广东省深圳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷类型：A2023年深圳市普通高中高二年级调研考试数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（）A.B.C.D.3.已知，则（）A.B.C.D.4.已知，若，则（）A.1B.-1C.4D.-45.白酒又名烧酒､白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（）A.B.C.D.6.若正实数满足，则下列不等式恒成立的为（）A.B.C.D.7.已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（）A.B.C.D.8.已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（）A.2B.4C.6D.8二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：则下列结论正确的为（）A.平均数为48B.极差为9C.中位数为47D.第75百分位数为5110.已知函数的图像关于直线对称，则（）A.B.在区间单调递减C.在区间恰有一个极大值点D.在区间有两个零点11.已知抛物线的焦点为，淮线为，过的一条直线与交于，两点，若点在上运动，则（）A.当时，B.当时，C.当时，三点的纵坐标成等差数列D.当时，12.在四面体中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为，则（）A.当时，B.当时，四面体的外接球的表面积为C.的取值范围为D.四面体体积的最大值为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中常数项为__________（用数字作答）.14.记为等比数列的前项和，若，则__________.15.已知定义在上的函数，满足，当时，，若方程在区间内有实数解，则实数的取值范围为__________.16.已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为__________；如果直线与相交于点，则的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列满足.（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（12分）记的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，且，求的面积.19.（12分）如图，已知三棱锥的三个顶点在圆上，为圆的直径，是边长为2的正三角形，且平面平面.（1）证明：平面平面；（2）若，点为的中点，点为圆上一点，且与位于直径的两侧，当平面时，求平面与平面的夹角的余弦值.20.（12分）甲参加某多轮趣味游戏，在两个不透明的盒内摸球.规定在一轮游戏中甲先在盒内随机取出1个小球放入盒，再在盒内陏机取出2个小球.若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如下表（小球除颜色外大小质地完全相同）：红球蓝球白球盒221盒221（1）求在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球的概率；（2）已知每轮游戏的得分规则为：若从盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分.（i）记甲在一轮游戏中的得分为，求的分布列；（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为，求.21.（12分）已知.（1）当时，讨论的单调性；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.22.（12分）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.（1）求的方程；（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.2023年深圳市高二年级下学期期末调研考试数学试题参考答案及评分标准2023.7本试卷22小题，满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCACDBAD8.解：设点，过点的直线与曲线相切于点，的方程为，，化简得，设，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，满足条件的恰有三个，，即，则点的轨迹长度为8.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案BCACACDABD11.解：（1）考查选项：由抛物线定义可知，若，则，故选项正确；（2）考查选项：当时，为正三角形，直线的倾斜角为，设直线的方程为，由可得，，故选项B错误；（3）考查选项：过点作直线垂直于，垂足分别为，由（2）可知，作的中点，由定义可知为的中点，三点的纵坐标成等差数列，故选项正确；（4）考查选项：设，直线的斜率为，直线的斜率为，则，由（2）可知，由（3）可知，又，且，由基本不等式可得，故选项D正确.12.解：（1）考查选项：当时，易知与为等腰三角形，作中点，平面，故选项正确；（2）考查选项：当时，易知四面体的所有对棱相等，可将四面体补为长方体，其中四面体的各条棱为该长方体各面的对角线，四面体的外接球即为该长方体的外接球，设该长方体的三条棱的长度分别为，则，将三式相加可得外接球的半径为，四面体的外接球的表面积为，故选项B正确；（3）考查选项C：此时有两种情况，当时，作的中点，则在中由三角形性质可得；当时，作的中点，则在中由三角形性质可知，故选项错误；（4）考查选项D：当时，若四面体的体积最大时，则底面上的高为1，即平面，此时四面体体积的最大值为，当时，由（3）可知此时，则的面积为，四面体的体积为，，设，由单调性可知当时，的最大值为四面体体积的最大值为，又四面体体积的最大值为，故选项D正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1514.3115.16.，.16.解：设为中点，则点的轨迹方程为，，则最大值为，且过定点过定点，点的轨迹为，，，的最小值为.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.解：（1）证明：，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，则.（2），，.18.解：（1）由正弦定理及条件，得，又，，，.（2）记的面积为，由余弦定理，及，可得，将代入上式，得，故，.19.证明：（1）作的中点为等边三角形，，平面平面，平面平面平面，平面，为圆的直径，，又平面，平面平面平面.（2）（法一）由三角形中位线的性质可知，又平面平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面，由题可知，取中点连接，则平面平面，由（1）可知平面，如图1建立空间直角坐标系，，，设平面的一个法向量，则令，则，由（1）可知平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，平面与平面的夹角的余弦值为.（法二）由，取中点连接，则，平面平面，由（1）可知平面，如图1建立空间直角坐标系，，令，而平面的一个法向量，在平面内，圆的方程为，且平面，，则，，设平面的一个法向量，则令，则，由（1）知平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，平面与平面的夹角的余弦值为.（法三）如图2，由三角形中位线的性质可知，又平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，由题可知，取中点连接，则平面平面，由（1）可知平面，连接，过点作，为的中点，且平面，平面，过点作，垂足为，连接，平面，则为平面与平面的夹角，在中，，由勾股定理可得，平面与平面的夹角的余弦值为.20.解：（1）记“在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球”为事件，由条件概率可知，在一轮游戏中甲从两盒内取出的小球均为白球的概率为.（2）（i）由题可知可以取，，，，随机变量的分布列为135（ii）由（i）可知，每轮游戏的结果相互独立，且甲共参加了5轮游戏，.21.解：（1），当时，由，解得，由，解得，当时，由，解得，由，解得，当时，的单调增区间为，单调减区间为，当时，的单调增区间为，单调减区间为.（2）由，得，……①（法一）令，则，当时，不满足条件，不成立，当时，令，当时，，，使得，即，当时，，当时，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，取得最小值，由，取对数得，则，要使不等式①恒成立，需，解得，实数的取值范围是.（法二）由（1）解得，令，则，令在区间上单调递减，，，使得，即，且当时，，当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取得最大值，由，得，则，实数的取值范围是.（方法三）先证明不等式（等号在时取得）成立，设，则，当时，时，，，即不等式成立，则，根据法二的证明，（评分标准参照法二）