2024年广东省深圳市光明区李松蓢学校九年级中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年广东省深圳市光明区李松蓢学校中考数学三模试卷一.选择题（共10小题）1．（3分）四个实数﹣，0，2，中，最大的数是（）A．﹣ B．0 C．2 D．2．（3分）以下图案中，既是轴对称图案又是中心对称图案的是（）A． B． C． D．3．（3分）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（3分）下列运算正确的是（）A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4 C．a6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b25．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（）A．32° B．58° C．68° D．78°6．（3分）五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘）．转动转盘一次，获得一等奖的概率为（）A．1 B． C． D．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（）A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB9．（3分）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（）A． B． C． D．10．（3分）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）A．54 B．52 C．50 D．48二.填空题（共5小题）11．（3分）分解因式：2a2﹣8b2＝．12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．13．（3分）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．14．（3分）如图，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y＝的图象上，则k的值为．15．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在BC的延长线上，且CE＝2．连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为．三.解答题（共7小题）16．计算：．17．先化简再求值：，其中x＝﹣4．18．在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：74，72，72，73，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80．【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：组别50.5≤x＜60.560.5≤x＜70.570.5≤x＜80.580.5≤x＜90.590.5≤x＜100.5A学校515x84B学校71012174【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：特征数平均数众数中位数方差A学校7475y127.36B学校748573144.12根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查是调查（选填“抽样”或“全面”）；（2）统计表中，x＝，y＝；（3）补全频数分布直方图；（4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是学校（选填“A”或“B”）；（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有人．19．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．（1）求证：∠BAC＝∠E；（2）若AB＝8，DC＝2，，求CF的长．20．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？21．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）22．教材呈现以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．概念理解（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：；（2）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中的“筝形”：；（写出一个即可）应用拓展（3）如图2，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB，AC于点M，H，连接BH．①求证：∠BAC＝∠FEG；②求证：∠AHB＝90°．参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1．（3分）四个实数﹣，0，2，中，最大的数是（）A．﹣ B．0 C．2 D．【解答】解：∵﹣＜0＜＜2，∴在实数﹣，0，2，中，最大的数是2，故选：C．2．（3分）以下图案中，既是轴对称图案又是中心对称图案的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图案，不是是中心对称图案，故此选项不符合题意；B、既是轴对称图案又是中心对称图案，故此选项符合题意；C、是轴对称图案，不是是中心对称图案，故此选项不符合题意；D、是轴对称图案，不是是中心对称图案，故此选项不符合题意；故选：B．3．（3分）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4 C．a6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2【解答】解：A、（4ab）2＝16a2b2，故A不符合题意；B、2a2+a2＝3a2，故B不符合题意；C、a6÷a4＝a2，故C符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意；故选：C．5．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（）A．32° B．58° C．68° D．78°【解答】解：∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．6．（3分）五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘）．转动转盘一次，获得一等奖的概率为（）A．1 B． C． D．【解答】转盘共分成6等份，其中红色区域1份，即获得一等奖的区域是1份，所以获得一等奖的概率是．故选：B．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：故选：B．8．（3分）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（）A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠FCA＝∠EAC，根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，故A选项正确，不符合题意；∴∠FAC＝∠FCA，∴∠FAC＝∠EAC，故B选项正确，不符合题意；∵MN是AC的垂直平分线，∴∠FOA＝∠EOC＝90°，AO＝CO，在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（ASA），∴AE＝CF，∴AF＝CF＝AE＝5，∵BF＝3，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB＝＝4，故C选项正确，不符合题意；∵BC＝BF+FC＝3+5＝8，∴BC＝2AB，故D选项错误，符合题意，故选：D．9．（3分）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（）A． B． C． D．【解答】解：∵上有16头，∴x+y＝16；∵下有44足，∴2x+4y＝44．∴根据题意可列方程组．故选：A．10．（3分）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（）A．54 B．52 C．50 D．48【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，∴AB＝＝＝25，①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，此时AD＝x，∵ED⊥AB，∴∠DEA＝90°＝∠C，∵∠CAB＝∠EAD，∴△CAB∽△EAD，∴＝＝，∴AE＝＝，DE＝＝，BE＝25﹣，∴y＝BE•DE＝×（25﹣）×＝10x﹣，当x＝10时，y＝76，∴a＝76，②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，此时BD＝35﹣x，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，∵∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴，∴BE＝＝＝28﹣，DE＝＝＝21﹣，∴y＝DE•BE＝×（28﹣）×（21﹣）＝（14﹣）（21﹣），当x＝25时，y＝24，∴b＝24，∴a﹣b＝76﹣24＝52，故选：B．二.填空题（共5小题）11．（3分）分解因式：2a2﹣8b2＝2（a﹣2b）（a+2b）．【解答】解：2a2﹣8b2，＝2（a2﹣4b2），＝2（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为4．【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4．故答案为：4．13．（3分）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为18.2米．【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度为18.2米，故答案为：18.2．14．（3分）如图，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y＝的图象上，则k的值为．【解答】解：如图，作EH⊥x轴，垂足为H．由题意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，∴BO＝＝2．∴AB＝BO．∴∠AOB＝30°．又△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，∴∠BOB'＝105°．∴∠B'OX＝45°．又点E是OB′的中点，∴OE＝BO＝1．在Rt△EOH中，∵∠B'OX＝45°，∴EH＝OH＝OE＝．∴E（，）．又E在y＝上，∴k＝＝．故答案为：．15．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在BC的延长线上，且CE＝2．连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为．【解答】解：如图，过F作FM⊥BE于M，FN⊥CD于N，则四边形CMFN是矩形，FM∥AB，∵CF平分∠DCE，∴∠FCM＝∠FCN＝45°，∴CM＝FM，∴四边形CMFN是正方形，设FM＝CM＝NF＝CN＝a，则ME＝2﹣a，∵FM∥AB，∴△EFM∽△EAB，∴，即，解得：，∴，由勾股定理得：DF＝＝，故答案为：．三.解答题（共7小题）16．计算：．【解答】解：原式＝＝4．17．先化简再求值：，其中x＝﹣4．【解答】解：（+1）＝•＝•＝，当x＝﹣4时，原式＝＝6．18．在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：74，72，72，73，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，80．【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：组别50.5≤x＜60.560.5≤x＜70.570.5≤x＜80.580.5≤x＜90.590.5≤x＜100.5A学校515x84B学校71012174【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：特征数平均数众数中位数方差A学校7475y127.36B学校748573144.12根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查是抽样调查（选填“抽样”或“全面”）；（2）统计表中，x＝18，y＝74.5；（3）补全频数分布直方图；（4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是A学校（选填“A”或“B”）；（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有920人．【解答】解：（1）根据题意知本次调查是抽样调查；故答案为：抽样．（2）x＝50﹣5﹣15﹣8﹣4＝18，中位数为第25个和第26个平均数＝74.5，故答案为：18，74.5．（3）补全频数分布直方图：（4）因为A学校的方差为127.36，B学校的方差为144.12，127.36＜144.12，∴课后书面作业时长波动较小的是A学校，故答案为：A．（5）500×+500×＝920（人）．故答案为：920．19．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．（1）求证：∠BAC＝∠E；（2）若AB＝8，DC＝2，，求CF的长．【解答】（1）证明：∵OC⊥ABOC是⊙O的半径∴AD＝BD，，∴∠BAC＝∠E；（2）解：∵∠BAC＝∠E，∵∠ACF＝∠ECA，∴△ACF∽△ECA，∴，∵AB＝8，∴AD＝BD＝4，∵∠ADC＝90°AD＝4，CD＝2∴AC＝＝2，∴＝，∴．20．为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意得：，解得：x＝5，经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，则5×（1﹣20%）＝4，答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为w元，由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴m≥2（150﹣m），解得：m≥100，∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，则150﹣m＝50，答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．21．如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），设CE：y＝kx+b（k≠0），将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．（2）当时，，由题意得，解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．∴P的横坐标为22.5．∵22.5＜3