浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 223 实际问题与二次函数同步测试 (新版)新人教版

PAGEPAGE1实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积问题[见A本P23]1．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(AA．4cm2B．8cm2C．16cm2D．【解析】设矩形一边长为xcm，则另一边长为(4－x)cm，则S矩形＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(0＜x＜4)，故当x＝2时，S最大值＝4cm2.选A.2．如图22－3－1所示，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)图22－3－1A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大【解析】设AC＝x，则BC＝1－x，所以S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2).因为二次项系数大于0，所以当x＝eq\f(1,2)时，S的值最小，即点C是AB的中点时，两个正方形的面积和最小，故选A.3．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系y＝－(x－12)2＋144(0<x<24)，则该矩形面积的最大值为__144__m2.【解析】直接根据二次函数的性质作答，当x＝12时，y有最大值为144.4．在边长为4m的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是1m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的函数关系式是__y＝－x2＋16(1≤x<4)__，y的最大值是__15__【解析】y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2，即y＝－x2＋16，又1≤x<4，所以当x＝1时，y最大值为15m5．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm2【解析】设剪成的两段长分别为xcm，(20－x)cm，这两个正方形面积之和为y，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20－x,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)(x2＋400－40x＋x2)＝eq\f(1,16)(2x2－40x＋400)＝eq\f(1,8)(x2－20x＋200)＝eq\f(1,8)[(x2－20x＋100)＋100]＝eq\f(1,8)(x－10)2＋12.5，故两个正方形面积之和的最小值为12.5cm2.6．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图22－3－2所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5m、长为18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD＝EF＝BC＝xm．(1)若想使水池的总容积为36m3，(2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？图22－3－2【解析】(1)水池的容积为长×宽×高，而长为xm，则宽为(18－3x)m，高为1.5m，根据总容积为36m3，易列方程求x的值；(2)，(3)根据容积V与x的函数关系解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x，∴AB＝18－3x，∴水池的总容积为1.5x(18－3x)＝36，即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或4，∴x应为2或4.(2)由(1)知V与x的函数关系式为：V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x，x的取值范围是0<x<6.(3)V＝－4.5x2＋27x＝－eq\f(9,2)(x－3)2＋eq\f(81,2)，∴当x＝3时，V有最大值40.5，∴若使水池的总容积最大，x应为3，最大容积为40.5m37．如图22－3－3，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．图22－3－3解：(1)∵S△PBQ＝eq\f(1,2)PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，∴y＝eq\f(1,2)(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0<x≤4)．(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(81,4).∵当0<x≤eq\f(9,2)时，y随x的增大而增大，而0<x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20cm2.8如图22－3－4，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x(cm)．(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值．图22－3－4解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝eq\r(2)x，EF＝eq\r(2)a＝2x，∵AE＋EF＋BF＝AB，∴x＋2x＋x＝24，∴x＝6，∴a＝6eq\r(2)，∴V＝a3＝(6eq\r(2))3＝432eq\r(2)(cm3)．(2)设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(24－2x,\r(2))＝12eq\r(2)－eq\r(2)x，∴S＝4ah＋a2＝4eq\r(2)x·eq\r(2)(12－x)＋(eq\r(2)x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384.∵0<x<12，∴当x＝8时，S取得最大值384cm29．已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．解：(1)依题意得：y＝eq\f(1,2)x(20－x)＝－eq\f(1,2)x2＋10x(0<x<20)，解方程48＝－eq\f(1,2)x2＋10x得：x1＝12，x2＝8.∴当△ABC面积为48时BC的长为12或8.(2)由(1)得：y＝－eq\f(1,2)x2＋10x＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，∴当x＝10即BC＝10时，△ABC的面积最大，最大面积是50.(3)△ABC的周长存在最小的情形，理由如下：由(2)可知△ABC的面积最大时，BC＝10，BC边上的高也为10，过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，则由对称性得：A′B′＝A′B，AB′＝AB，∴A′B＋A′C＝A′B′＋A′C＝B′C，当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：L＝AB＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC>B′C＋BC，当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时L＝AB＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B′C＋BC，因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；这时由作图可知：BB′＝20，∴B′C＝eq\r(202＋102)＝10eq\r(5)，∴L＝10eq\r(5)＋10，因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10eq\r(5)＋10.10．用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图22－3－5中的一种)．设竖档AB＝x米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？图22－3－5解：(1)当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC＝eq\f(12－3x,3)＝4－x，∴矩形框架ABCD的面积为AB·BC＝x(4－x)．令x(4－x)＝3，解得x＝1或3，∴当x＝1或3时，矩形框架ABCD的面积为3平方米．(2)当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC＝eq\f(12－4x,3)，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·eq\f(12－4x,3)＝－eq\f(4,3)x2＋4x，当x＝－eq\f(4,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))＝eq\f(3,2)时，S最大值＝3，∴当x＝eq\f(3,2)时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米．(3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC＝eq\f(a－nx,3)，∴矩形框架ABCD的面积S＝x·eq\f(a－nx,3)＝－eq\f(n,3)x2＋eq\f(a,3)x，当x＝－eq\f(\f(a,3),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(n,3))))＝eq\f(a,2n)时，S最大值＝eq\f(a2,12n)，∴当x＝eq\f(a,2n)时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为eq\f(a2,12n)平方米．

第2课时二次函数与最大利润问题[见B本P24]1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－eq\f(5,2)t2＋20t＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)A．3sB．4sC．5sD．6s【解析】当t＝－eq\f(b,2a)时，即t＝－eq\f(20,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2))))＝4(s)时，礼炮升到最高点，故选B.2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高(C)A．8元或12元B．8元C．12元D．10元【解析】设每床每晚应提高x元，则减少出租床eq\f(x,4)·10张，所获利润y＝(20＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x,4)·10))，即y＝－eq\f(5,2)x2＋50x＋2000＝－eq\f(5,2)(x－10)2＋2250.由x是4的正整数倍和抛物线y＝－eq\f(5,2)(x－10)2＋2250关于x＝10对称可知，当x＝8或x＝12时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选C.3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．【解析】依题意得y＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16，当x＝4时，y取得最大值．4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__5元__．【解析】设降价x元，所获利润为y元，则有y＝(100－70－x)(20＋x)＝－x2＋10x＋600＝－(x－5)2＋625.当x＝5时，y值最大，故应降价5元．5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利为y元，那么：(1)y关于x的二次函数关系式为__y＝－2x2＋260x－6__500(30≤x≤70)__；(2)当销售单价定为__65__元时，日均获利最大，日均获利最大为__1__950__元．【解析】(1)当销售单价为x元时，实际降价了(70－x)元，日均销售量为[60＋2(70－x)]千克，日均获利为[60＋2(70－x)]x－30[60＋2(70－x)]－500＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500，所以y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500＝－2x2＋260x－6500(30≤x≤70)．(2)因为y＝－2x2＋260x－6500＝－2(x－65)2＋1950，所以当销售单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1950元．6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：(1)依题意有y＝(60＋x－50)(200－10x)(0<x≤12且x为整数)，即y＝－10x2＋100x＋2000(0<x≤12且x为整数)．(2)y＝－10x2＋100x＋2000＝－10(x2－10x)＋2000＝－10(x－5)2＋2250，∴当x＝5时，y有最大值2250，即当每件商品的售价定为65元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元．7．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？解：(1)设y与x满足的函数关系式为：y＝kx＋b.由题意可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(36＝24k＋b,21＝29k＋b.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3,b＝108.))故y与x的函数关系式为：y＝－3x＋108.(2)每天获得的利润为：P＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2160＝－3(x－28)2＋192.故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．8．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？解：(1)1400－50x；(2)y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000，当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000，∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5000元．(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y＝0，即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2＝4，但x2＝24不合题意，舍去，∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．9．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图22－3－6所示的关系：图22－3－6(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(130k＋b＝50,150k＋b＝30))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝180))∴函数关系式为y＝－x＋180.(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600，当售价定为140元时，W最大＝1600.∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．10．[2013·盐城]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图22－3－7所示的一次函数关系．图22－3－7①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得：80(a＋2)＝88解之得：a＝20答：现在实际购进这种水果每千克20元．(2)①∵y是x的一次函数，设函数关系式为y＝kx＋b将(25，165)，(35，55)分别代入y＝kx＋b，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25k＋b＝165,35k＋b＝55))解得：k＝－11，b＝440∴y＝－11x＋440②设最大利润为W元，则W＝(x－20)(－11x＋440)＝－11(x－30)2＋1100∴当x＝30时，W最大值＝1100答：将这种水果的单价定为每千克30元时，能获得最大利润1100元．

第3课时二次函数与抛物线形问题[见A本P25]1．如图22－3－8，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需(D)图22－3－8A．30sB．38sC．40sD．36s2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图22－3－9，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(A)A．4米B．3米C．2米【解析】y＝－(x2－4x＋4)＋4＝－(x－2)2＋4，水喷出的最大高度是4米．图22－3－9图22－3－103．如图22－3－10所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式为y＝－eq\f(1,4)x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥顶的高度h是(D)A．3mB．2eq\r(6)mC．4eq\r(3)mD．9m【解析】可根据点B的横坐标，求出纵坐标．根据图形知点B的横坐标为6，当x＝6时，y＝－9，∴h＝|－9|＝9，故选D.4．图22－3－11(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m，如图22－3－11(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(C图22－3－11A．y＝－2x2B．y＝2x2C．y＝－eq\f(1,2)x2D．y＝eq\f(1,2)x2【解析】设抛物物的解析式为y＝ax2，则把(2，－2)代入得－2＝4a，∴a＝－eq\f(1,2)，故选C.5．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为eq\f(1,2)米，在如图22－3－12所示的坐标系中，图22－3－12这个喷泉的函数关系式是(C)A．y＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3B．y＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3C．y＝－12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3D．y＝－12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3【解析】∵喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为eq\f(1,2)米，∴抛物线的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，设抛物线的解析式为y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3，而抛物线还经过点(0，0)，∴0＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3，∴a＝－12，∴抛物线的解析式为y＝－12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3.6．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图22－3－13)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(C)图22－3－13A．50mB．100mC．160mD．200m【解析】以2米长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的总长度．7．[2012·绍兴]教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y＝－eq\f(1,12)(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是__10__m.【解析】令函数式y＝－eq\f(1,12)(x－4)2＋3＝0，即0＝－eq\f(1,12)(x－4)2＋3，解得x1＝10，x2＝－2(舍去)，即铅球推出的距离是10m8．廊桥是我国古老的文化遗产，如图22－3－14是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－eq\f(1,40)x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是__18__米(精确到1米)．图22－3－14【解析】直接根据E、F点的纵坐标为8，得8＝－eq\f(1,40)x2＋10，解得x2＝80，x≈±9，∴E(－9，8)，F(9，8)，故EF的长约为18米．图22－3－159．如图22－3－15是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为__【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设AB与y轴交于点H，∵AB＝36，∴AH＝BH＝18，由题可知：OH＝7，CH＝9，∴OC＝9＋7＝16，设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k，∵顶点C(0，16)，∴抛物线y＝ax2＋16，代入点(18，7)∴7＝18×18a＋16∴7＝324a＋16∴324a＝－9∴a＝－eq\f(1,36)∴抛物线：y＝－eq\f(1,36)x2＋16，当y＝0时，0＝－eq\f(1,36)x2＋16，∴－eq\f(1,36)x2＝－16，∴x2＝16×36＝576∴x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，∴OE＝OD＝24，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48，10．如图22－3－16所示，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，图22－3－16第10题答图【解析】根据题意可建立如图所示的直角坐标系，设绳子对应的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则此抛物线经过点(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2.5，,4a＋2b＋c＝2.5，,\f(1,4)a＋\f(1,2)b＋c＝1，))解得a＝2，b＝－4，c＝2.5，∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5，即抛物线的顶点坐标为(1，0.5)，所以绳子最低点距离地面的距离为0.5m图22－3－1711．如图22－3－17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式．【解析】(1)M在x轴正半轴上，OM＝12，所以M(12，0)，又P为抛物线的最高点，所以P(6，6)；(2)用顶点式求抛物线解析式．解：(1)M(12，0)，P(6，6)；(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋6.∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0，0)，∴0＝a(0－6)2＋6，解得a＝－eq\f(1,6)，∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,6)(x－6)2＋6，即y＝－eq\f(1,6)x2＋2x.12．如图22－3－18，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．图22－3－18(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：