基于单元整合的一元二次方程的解法的教学设计 论文

基于单元整合的一元二次方程的解法教学设计——例谈转化思想在一元二次方程的解法教学中的应用【摘要】转化思想又叫化归思想。将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称。转化思想是初中数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。【关键词】转化一元二次方程解法教学转化思想又叫化归思想。将一个问题由难化易，由繁化简，由复杂化简单的过程称为化归，它是转化和归结的简称。转化思想是初中数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。在教育部制定的《义务教育数学课程标准》（2011版）中对于一元二次方程的解法的考查要求为C级掌握，要求能够系统地掌握知识的内在联系和本质规律，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。《课标》在“实施建议”中指出:“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，学生要在积极参与教学活动的过程中感悟数学思想。”苏科版教材在九上开篇《致同学》中提出：“一元二次方程”是又一个刻画现实世界数量关系的数学模型，你将在学习一元二次方程各种解法的过程中，进一步体会转化的思想，“授人以鱼，不如授人以渔”，在数学教学中，要重视数学思想方法的渗透。数学思想方法是解决具体问题时所采用的方式、途径、手段，它是学习数学知识、运用数学知识解决新问题的具体行为。一元二次方程的解法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法等。本文以现行使用的苏科版九上教材《1.2一元二次方程的解法》为例，就转化思想在一元二次方程的解法教学中的应用谈几点体会。【知识背景】如果x2＝a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a例1解方程x2＝2解：根据平方根的意义，x是2的平方根，即x＝±2∴此一元二次方程的根为x1＝2，x2＝−2【转化思想归纳】利用平方根的知识解决问题，把解形如x2＝a(a≥0)方程转化为利用平方根的知识解决问题，这样一元二次方程x2＝2就转化为两个一元一次方程。例2解下列方程（1）x2－4＝0；(2)4x2－1＝0【转化思想归纳】本例是苏科版九上1.2一元二次方程的解法第一课时的例1，题（1）只需将把常数项移到方程右边便可以将其转化为x2＝a(a≥0)这类方程；题（2）需将把常数项移到方程右边，两边都除以4，便可以将其转化为x2＝a(a≥0)这类方程；例3解方程：（x＋1）2＝2（苏科版教材P10例2）解：∵x＋1是2的平方根，∴x＋1＝±∴x1＝－1＋2，x2＝－1—2【转化思想归纳】只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以转化成为例1，运用直接开平方法求解。【变式练习】（1）（x＋3）2＝5（2）（x－1）2－4=0（3）12（3－2x）2－3=0【转化思想归纳】以上三题，只要能够通过移项，系数化为1，把括号内看成是一个整体就可以将其转化为例3，运用直接开平方法求解。归纳总结直接开平方法：这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。例4解方程x2＋6x＋4＝0（苏科版教材P10思考与探索）解：移项，得x2＋6x＝—4配方，得x2＋2·x·3+9=—4+9整理，得（x＋3）2＝5∴x1＝5－3，x2＝—5－3【转化思想归纳】本题教学是二次项系数为1的配方法，学生通过前面的练习已经能够把（x＋3）看成是一个整体，通过直接开平方法熟练掌握（x＋3）2＝5的解法.例4的教学需让学生通过移项，配方等步骤最终转化为（x＋3）2＝5解决.归纳总结配方法：把一个一元二次方程转化变形为（x＋h）2＝k（h、k为常数）的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例5解方程2x解：两边都除以2，得x移项，得x配方，得x2＋2·x·3+9=—4+9整理，得（x＋3）2＝5∴x＋3=5或x＋3=—5∴x1＝5－3，x2＝—5－3【转化思想归纳】本题教学是二次项系数不为1的配方法解一元二次方程，在教学中要让学生理解在方程两边都除以2，将二次项的系数转化为1，即通过转化将本题变形为已经掌握的例4：x2＋6x＋4＝0求解，体现将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的和已经解决的转化的原则。例6如何解一般形式的一元二次方程解：因为a≠0，所以方程两边都除以a，得x配方，得x2即x+b∵a≠0，∴4a2＞0．当b2x+∴x【转化思想归纳】由于学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验，教学中可引导学生解含有字母系数的一元二次方程转化为例5来解决.求根公式的推导过程，这个教学环节要求较高，需在教师的引导下进行.归纳总结公式法：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，如果b2－4ac≥【知识背景】有理数的乘法法则0与任何数相乘都得0.如果ab=0,那么a=0或者b=0.例7如何解方程x2－x＝0．（苏科版九上P17尝试与交流）解：将方程的左边分解因式，得x(x－1)＝0，此时x和x－1两个因式中必有一个为0，即x＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝1．【转化思想归纳】本题是通过因式分解法将方程左边转化为两个因式的积为0.形如ab=0,那么a=0或者b=0，转化为解x＝0或x－1＝0的一元一次方程.例8解下列方程：（1）x2＝4x；（2）（x＋2）2＝4（x＋2）．解：（1）略（2）原方程可变形为（x＋2）2－4(x＋2)＝0，(x＋2)(x－2)＝0．x＋2＝0或x－2＝0．∴x1＝－2，x2＝2．【转化思想】(苏科版九上P18例8)，本题（1）需将方程移项后，即可转化为例7.题（2）把（x＋2）看作一个整体，用提公因式法将其一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，即形如ab=0,那么a=0或者b=0。归纳总结因式分解法：当一个一元二次方程的一边为0时，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。【变式训练】1.阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程x2解：（1）当x－1≥0即x≥1时，x−1=原方程化为x2即x2−x=0．解得x1＝0，x2＝1．∵x≥1，故x＝0舍去，x＝当x－1＜0即x＜1时，x−1=原方程化为x2即x2+x−2=0．解得x1＝x2＝－2．∵x＜1，故x＝1舍去，x＝－2是原方程的解．综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝－2．解方程：x2【转化思想归纳】本题考查数学转化思想在解一元二次方程中的应用.当学生面对一个新的或陌生的问题时，要通过转化的思想将新的或陌生的转为已会或熟悉的问题，从而达到解决问题的策略，解法略.2.阅读下面的材料，回答问题：解方程x4-5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2-5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到将次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2-4（x2+x）-12=0．【转化思想归纳】本题运用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用已有的解一元二次方程的方法解方程，使问题简单化，体现了化繁为简，化未知为已知的转化思想，解法略.事实上一元二次方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．例如，无理方程（根号下含有未知数的方程）2x+3=x，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=-1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=-1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3一元三次方程x3＋x2—2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2＋x-2）=0，解一元一次方程x=0和一元二次方程x2+x-2=0，可得x1=0，x2=-2，x3=1.总之，“转化”既是一种重要是数学思想，也是一种有效的数学方法。数学的思想和方法是数学的精髓，它支撑和统帅着数学知识.在强调数学思想方法重要性的时候，日本数学家米山国藏认为:在学校学的数学知识,毕业后若没什么机会去用,一两年后,很快就忘掉了.然而,不管他们从事什么工作,唯有深深铭刻在心中的数学思想却随时随地发生作用,使他们终生受益。前苏联数学家亚诺夫斯卡娅说：“解题----就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的