函数的连续性

函数的连续性三、函数的间断点一、函数连续性的概念§2.7

函数的连续性第二章

二、连续函数的四则运算及初等函数的连续性

四、闭区间上连续函数的性质

可见,函数在点一、函数连续性的概念定义1在的某邻域内有定义,

则称函数(1)

在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;有函数的增量当Δx→0时，

对自变量的增量若f(x)在x0点处连续，则定义4则称函数f(x)在点

x0处左连续；则称函数f(x)在点

x0处右连续。例如：

f(x)=x≥1,x,x<1.－1,显然f(1)=1，而1=f(1)即f(x)在x

=1处是右连续。≠f(1)即f(x)在x

=1处不是左连续。由函数的极限与其左、右极限的关系，易得到下面定理定理1

函数f(x)在点

x0处连续的充要条件是：

函数f(x)在点

x0处既左连续又右连续，即

或左连续右连续若在区间(a,b)内每一点都连续,

则称它在区间(a,b)上连续,

或称它为该区间上的连续函数.定义5如果f(x)在区间(a,b)内每一点都连续,

在x=a处右连续，

在x=b处左连续，

[a]bx则称f(x)在闭区间[a,b]上的连续.在闭区间上的连续函数的集合记作例1.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.例2设函数问b为何值时，

函数y=f(x)在点

x=0处连续.解由于f(0)=2

,且

若使函数y=f(x)在点

x=0处连续，必须定理3.

连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.

在其定义域内连续．二、连续函数的运算法则定理2.

在某点连续的两个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减)(证明略)在[

1,1]上也连续单调(递减)递增.定理4.连续函数的复合函数是连续的.在上连续其反函数在上也连续单调递增.又如,

单调递增,例如,是由连续函数因此在上连续.复合而成,定理5基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数仍是连续函数一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而定理6(1)y=f(u)在

u=a处连续，(2)u=φ(x)在

x→X时极限存在，证解:原式例3.求例4.

求解:原式解:原式例5.

求(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:下列情形之一,这样的点函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点（不连续的点）.

无定义;三、函数的间断点定义6

例如x=0是下列各函数的间断点：1yxO第一类间断点:左右极限都存在的间断点。第一类间断点(1)可去间断点:间断点分类:x=0是可去间断点1yxO(2)跳跃间断点:1yxO－1x=0是跳跃间断点左右极限都相等间断点左右极限不都相等间断点第二类间断点:及中至少一个不存在.称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为无穷间断点.为振荡间断点.左右极限至少有一个不存在的间断点，为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)

为其跳跃间断点.左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在

第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式内容小结1.

讨论函数间断点的类型.如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续。思考与练习解：故x=1是一类可去间断点。补充定义f(1)=－2，则函数f(x)在x=1处连续。所以，x=2是第二类无穷间断点.注意:

若函数在开区间上连续,结论不一定成立.定理7.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断

在该区间上一定有最大点,四、闭区间上连续函数的性质

例如,在[0,1]上无最大值和最小值

在(0,1)也无最大值和最小值。

又如,

111/2定理8

在闭区间上连续的函数在该区间上有界.

设

M和m分别是则对于满足m≤μ≤M至少存在一点定理9说明在闭区间上的连续函数使必取得介于最小值与最大值之间的任何值.的任何实数μ,定理9.

(介值定理)推论1.

(零点定理)至少有一点且使一个根.证:设故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有即方程在区间内至少有一个根.例1.

证明方程在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在内容小结P50：练习2.72.求下列函数的间断点，并判断其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：解解解解备用题

1至少有一个不超过4的

证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.2.

(1)证明方程内有且仅有一个实根；

(2)记(1)中的实根为xn,证明

存在，并求此极限．

（2012考研数学二）