初中数学,二次根式

初中数学,二次根式

篇一：初中数学二次根式讲义

二次根式

一、知识要点概述

1、二次根式：式子叫做二次根式.

2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最

简二次根式.

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式.

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后,

如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

4、二次根式的主要性质

5、二次根式的运算

(1)因式的外移和内移

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用

它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形

式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号

外.反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去.

(2)有理化因式与分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根

式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化

去，叫做分母有理化.

（3）二次根式的加减法：

先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.

（4）二次根式的乘除法

二次根式相乘（除）,将被开方数相乘（除）所得的积（商）仍作

积（商）的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式.

（5）有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、

乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二

次根式的运算.

二、典例剖析

分析:因一个等式中含有两个未知量,初看似乎条件不足,

仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入

手.

例3、已知xy>0,化简二次根式

A.B.-C.的正确结果是（）D.-

分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既

可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内.

说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立

的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由

根号内（外）移到根号（外）内时必须考虑字母因式隐含的符号.

例6、已知，求a+b+c的值.

分析：已知条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,

一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度

试一试.

点评：应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方

法之一，|a|,a2n,是三种重要的非负数表现形式.判断一

个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全

平方式，如：

在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配

方法，如化简

篇二：初中数学二次根式练习题

二次根式练习题

一班姓名分数

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.若3?m为二次根式，则m的取值为()A.m<3B.m

<3C.m>3D.m>3

2.下列式子中二次根式的个数有()

1(1)3；(2)?3；⑶?x2?l；(4)8(?1；(5)

3)2

；(6)?x(x?l)；⑺x2?2x?3.A.2个B.3个C.4个D.5

个

a?2

3.当a?2有意义时，a的取值范围是（）A.a>2B.a

>2C.a,2D.a^-2

4.下列计算正确的是（）①

（?4）（?9）??4??9?6

;②

?4）（?9）?4?9?6

*

③52?42?5?4?5?4?1；④

52?42?52?42?1；A.1个B.2个C.3个D.4个5.化

简二次根式

（?5）2?3

得（）

A.?53B.53C.?53D.30

6.对于二次根式

x2

?9,以下说法不正确的是（）A.它是一个正数B.是

一个无理数

C.是最简二次根式D.它的最小值是3

3a

7.把ab分母有理化后得（）

bA.4bB.2bC.2D.2b

8.

ax?by的有理化因式是（）

A.x?

y

B.

x?y

C.

ax?by

D.

ax?by

9.下列二次根式中，最简二次根式是（）

1

A.3a2

B.3C.D.

a?ab?

110.计算：b

ab等于（）1

A.ab

2

ab

IB.ababl

C.babD.bab

二、填空题（每小题3分，共分）

11.当x时，？3x是二次根式.

12.当x时,3?4x在实数范围内有意义.13.比

较大小：？32?23.

2b?a

14.a

18b?

；2527242?.15.计算：

35a?2b?.

16b2c

16.计算：

a2=.17.当a=3时，贝!1

15?a2

?.x?2

?x?2

18.若

3?x

3?x成立，则x满足.

三、解答题（46分）

19.（8分）把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

6x2

?5；⑵4a2?7；

(3)16y2?15；(4)3x2?2y2

20.(12分)计算:

(1)?3??16)(?36)

;(2)

2?

1

33?6；

1

35?23?(?1(3)2)

；(4)x?10?ly?z.

21.(12分)计算：

?0.01?81

(1)220；(2)0.257144；

1

23?213?123a5?(b?21)(3)

；(4)2bab.

22.(8分)把下列各式化成最简二次根式:

271327122

?abcc3

⑴527；⑵

22a4b.

20?4

23.(6分)已知：x?

2x2?l,求

x2

的值.

初中数学二次根式拓展提高综合题

一、单选题(共8道，每道12分)1.设a,b,c都是实数，且满

足A.-5B.11C.5D.32.若

，则

的值为()

，则

的值为()

A.B.C.D.

3.化简

A.1B.2C.3D.44.已知

，化简:

结果为()

的值为()

A.aB.bC.2b-aD.a-2b

5.在如图所示的数轴上，点B和点C关于点A对称,A、B

两点对应的实数分别是

和-1,则点C所对应的

实数是OA.C.

B.D.

0

6.比较大小：

A.大于B.小于C.等于D.无法判断7.化简A.C.8.若

A.2013B.2012C.-2013D.-2012

的结果是()B.D.

，则代数式=()

参考答案：一、选择题

1.A；2.C；3.B；4.A；5.B；6.B；7.D；8.C；

9.D；10.A.二、填空题

1314bc

11.<3；12.<4；13.<；14.3,7；15.302ab；16.a；

17.32；18.2<x<3.

三、解答题

19.(D(x?)(x?)；(2)(2a?7)(2a?)；(3)(4y?)(4y?);

(4)(3x?2y)(3x?2y)；20.(D?243；(2)2；⑶?43；(4)10xyz

*

9

33

3c221.(D?

4；(2)20；(3)1；(4)4；22.(1)33；(2)?4a2bc；23.18.

拓展提高综合题答案

一、单选题（共8道，每道12分）

1答案：A

试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性

2答案：D

试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性

3答案：D

试题难度：三颗星知识点：二次根式的双重非负性4答

案：A

试题难度：三颗星知识点：二次根式的化简求值5答

案：C

试题难度：三颗星知识点：数轴表示无理数6答案：

B

试题难度：三颗星知识点：比较大小7答案：A

试题难度：三颗星知识点：完全平方式的应用

8答案：C

试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的运用

篇三：初中数学二次根式测试题

初中数学二次根式测试题

（一）判断题：（每小题1分，共5分）.

1.（3.

2）2=2......（

）2.

?l?x2

是二次根式...........（）

2?122

2?2

=13-12=1.（）4.

a,ab2

，c

la

是同类二次根

式.....（）

5.a?b的有理化因式为a?b..................（）【答案】1.《

2.x；3.x；4.N；5.x.（二）填空题：（每小题2分,

共20分）

6.等式

（x?l）2

=1—x成立的条件是•【答案】XSL

7.当x时，二次根式*0.【答案】28.比

较大小：

2x?3有意义.【提示】二次根式a有意义的条件是什么？

3.2

3—22一.【提示】

?4?2

3?2?0,

2?3?0.【答案】＜.

1111

(3)2?()2等于.【提示】(3)2—()2=?【答案】

23.

2222

12432aa=___________

【答案】10.计算：a.

93911

9.计算：

11.实数a、bb则3a一

(3a?4b)2

【提示】从数轴上看出a、b是什么数？[a<0,b>0.]3a

-4b是正数还是负数？

[3a-4b<0.]【答案】6a-4b.

12.若【提示】

x?8+y?2=0,贝[|x=,y=

x?8和y?2各表示什么？[x-8和y-2的算术平方根，算

术平方根一定非负，]你

能得到什么结论？[x-8=0,y—2=0.]【答案】8,2.

5的有理化因式是.

【提示】(3-2)(3+2)=—11.【答案】3+25.

13.3-214.当

12

<x<l时，

x2?2x?l-

14

1

?x?x24

【提示】x2—2x+l=()2；—x+x2=()2.[x—

12

—x.]当

12

<x<l时，x—1与

12

一X各是正数还是负数？[X—1是负数，

3bl5.若最简二次根式a?2与

b=.【提示】二次根式的根指数是多少？

[3b—1=2.忸+2与4b—a有什么关系时，两式是同类二次

根式？[a+2=4b-a.]【答案】1,1.

(三)选择题：(每小题3分，共15分)

16.下列变形中，正确的是.....()(A)(2

(C)

13

一x也是负数.]【答案】一2x.22

4b?a是同类二次根式，则扣=,

9?16=9?(D)

2

)2=2x3=6(B)(?)2

5

(?9)?(?4)=9?4【答案】D.

2()25

=1-

25

【点评】本题考查二次根式的性质.注意(B)不正确

是因为

25

1=

25

;(C)不正确是

因为没有公式

a?b=a?b.

(a?b)2

=a+b(B)

17.下列各式中，一定成立的是……()(A)+1

(C)

(a2?l)2

=a2

a2?l=a?la?l(D)

al=bb

ab【答案】B.

【点评】本题考查二次根式的性质成立的条件.(A)不

正确是因为a+b不一定非负，(C)要成立必须吃1,(D)

要成立必须*0,b>0.

2x?l-?2x+1有意义，则x的取值范围

是.................(1U

(A)x>(B)x<(C)x=(D)以上都不对

222

?2x?l?0

【提示】要使式子有意义，必须？

?l?2x?0.

18.若式子【答案】C.

)

a

化为最简二次根式，得.........................(b

lllab(B)-ab(C)-?ab(D)bab(A)bbb

abaab

【提示】==.【答案】B.

b2b|b|

19.当aVO,bVO时，把【点评】本题考查性质20.当

aVO时,化简|2a—

—3a

2

)

a2

=|a|和分母有理化.注意(A)错误的原因是运用性质时

没有考虑数.|的结果是.....()(A)a(B)-a(C)

3a(D)

2

a2

【提示】先化简a,■:a<0,a=-a.再化简|2a—

(四)在实数范围内因式分解：(每小题4分，共8分)

a2

|=|3a|.【答案】D.

21.2x2-4；【提示】先提取2,再用平方差公式.【答案】

2(x+2)(x—2).

22.x4—2x2—3.【提示】先将x2看成整体，利用x2+px

+q=(x+a)(x+b)其中a+b=p,ab=q分解.再用平

方差公式分解x2—3.【答案】(x2+l)(x+(五)计算：(每

小题5分，共20分)

23.(

)(X—).

48-4

11)-(383

-20.5)；

*

【提示】先分别把每一个二次根式化成最简二次根式，再

合并同类二次根式.【答案】24.(5

484—67)+3；

3+23-6)x

1111

=203x+2x-6x3【解】原式=(20

=20+2—67x

3

=22-221.3

25.

+

12

—4

22?1

=5

+2(

2-1)0；【解】原式=52+2(2—l)—4x

2

2

+2x1

26.(

a3b—

2+22—2—22+2=52.abb+2+ab)+.baa

【提示】本题先将除法转化为乘法，用分配律乘开后，再

化简.【解】原式=(

a3b—

aba

+2+ab)bab

a3bab

+2.

ab

ab

ab

+2

ba

ab

+

abab

aa—（）2

b

+2+

a2

=a2+a—

【点评】本题如果先将括号内各项化简，利用分配律乘开

后还要化简，比较繁琐.（六）求值：（每小题6分，共18

分）

27.已知a=

12

，b=

14

,求

ba?—

a?b

的值.

【提示】先将二次根式化简，再代入求值【解】原式

2bab?b?ab?bb(a?b)?(a?)

•

a?ba?b(a?b)(a?b)

12?

11=2.当a=,b=时，原式=

24

?24

【点评】如果直接把a、b的值代入计算,那么运算过程

较复杂，且易出现计算错误.28.已知x=

1

,求x2—x+的值.5?2

15?2

==5?2.

5?4?2

【提示】本题应先将x化简后，再代入求值.【解】・・・

x2—x+

4

5=（5+2）2—（5+2）+=5+4+4——2+5=7+

化成关于

*

【点评】若能注意到X—2=,从而（X—2）2=5,我们也可

将x2—x+

x—2的二次三项式，得如下解法：

x2—x+5=（x—2）2+3（x—2）+2+