2024年高中数学专题2-15重难点题型培优精讲圆与圆的位置关系学生版新人教A版选择性必修第一册

专题2.15圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系及推断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：②代数法：联立两圆方程，依据方程组解的个数即可作出推断.

当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.2．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种状况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

推断两圆公切线的条数,实质就是推断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要推断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最终依据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要留意公切线的斜率可能不存在.3．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.

设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.4．圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：

(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.

(2)与圆同心的圆系方程是.

(3)过同确定点(a,b)的圆系方程是.

(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是.

(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是().(其中不含有圆:,留意检验是否满足题意,以防漏解).

①当时，l:为两圆公共弦所在的直线方程.

②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.【题型1圆与圆的位置关系及判定】【方法点拨】推断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不须要);②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距d；④比较d与的大小关系；⑤依据大小关系确定位置关系.【例1】圆(x+1)2+yA．内切 B．相交 C．外切 D．相离【变式1-1】已知圆C1:x2+A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【变式1-2】已知圆C1:x2+y2-2x+A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【变式1-3】已知直线l:mx+y-3m-2=0与圆M:(A．内切 B．外离 C．外切 D．相交【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】【方法点拨】依据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的确定值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，留意相切和相离均包括两种状况.【例2】已知圆C1(x-2)2+(y+2)2A．7 B．3 C．3或7 D．5【变式2-1】已知圆C:x-32+yA．1 B．9 C．10 D．16【变式2-2】已知圆C1：x-32+y+22=1与圆C2：A．14 B．34 C．14或45 D．34或14【变式2-3】若圆C1:x2+y2A．12 B．23【题型3与两圆相切有关问题】【方法点拨】处理两圆相切问题，首先必需精确把握是内切还是外切，若只是告知两圆相切，则必需分两圆内切和外切两种状况探讨；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的确定值(内切时)或两圆半径之和(外切时).【例3】设圆C1:x2+y2-2A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式3-1】下列方程中，圆C1:x2-A．x+3C．3x+【变式3-2】圆x2+y-22=4A．-∞,C．-5,【变式3-3】若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆CA．1 B．2 C．3 D．2【题型4两圆的公共弦问题】【方法点拨】解决两圆公共弦问题的一般步骤：第一步：推断两圆有没有公共弦；其次步：假如存在公共弦，那么只须要将两圆的方程相减，即可求得公共弦所在直线的方程；第三步：求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；第四步：利用勾股定理求出公共弦长.【例4】圆x2+y2=4A．x-yC．x+y【变式4-1】圆C1:x2+A．6 B．210 C．4 D．【变式4-2】已知圆C1:x2+A．2 B．22【变式4-3】若圆C1:x2+y2A．aB．aC．AB中点的轨迹方程为xD．AB中点的轨迹方程为x【题型5圆系方程及其应用】【方法点拨】求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再依据条件建立方程组，最终求出圆的方程，或干脆用圆系方程求解，这样会使运算简捷.【例5】求过两圆x2+y2-2yA．x2+C．x2+【变式5-1】圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【变式5-2】过点M(2,-2)以及圆x2+A．x2+C．x2+【变式5-3】若圆C的圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2-A．0 B．85 C．2 D．【题型6直线与圆、圆与圆的位置关系的应用】【方法点拨】对于实际生活中直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，通常接受建立平面直角坐标系来解决，一般步骤如下：第一步：细致审题，理解题意，把题中的实际问题转化为直线与圆、圆与圆的有关问题；其次步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将实际问题转化为解析几何问题；第三步：通过点的坐标及方程的有关运算解决问题；第四步：将运算结果“翻译”成实际问题中的结论；第五步：检验与作答.【例6】如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为63m，行车道总宽度BC为211m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证平安，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【变式6-1】某品牌的logo是用一系列1，2，3，5，8，13，⋯⋯为半径的圆截得的，如图所示，右上方是三个半径为8的圆，自上而下依次为圆A，圆B，圆C，已知它们的圆心在斜率为-1的同始终线上，已知圆A与x轴相切于坐标原点O，且圆A的圆心在x轴上方，圆B与y轴相切，且圆心在y轴右侧，圆C与圆B（1）求圆B的方程；（2）求圆A与圆B的公共弦所在直线方程；（3）写出圆C的标准方程（不用写过程）．【变式6-2】如图：为了疼惜河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形疼惜区．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，疼惜区的边界为圆心M（在线段OA上）与BC相切的圆．建立如图所示的直角坐标系，已知新桥BC所在直线的方程为：4x+3y﹣680＝0．（1）求新桥端点B的坐标；（2）当圆形疼惜区的圆心M在古桥OA所在线段上（含端点）运动时，求圆形疼惜区的面积的最小值，并指出此时圆心M的位置．【变式6-3】某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域ABCD，如图，EF是其中轴线，水域正中心有一半径为1百米的圆形岛屿M，小岛上种植有各种花卉．现欲在线段AF上某点P处