暑假新高一985培优讲义：第09讲 匀变速直线运动特殊规律及推论（解析版）

第09讲匀变速直线运动特殊规律及推论1.熟练掌握匀变速直线运动的基本公式的应用。2.熟练掌握匀变速直线运动的三个推论的应用。3.熟练掌握初速度为零的匀加速直线运动的比例式的应用。匀变速直线运动的平均速度和中间时刻瞬时速度1.公式：2.推导：(1)(2)3.注意：（1）适合于任何运动；（2）只适合于匀变速直线运动。二、逐差法1.公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2即任意两个连续相等时间间隔T内的位移之差是一个常量，称为逐差公式。2.推导：时间T内的位移x1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2①；在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋eq\f(1,2)a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT23.应用：①判断物体是否做匀变速直线运动；②求加速度。三、中间位置的瞬时速度1.位移中点的速度公式：在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和v，加速度为a，位移中点的速度为veq\f(x,2)，则veq\f(x,2)＝eq\r(\f(veq\o\al(2,0)＋v2,2))。2.公式的推导：据速度与位移关系式，对前一半位移有veq\f(x,2)2－veq\o\al(2,0)＝2a·eq\f(x,2)，对后一半位移有v2－veq\f(x,2)2＝2a·eq\f(x,2)，即veq\f(x,2)2－veq\o\al(2,0)＝v2－veq\f(x,2)2，所以veq\f(x,2)＝eq\r(\f(veq\o\al(2,0)＋v2,2))。四、初速度为零的匀加速直线运动的比例关系1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)①1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比：由v＝at可得v1∶v2∶v3…＝1∶2∶3…②1T内、2T内、3T内…位移之比：由x＝eq\f(1,2)at2可得x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…③第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比：由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2…可得xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…＝1∶3∶5…2.初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x0)①通过x0、2x0、3x0…所用时间之比：由x＝eq\f(1,2)at2可得t＝eq\r(\f(2x0,a))，所以t1∶t2∶t3…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)…②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0…所用时间之比：由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2…可得tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))…③x0末、2x0末、3x0末…的瞬时速度之比：由v2＝2ax，可得v＝eq\r(2ax)，所以v1∶v2∶v3…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)…3.注意：(1)比例式解题适用于初速度为零的匀加速直线运动。(2)对末速度为零的匀减速直线运动，可逆向分析应用比例关系解答。考点一：匀变速直线运动的平均速度和中间时刻瞬时速度【例1】2022年9月27日，“鲲龙”AG600M灭火机以全新消防涂装在湖北荆门漳河机场成功完成12吨投汲水试验。试验时“鲲龙”AG600M灭火机在水平面上汲水过程中做初速度为的匀加速直线运动。若它在前10s通过的位移为200m，在前15s内通过的位移为375m，则“鲲龙”AG600M灭火机的加速度为（

）A．1 B．2 C．4 D．4.5【答案】B【详解】由中间时刻的速度等于平均速度得，当时的速度为当时的速度为则加速度为故选B。考点二：逐差法【例2】小球从靠近竖直砖墙的某位置由静止释放，用频闪方法拍摄的小球位置如图中1、2、3和4所示。已知连续两次闪光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d。下列关于小球的说法错误的是（

）A．下落过程中的加速度大小约为B．经过位置3时的瞬时速度大小约为2gTC．经过位置4时的瞬时速度大小约为D．从位置1到4过程中的平均速度大小约为【答案】C【详解】A．由图知任相邻相等时间间隔内位移的差值都为d，根据匀变速直线运动的推论可得，下落过程中的加速度为故A错误；B．小球从靠近竖直砖墙的某位置由静止释放，做自由落体运动，有图像位置关系可知，位置1不是初速度为零的起始时刻，故经过位置3时的瞬时速度不等于2gT，B错误；C．根据匀变速直线运动的推论，经过位置3的瞬时速度等于从位置2到4过程的平均速度，则有根据速度公式得，通过位置4的瞬时速度故C正确；D．从位置1到4过程中的平均速度大小故D错误。故选C。考点三：中间位置的瞬时速度【例3】做匀加速直线运动的物体，通过A、B两点的速度分别为v和3v，则该物体（

）A．通过A、B中点时的速度为B．通过A、B中点时的速度为2vC．由A到B运动一半时间时的速度为vD．由A到B运动一半时间时的速度为2v【答案】AD【详解】AB．根据，解得故A正确，B错误；CD．根据匀变速直线运动推论，中间时刻速度等于速度的平均值，则由A到B运动一半时间时的速度为2v，故C错误，D正确。故选AD。考点四：初速度为零的匀加速直线运动的比例关系【例4】如图所示是商场中的无轨小火车，已知小火车由若干节相同的车厢组成，车厢间的空隙不计，现有一小朋友站在地面上保持静止，且与第一节车厢头部对齐，火车从静止开始启动做匀加速直线运动，下列说法正确的是（  ）A．第1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是B．第1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比是C．第1、2、3节车厢尾经过小朋友的时间之比是D．第1、2、3节车厢尾经过小朋友瞬间的速度之比是1:2:3【答案】C【详解】AB．由匀加速直线运动经过相等位移的时间关系可得，第1、2、3节车厢经过小朋友的时间之比为，故AB错误；C．由匀加速直线运动经过相等位移的时间关系可得，第1、2、3节车厢尾经过小朋友的时间之比为，故C正确；D．由可得，第1、2、3节车厢尾经过小朋友瞬间的速度之比为故D错误。故选C。1．北京时间2022年11月20日晩上23：00时，第22届世界杯在卡塔尔正式开幕，图为一个足球被踢出后每隔0.1s拍下的频闪照片，，，，，由此可以判定（）A．足球做匀变速直线运动B．足球的加速度大小为C．足球的初速度大小D．整个过程中足球的平均速度大小为8m/s【答案】A【详解】A．连续相等时间内的位移差为所以足球做匀变速直线运动，故A正确；B．由，可得足球的加速度大小为故B错误；C．图中第二个球的速度则球的初速故C错误；D．整个过程中足球的平均速度大小为故D错误。故选A。2．汽车在制动的内，每前进的距离分别是、、、、；关于平均速度和瞬时速度，下列说法中正确的是（）A．第末瞬时速度一定为0B．前的平均速度大小一定为C．汽车刚制动时瞬时速度大小一定为D．汽车前内平均速度比前内平均速度更接近刚制动时的瞬时速度【答案】B【详解】A．匀变速直线运动中相邻相等时间段内位移差为定值，则有代入，可得加速度大小若第末瞬时速度为0，则最后5s运动的距离与题给数据不符合，故第末瞬时速度一定不为0，故A错误；B．前的平均速度故B正确；C．前的平均速度即为第1s末的瞬时速度，则汽车刚制动时瞬时速度大小故C错误；D．汽车前内平均速度等于第2s末瞬时速度，前内平均速度等于第0.5s末瞬时速度，故前内平均速度更接近刚制动时的瞬时速度，故D错误。故选B。3．滑雪者以某一初速度从斜面底端冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为0，已知滑雪者通过斜面中点时的速度为，则下列说法正确的是（）A．滑雪者的初速度为B．滑雪者在整个斜面上运动的平均速度为C．前一半位移和后一半位移所需时间之比为D．斜面长度为【答案】B【详解】A．设滑雪者在斜面上的加速度大小为，斜面的长度为，滑雪者的初速度为，滑雪者通过斜面中点时的速度为，则有；解得，A错误；B．滑雪者在斜面上做匀变速运动，则平均速度为，B正确；C．前一半位移和后一半位移所需时间分别、，则有；则，C错误；D．斜面的位移为滑雪者的加速度、运动时间未知，则无法计算斜面的长度，D错误。故选B。4．2022年6月5日，搭载“神舟十四号”载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。假设发射的火箭某段时间内由地面竖直向上运动，该段时间内其v—t图像可简化为如图所示，由图像可知（

）A．t2时刻火箭离地面最远B．在0~t2时间内火箭上升，t2~t3时间内火箭下落C．t1~t2时间内火箭的加速度大于t2~t3时间内火箭的加速度D．t1~t2时间内火箭的平均速度大于t2~t3时间内火箭的平均速度【答案】D【详解】A．由v—t图可知，面积代表物体的位移，所以t3时刻，火箭位移最大，离地面最远，A错误；B．0~t2时间内，火箭加速上升，t2~t3时间内，火箭减速上升，B错误；C．v—t图中，斜率的绝对值为物体的加速度大小，所以t2~t3时间内的加速度大于t1~t2时间内的加速度，C错误；D．火箭在t1~t2时间内做匀加速运动，平均速度同理，t2~t3时间内，做匀减速运动，平均速度所以，D正确。故选D。5．一辆汽车做匀加速直线运动，从A到B用时为，位移为；从B到C用时为，运动的位移为，若D点是汽车从B运动到C过程的中间时刻的位置（图中未标出），则汽车从B点运动到D点的位移为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设AB段中间时刻的速度为，则，BC段中间时刻D点的速度根据加速度的定义式可得联立解得由逆向思维，则D到B的逆过程有联立解得故C正确。故选C。6．汽车在平直的公路上沿直线做匀速运动。时刻，由于前方出现事故，司机踩下刹车踏板，车辆立即开始做匀减速直线运动，时刻汽车停止，汽车的图像如图所示。下列说法正确的是（）A．汽车刹车时的加速度大小为B．C．时间内，汽车速度的大小为D．时间内，汽车平均速度的大小为【答案】D【详解】AC．根据题意，由图可知，时间内，汽车做匀速直线运动，则汽车刹车前的初速度与时间内速度的大小均为汽车刹车时的加速度大小故AC错误；BD．根据题意，由运动学公式可得，时间内，汽车的位移大小则有则内，汽车平均速度的大小为故B错误，D正确。故选D。7．汽车刹车后做匀减速直线运动，直到停下来。汽车在刹车后的运动过程中，前一半位移和后一半位移的平均速度为和，前一半时间和后一半时间内的平均速度为和，则下面说法正确的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】设汽车的初速度为v，根据中间位移的瞬时速度公式可知汽车刹车中间位移的瞬时速度为根据平均速度公式可知前一半位移的平均速度为后一半位移的平均速度为则有根据中间时刻瞬时速度公式可知汽车在刹车中间时刻的瞬时速度为根据平均速度公式可知，前一半时间的平均速度为后一半时间内的平均速度为则有故A正确，B、C、D错误。故选A。8．一质点做匀加速直线运动，通过一段位移所用时间为t1，紧接着通过下一段位移所用的时间为t2，则有关下列说法正确的是（）A．t1时间内中间位置的速度为B．t2时间内中间时刻的速度为C．t1和t2的关系为：D．该质点运动的加速度为【答案】B【详解】A．质点通过第一段位移所用时间为，则时间内质点的平均速度为，即时间内中间时刻的速度为，A错误；B．质点通过第二段位移所用时间为，时间内质点的平均速度为根据推论可知，时间内时间中点的速度等于时间内质点的平均速度，即为，B正确；C．只有当质点通过第一段位移的初速度为零时，才有而题目中此初速度情况未知，所以和的关系不一定为，C错误；D．设该质点运动的加速度为a，时间内质点的平均速度为，则时间内时间中点的速度为，则有，D错误。故选B。1．图中ae为珠港澳大桥上四段110m的等跨钢箱连续桥梁，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则（）

A．汽车通过bc段的时间为B．汽车通过b点的速度等于汽车通过ad段的平均速度C．汽车通过ce段的时间为D．汽车通过c点的速度小于汽车通过ae段的平均速度【答案】C【详解】A．根据初速度为零的匀变速直线运动的比例关系，可知汽车通过ab、bc、cd、de段所用的时间之比为可得通过bc段的时间为，故A错误；B．汽车通过ae段的时间为2t，b点为ae段的中间时刻，故通过b点的速度等于ae段的平均速度，故B错误；C．汽车通过cd段的时间为，通过de段的时间为，通过ce段的时间为，故C正确；D．匀变速直线运动中点位置的速度大于此阶段的平均速度，故D错误。故选Ｃ。2．厦门规划到2035年建成12条地铁线路，越来越多的市民选择地铁作为出行的交通工具。如图所示，时，列车由静止开始做匀加速直线运动，第一节车厢的前端恰好与站台边感应门的一根立柱对齐。时，第一节车厢末端恰好通过这根立柱所在位置，全部车厢通过立柱所用时间。设各节车用长度相等，不计车厢间距离。则（）A．该列车共有10节车厢B．第2个内有4节车厢通过这根立柱C．最后一节车厢近过这根立柱的时间为D．第4节车厢通过这根立柱的末速度小于整列车通过立柱的平均速度【答案】C【详解】A．设每节车厢长度为x，根据运动学公式，得该列车共有9节车厢，A错误；B．根据初速度为零的匀加速运动，连续相等时间内位移的比例关系，可知第2个内有3节车厢通过这根立柱，B错误；C．根据初速度为零的匀加速运动，连续相等位移内时间的比例关系，最后一节车厢过这根立柱的时间为，C正确；D．第4节车厢通过这根立柱时，运动时间大于总时间的一半，则此时的速度大于中间时刻速度，即大于整列车通过立柱的平均速度，D错误。故选C。3．一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有（）A．经过AB位移中点的速度大小为v5B．经过AB时间中点的速度大小为C．若为匀减速直线运动，则D．在匀变速直线运动中一定有【答案】BD【详解】在匀变速直线运动中，位移中点速度时间中点速度全程的平均速度不论匀加速直线还是匀减速直线运动都有，若物体做匀加速直线运动，则，若物体做匀减速直线运动，则。故选BD。4．小球在光滑斜面上，从点静止开始下滑，通过、、各段所用时间均为。则（）A．与位移差等于与位移差B．通过、段的位移之比为C．通过、点的速度之比可能为D．通过点的瞬时速度等于通过段的平均速度【答案】ABD【详解】A．由匀变速直线运动关系可得，连续相等的时间间隔内位移差都相等，设加速度大小为，所以，A正确；B．通过、段的位移之比为，B正确；C．由运动学公式，通过、点的速度之比为，C错误；D．由运动学知识可得，中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，因为点是段的中间时刻，通过点的瞬时速度等于通过段的平均速度，D正确。故选ABD。5．物体做匀加速直线运动，速度由5m/s增大到10m/s过程发生的位移为l，则（）A．位移达到l时的瞬时速度为7.5m/sB．位移达到l时的瞬时速度为m/sC．当速度继续由10m/s增大到15m/s过程中，物体发生的位移是3lD．当速度继续由10m/s增大到15m/s过程中，物体发生的位移是【答案】BD【详解】AB．位移达到l时的瞬时速度为，A错误，B正确；CD．根据得；解得，C错误，D正确。故选BD。6．几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！某次实验中，子弹恰好能穿出第四个水球，实验中将完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向视为做匀变速直线运动，则（）A．由题目信息可以求得子弹穿过每个水球的时间之比B．子弹在每个水球中运动的平均速度相同C．子弹在每个水球中速度变化量相同D．子弹依次进入四个水球的初速度之比为【答案】AD【详解】AD．将子弹的运动过程反向来看，即看成从左到右做初速度为零的匀加速运动，根据初速度为零的匀加速运动在连续相等的位移所用时间之比为…可知，子弹从右到左穿过每个水球的时间之比为；根据速度位移公式有，设每个水袋中的位移大小为，可得子弹从左到右每次射出水袋的速度之比为即子弹从右到左减速时依次进入四个水球的初速度之比为，AD正确；B．根据前面分析子弹在每个水球中运动的时间不同，位移大小相同，所以平均速度不同，B错误；C．根据公式子弹在每个水球中运动的时间不同，加速度大小相同，所以速度变化量不同，C错误。故选AD。7．在子弹穿透力对比的测试中，实验者可以通过子弹射穿苹果的个数来比较不同手枪子弹的穿透力，其中左轮手枪的子弹穿透了36只被紧挨排列固定在一起的苹果后速度恰好减为0，子弹穿透36