人教版数学八年级下期末勾股定理复习试卷含教学反思设计案例学案说课稿

期末复习（二）勾股定理

各个击破

命题点1勾股定理的证明

【例1】（1）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的.直角梯形（如图2），请你利

用图2，验证勾股定理；

o―I—h

（2）利用图2中的直角梯形，证明丁

图1

【思路点拨】（1）利用梯形面积的两种算法列出等式证明；（2）利用直角梯形中斜腰大于直角腰证明.

【方法归纳】勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积.

题组训练

1■如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个.边长为c的正方形，

请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.

（1）画出拼成图形的示意图；

（2）证明勾股定理.

命题点2勾股定理及其逆定理

【例2】如图，每个小正方形的边长为1.

⑴求四边形ABCD的周长；

⑵求证：ZBCD=90°.

A

【思路点拨】(1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出ABCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明.

【方法归纳】正方形格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90。

的一种思路.本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明.

忸题组训练可

2■如图，己知：在正方形ABCD中，点E是BC中点，点F在AB上，且AF：FB=3：1.

⑴请你判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理由；

(2)若此正方形的面积为16，求DF的长.

命题点3勾股定理在实际问题中的应用

【例3】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AAi=2km，BBi

=4km，AiBi.=8km.现要在高速公路上AiBi之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个

最短距离是多少千米？

【思路点拨】运用“两点之间线段最短”先确定出P点在AB上的位置，再利用勾股定理求出AP+BP的长.

B

A

M4B、N

【方法归纳】解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的P点的位置，会构造RtAAB"E求之，勾股

定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范.

>1题组训练

3•某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AB为直径的半圆，已知.AD=2.3m，AB=2m，

现有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽L.6m，问：这辆车能否通过厂门？请说明理由.

命题点4图形的折叠与勾股定理

[例4]如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使0A，0C分别落在x轴，y轴上，顶点0与原点0

重合连接AC将矩形纸片OABC沿AC折叠使点B落在点D的位置若B（1，2），则点D的横坐标是.

【思路点拨】求点D的横坐标即先要求点D到y轴的距离，然后根据点D在第二象限>确定点D的横坐标.

【方法归纳】解决有关折叠的问题时，通常利用勾股定理这个等量关系建立方程.

题组训练

4・（安徽中考）如图，RtAABC中，AB=9，BC=6，ZB=90°，WAABC折叠，使A点与BC的中点D重合，

折痕为MN，则线段BN的长为（）

A.|

B-2

整合集训

一、选择题（每小题3分，共30分）

1­在RtAABC中，已知两直角边长分别为1和3，则斜边的长为（）

A-1B.2.4C.2吸D.V10

2,小新将铁丝剪成九段>分成三个组：①2cm,3cm>4cm；②3cm，4cm，5cm；③9cm>40cm>41cm.分别

以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有（）

A•②B.①②C.①③D.②③

3•下列各命题的逆命题成立的是（）

A•全等三角形的对应角相等

B-如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

C-两直线平行，同位角相等

D•如果两个角都是45°，那么这两个角相等

4■下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）

5.如图,正方形网格中的AABC，若小方格边长为1，则AABC是（）

A•直角三角形

B-锐角三角形

C-钝角三角形

D•以上答案都不对

6­在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么下列各比值中，是这个直角三角形的三边之比的是（）

A-1：2：3B.2：3：4

C-1：4：9D.1：小：2

7•如图•△ABC和4DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）

A.^3B•26C•3小D•4-73

8•设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形.的周长为6，，则ab的值是（）

A•1.5B.2C.2.5D.3

9■如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A与起点B的距离是（）

A.V113B.8C.9D.10

BX

I/4

A7

10•如图，在四边形ABCD中，NA=60°，NB=ND=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）

A-4B.5C.2^3D.平

A

[>

RC

二、填空题（每小题3分，共18分）

11•如果三角形的三边分别为啦，加，2，那么这个三角形的最大角的度数为.

12•（无锡中考）如图>AABC中CDLAB于点D，E是AC的中点若AD=6.DE=5，则CD的长等于.

A

/A

13•已知a，b，c是AABC的三边长，且满足关系对二^京+|a—b|=0，贝iJZkABC的形状为.

14♦如图是“赵爽弦图”，TXABH>ACDF，ADAE和ABCG是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH

都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于.

15•（滨州中考）如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰

好落在边OC上的点F处,若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为.

16•课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），NACB=90°，AC=BC，从三角板

的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为cm.

三、解答题（共52分）

17•（8分）如图，己知某山的高度AC为800米，在山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC=1500米，欢欢

从.山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？

18■(10分)在4ABC中，a=m2—n2>b=2mn>c=m2+n2>其中m，n是正整数>且m>n，试判断AABC是否是

直角三角形.

19.(10分)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中/A和/DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边

尺寸如图2所示.

图1图2

(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？

(2)求这个零件的面积.

20•（12分）如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将

绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？

21.（12分）在4ABC中，AB=2小＞AC=4，BC=2，以AB为边向4ABC外作4ABD，使4ABD为等腰直角三

角形，求线段CD的长.

参考答案

【例1】

(l)VRtAABE^RtAECD>ZAEB=ZVZEDC+ZDEC=90°>AZAEB+ZDEC=90°..,.ZAED=90°.VS

222

®®ABCD=SRtAABE+SRtADEc+SRtAAED'1(a+b)(a+b)=1ab+2»b+a+b=c.

a~I-b

(2)证明：VBC=a+b，AD=V2c>BC<AD>：,a+b<y[2c.~^~<y[2.

【例2】

⑴根据勾股定理可知AB=3^2>BC=V34，CD=4，AD=5^2，，四边形ABCD的周长为8^2+2^34.

(2)证明：连接BD-VBC=V34，CD=V34，DB=V68，，BC2+CD2=BD2.；.ABCD是直角三角形，即NBCD=

90°.

【例3】

过B作B点关于MN的对称点B-，连接AB咬AiB,于点P，则AP+BP=AP+PB,=AB,，易知P点即为到A，B

距离之和最短的点.过A作AE_LBB，于点E，则AE=AiB1=8>BZE=AAi+BBi，得AB，=]X声反谈再不，

B两村庄的最短距离之和是10km.

【例4】

_3

~5

题组训练

1•(1)图略.

(2)证明：用大正方形的面积证明.c2=(b—a)2+4X^ab=b2+a2.

31I

2-(1)EF与DE垂直，即EF±，设正方形边长为a，则AD=DC=a，AF=^a，BF=^a，BE=EC=]RtZ\DAF中，

2555

DF2=AD2+AF2=^a2在RtAcDE中，DE2=CD2+CE2=wa2在RtAEFB中，EF2=FB2+BE2=jga2.VDE2+EF2

5525

=Wa2+j^a2=j^a2=DF2，；.Z\DFE为直角三角形.，EF_LDE.

(2)连接DF.，.,正方形的面积为16,.*.a2=16.VDF2=Y^a2=y|x16=25)/.DF=5.

3■能通过，理由如下：如图，设A.B的中点为O，显然，车的宽度小于门的宽度，设OF=L6+2=0.8(m)，过点F

AB

作FG_LAB，G为半圆上的点，因为OG=《-=1m，OF=0.8m，所以FG2=OG2—OF2=122=o.36.所以FG=0.6m，

所以G点离地面的高度为0.6+2.3=2.9(m)>2.5m，故车能通过.

4-C

整合集训

1-D2.D3.C4.D5.A6.D7.D8.D9.D10.D11.90°1.2.813.等腰直角三角形14.1015.(10,3)

17根据已知，可得/ACB=90°.在RtZiABC中，根据勾股定理<AB=^/AC2+BC2=^8002+15002=1700(.米).1

700+50=34(分钟).答：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶.

18-Vm，n是正整数，且m>n，，c>b，c>a.a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2

+i?.又：c2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，.•.a2+b2=c2.；.ZiABC