新教材同步备课2024春高中数学模块综合测评新人教A版必修第二册

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数21A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i2．(2024·湖南长沙试验中学期末)“治国之道，富民为始．”共同富有是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼．共同富有是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消退两极分化和贫困基础上的普遍富有．请你运用数学学习中所学的统计学问加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富有要求的是()A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小C．平均数大，方差大 D．平均数大，方差小3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是()A．若m∥α，m⊥n，则n⊥αB．若m∥α，β⊥α，则m∥βC．若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，m⊥β，则α∥β4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝2，c＝2，则()A．a＝3＋1B．A＝15°C．C＝45°D．△ABC为钝角三角形5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为()A．15B．25C．46．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，G为EF的中点，则A．12ADC．34AD7．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A．32B．155C．108．(2024·吉林期末)体积相等的球、正四面体和正方体，则它们的表面积的大小关系为()A．S球<S正四面体<S正方体B．S球<S正方体<S正四面体C．S正四面体<S球<S正方体D．S正方体<S球<S正四面体二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项实力指标值(满分为5分)．绘制了如图所示的六维实力雷达图．例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是()A．甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值B．甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值C．甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值D．甲的六维实力整体水平低于乙的六维实力整体水平10．已知复数z满意i-1A．z＝2B．z的虚部为－iC．z的共轭复数为z＝－1＋iD．z是方程x2－2x＋2＝0的一个根11．口袋里装有2红，2白共4个形态相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事务A＝“取出的两球同色”，B＝“第一次取出的是红球”，C＝“其次次取出的是红球”，D＝“取出的两球不同色”，下列推断中正确的()A．A与B相互独立 B．A与D互为对立C．B与C互斥 D．B与D相互独立12．已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则()A．棱台的高为23B．棱台的表面积为1263C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为3D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在一次校内歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是________．14．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，假如甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是________．15．如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为π1216．一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2024·浙江台州期末)设i为虚数单位，a∈R，复数z1＝2＋a2-1i，①z1＋z2∈R；②z1z2＝6－2i；③在复平面内复数z1对应的点在第一象限的角平分线上．(1)求实数a的值；(2)若z1z2＋b(b∈R)注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)(2024·山东济南期末)已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现接受样本按比例支配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参与献爱心活动．(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学担当敬老院卫生打扫工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②记事务M＝“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，求P(M).19．(本小题满分12分)甲、乙、丙三台机器是否须要照看相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都须要照看的概率为0.05，甲、丙都须要照看的概率为0.1，乙、丙都须要照看的概率为0.125．(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内须要照看的概率；(2)计算这一小时内至少有一台机器须要照看的概率．20．(本小题满分12分)(2024·湖北十堰期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(1＋cosA，sinB)，n＝3a，b且m(1)求角A的大小；(2)若D是BC的中点，AD＝1，求△ABC面积的最大值．21．(本小题满分12分)(2024·湖北孝感重点中学联考期中)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为一般市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的相识，举办了“创建文明城市”学问竞赛，从全部答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成果(满分100分，成果均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成果的第80百分位数和平均数；(2)已知落在[50，60)的平均成果是56，方差是7，落在[60，70)的平均成果为65，方差是4，求两组成果的总平均数z和总方差s2．22．(本小题满分12分)(2024·山东临沂期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝AC＝3．(1)设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，推断l与AC的位置关系，并证明；(2)求证：A1C⊥BC1；(3)若A1C与平面BCC1B1所成的角为30°，求三棱锥A1-ABC内切球的表面积S.模块综合测评1．B[化简可得z＝21-i＝21+i12．D[方差反映的是一组数据的波动状况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富有要求的是平均数大，方差小．故选D.]3．C[若m∥α，不妨设m在α内的投影为m′，则m∥m′，对于选项A：若m∥α，m⊥n，则n⊥m′，结合线面垂直判定定理可知，n不愿定垂直α，故A错误；对于选项B：若m∥α，β⊥α，此时m与β可能相交、平行或m在β上，故B错误；对于选项C：若m∥α，n⊥α，则n⊥m′，从而m⊥n，故C正确；对于选项D：若m∥α，m⊥β，则m′⊥β，结合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D错误．故选C.]4．D[由正弦定理，212＝2sinC有sinC＝22，因为C∈(0，π)，故C＝45°或C＝135°，故三角形有两解，故ABC均错误，当C＝45°时，A5．C[由题知，基本领件的总数有25种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、候、公，共5种情形，故所求事务的概率为1－525＝2025＝6．B[DG＝1＝12(DA+＝12(－AD+＝12故选B.]7．C[如图所示，补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，则所求角为∠BC1D，∵BC1＝2，BD＝22+1-2×2×1×cos60°＝3，C1D＝AB1＝5，易得C1D28．B[设球、正四面体和正方体的体积都为V，若球的半径为R，则V＝43πR3，可得其表面积为S1＝4πR2＝336πV2.若正四面体的棱长为m，则V＝13·34m2·63m＝212m3，可得m＝362V，所以其表面积为S若正方体的棱长为a，可得V＝a3，所以正方体的表面积为S3＝6a2＝63V2＝3216V2，可得S1<S3<S2，即S球<S9．AD[对于A选项，甲的逻辑推理实力指标值为4，乙的逻辑推理实力指标值为3，所以甲的逻辑推理实力指标值高于乙的逻辑推理实力指标值，故选项A正确；对于B选项，甲的数学建模实力指标值为3，乙的直观想象实力指标值为5，所以甲的数学建模实力指标值低于乙的直观想象实力指标值，故选项B错误；对于C选项，甲的数学运算实力指标值为4，甲的直观想象实力指标值为5，所以甲的数学运算实力指标值低于甲的直观想象实力指标值，所以选项C错误.对于D选项，甲的六维实力指标值的平均值为4+3+4+5+10．AD[因为(i－1)z＝2i，所以z＝2ii-对于A，z＝12+-对于B，z的虚部为－1，故选项B错误；对于C，z的共轭复数为z＝1＋i，故选项C错误；对于D，因为方程x2－2x＋2＝0的根为2±8-4i2＝1±i，所以z11．ABD[盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共4×3＝12个基本领件，事务A共有4个基本领件，事务B共6个基本领件，事务C共6个基本领件，事务D共8个基本领件，由题可得P(A)＝412＝13，P(B)＝612＝12，P(D)＝812＝23，P(AB)＝212＝16，P(BD)＝412＝13，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(BD)＝P(B)P(D)，所以A与对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误．故选ABD.]12．BD[在正三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1＝6，AB＝12，AA1＝6，在平面ABB1A1中，由点A1向AB作垂线，垂足为D，取线段BC的中点E，连接AE，在平面AEA1中，由点A1向AE作垂线，垂足为F，连接DF，在等腰梯形ABB1A1中，AB＝12，B1A1＝6，AA1＝6，则AD＝12-62＝3，A1D＝62-32＝33，所以棱台的表面积为3×12(6＋12)×33+34×62＋34×122＝1263，故选项B正确；又三棱台为正三棱台，所以A1F为正三棱台ABC-A1B1C1的高，所以A1F⊥AB，由A1F∩A1D＝A1，所以AB⊥平面A1DF，AB⊥DF，在Rt△ADF中，AF＝ADcosπ6＝332＝23棱台的侧棱与底面所成角为∠A1AE，cos∠A1AE＝AFAA1＝2棱台的侧面与底面所成二面角为∠A1DF，sin∠A1DF＝A1FA1D13．95[依题意，先将上述6个分数从小到大排列为：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整为第5个数，即95．]14．0.79[∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，∴1－(1－0.5)(1－0.4)(1－0.3)≥a，解得a≤0.79．∴a的最大值是0.79．]15．5π12[如图所示，由题意可知：∠ABC＝母线与水平面所成角为：∠EDB＝∠DBF＝π2-π16．30[如图所示，设水柱CD的高度为h，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝3h，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，∴3h2＝h2＋602－2×60×h×即h2＋30h－1800＝0，解得h＝30．∴水柱的高度是30m．]17．解：(1)若选①：由z1＋z2＝3＋(a2－3)i∈R，得a2－3＝0，解得a＝±3.若选②：由z1z2＝2a2＋(a2－5)i＝6－2i⇒2a2=6a若选③：由2＝a2－1得a＝±3.(2)z1z2＋b＝2+2i1-2i＋b＝－25＋b18．解：(1)由题意知，高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，又接受样本量按比例支配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学．故应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①由题意知，全部可能的抽取结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)．②不妨设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，则M＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)}，共含有15个样本点．所以P(M)＝1521＝519．解：记甲、乙、丙三台机器在某一小时内须要照看分别为事务A，B，C，则A，B，C两两相互独立．(1)由题意得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内须要照看的概率分别为0.2，0.25，0.5．(2)∵A，B，C两两相互独立，∴A，∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不须要照看的概率为P(ABC)∴这一小时内至少有一台须要照看的概率为P＝1－P(AB20．解：(1)由m＝(1＋cosA，sinB)，n＝3a，b且m得(1＋cosA)b＝3asinB，由正弦定理得(1＋cosA)sinB＝3sinAsinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴1＋cosA＝3sinA，∴2sinA-又∵A∈(0，π)，A－π6∈-π6，5π6，∴A－π(2)由AD＝12AB+AC，得到AD2＝14(AB则4＝b2＋c2＋2bccos∠BAC，化简得b2＋c2＝4－bc≥2bc，∴bc≤43当且仅当b＝c时，等号成立，∴S△ABC＝12bcsinA≤12×即△ABC面积的最大值为3321．解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，∴(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030．成果落在[40，80)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65．落在[40，90)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9．设第80百分位数为m，由0.65＋(m－80)×0.025＝0.80，得m＝86，故第80百分位数为86．设平均数为x，由图中数据可知：x＝10×(45×0.005＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010)＝74．(2)由图可知，成果在[50，60)的市民人数为100×0.1＝10，成果在[60，70)的市民人数为100×0.2＝20．故z＝10×s2＝110+20[10×(56－62)2所以两组市民成果的总平均数是62，总方差是23．22．解：(1)推断l∥AC.证