×56-b=52-b,若52-b<1,即则f(f(56))=f(52-b)=3(52-b解得b=78,不合题意舍去若52-b≥1,即b≤32时,则252-2.已知f(x)=f(x-1),【解析】因为f(x)=f所以f(2024)=f(2023)=f(2022)=…=f(1),又f(1)=f(1-1)=f(0),f(0)=-ln(0+e)+2=-1+2=1,所以f(2024)=1.答案:1角度2分段函数与方程、不等式问题[例4](1)已知函数f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0.A.-3 B.-1 C.1 D.3【解析】选A.因为f(1)=21=2,所以f(a)+2=0,所以f(a)=-2.当a≤0时,f(a)=a+1=-2,所以a=-3;当a>0时,f(a)=2a=-2,方程无解.综上,a=-3.(2)(一题多法)设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x【解析】方法一:当x>12时,2x+2x-12当0<x≤12时,2x+x-12+1>1,即2x+x>12恒成立,所以0<x当x≤0时,x+1+x-12+1>1,解得-14<综上,x的取值范围是(-14,+∞)方法二:将不等式f(x)+f(x-12)>1变形为f(x-12)>1-f(令y1=f(x-12),y2=1-f(x由图象可知,满足f(x-12)>1-f(x)的x的取值范围是(-14答案:(-14解题技法解分段函数的方程、不等式当自变量取值不确定时