理工大往年线代期末考试试题(一)

《线性代数》历届试题详解口

一、填空题(5x4=20分)

fl12、

1、矩阵4=121的秩为r(A)=3；注：A~EQ

-1b

2、n阶方阵A可逆unA的列向量组线性无关；

121]

3、若方程组23〃+2X=3无解，则。=—1;

1a—2[X)

/、3,

(\21n(102a+l3、

注：(A,B)=23〃+23—">01-a-1

；〃

Ja—2003+1)(-3)a—3,

4、若九是”阶实对称方阵A的％21重特征根,则r(kE一A)=n-k：

5、若均为〃阶正交阵，则|(48)1。|=

二、选择题(5x4=20分)

1、若"阶方阵ABC满足=则必有(。)

、

(A)、ACB=E；(B)CBA=E；(C)、BAC=E；(。)、BCA=EO

2、设AER〃的，且«A)=一，则方程组AX=0的基础解系中包含的向量个数是(A)

(A)、m-r-(5)、n-r；©、(。)、无法确定。

3、设A为正交阵，则下列说法中错误的是(D)

⑷、AAT=E.(B)、A-i=AT.

(C)、A的行向量组是两两正交的单位向量;(0、圄=1。

4、设4,8为相似的”阶方阵，则它们有(C)

(A)、相同的特征向量;(3)、不同的特征向量;

(C)、相同的特征向值;(。)、不同的特征值。

5、实二次型/(X)=%2+5%2+%2—4XX-XX为

1231223(B)

(A)、半正定;(3)、正定;(C)、负定;(。)、不定。

244

《线性代数》历届试题详解口

注：由于于(X)=%2+5x2+X2-4xX-XX=(x-2x)2+(X-i-)2+—X2>0且

3f

123122312224

f(X)=0<=>X=(X,X,X)T=O,故于(X)=+5x2+尤2-4xX-XX正定。

123231223

三、计算行列式（2义5=10分）

111111

11

1、abc=0b-ac-a=(/?-«)(<?-«)(Z?-«)(<?-a)(c-b)；

b

〃2b?C20b(b—a)c(c-a)

xy0...00

0xy…00

00X...00

2、D=,其中“22；

n

000...xy

yo0...0x

x+0y0…00Xy0…000y0…00

0+0Xy...000Xy...000Xy...00

0+00x…0000X...0000X...00

解:D=—+

n

0+00o...Xy000...X)'000...Xy

0+y00…0X00o...0Xy00…0X

n

=Xn+(-l)n+lJ-yn-1—Xn—(—y)〃o

A00、'011、

四、（本题10分）设4=110,B=101且AX4+BX3=AX5+3X4+E,求X。

U1bUio,

解：原方程等价于（A-5）X（A—B）=E,而

H-1-1100]"100112""112、

(A-B,E)=0-1010—010011，故=011

[o010

0、00100ly、00"

(125、

故X=(A—B)-2=012

1001；o

五、（本题10分）设向量组。］,。283。4线性无关，则,=a+ap=a+a,P=a+a,P=a-a

12223334441

线性无关。

证明：由于a,a,a,a线性无关，且(p,p,p,p)=(a,a,a,a)A,其中

123412341234

245

《线性代数》历届试题详解口

"100-八/100-P

11000101

A=行〉cc,,，即A可逆，且r(a,a,a,a)=4,

0110001-11234

、0011；\0002,

故r(B,P,B,B)=r(a,a,a,a)=4,gpP,P,P,P线性无关。

123412341234

⑷mLn(1)

11-21

六、(本题10分)求向:!h&a=4,a=,a=,a=的秩及其极大无关组。

i422324-2

30-90

"21-11)(1000、

11-210100

解：由于(a,a,a,a)=4—,故r(a,a,a,a)=4,且

123422-20010乂1—

0-90J[o00"

J

，%巴巴是其极大无关组。

x-x+2x+x-x=1

12345

七、(本题10分)求方程组-%+x+x=2的通解。

1234

x-X-X+x=1

11235

(1-121-11]<1-10000]

解：由于(A,B)=1-11102—0010-1-1,故r(A)=r(A,b)=3,

1-1-1011000113

原方程组有无穷多解,且原方程组等价于

(0、<r(0、

1

X-X=0X二X

i2i2X0i0

2

=

5x-X=—1<=n<X=—1+x<==>X=X-1+c0+c1其中C,CwR任意。

353531212

X30-1

X+%=3X=3-x4

14i4

55©11,

八、体题1。分)求一正交变换，将二次型/3)=2尤;+3尤;+3尤;+4匕4化为标准形。

，200、'九-205-20

解：A=032XE-A=0X-3-24^0-2X-3

23>、0-2九-3,,00(DQ-5),

故A的特征值为九=2,入=5,入=1,且

123

246

《线性代数》历届试题详解口

-200、0

k

A的对应于人的特征向量自力0满足0-2X-3,左=1,2,3,即

k

、00(…

00、

o11

o1-1

7

并令y=2TX,则X=py为正交变换，且在此变换下有

于(X)=2x2+3尤2+3x2+4%x=XTAX=YT(PTAP)Y=2y2+5产+

1232312

247

《线性代数》历届试题详解口

2014〜2017年线性代数试题详解

r单项选择题

(0)01、设某8阶全排列的逆序数为5,则将其变为自然排列的对换次数为

(A)、5；(B)、8；(C)、偶数；(。)、奇数。

(D)02、下列排列中是偶排列的是

(A),5-4-1-2-3；(B),4-2-3-1-5；(C)、35241；(O)、15432。

(8)03、设是对称矩阵，则C=—54为

(A)、对称矩阵；(B)、反对称矩阵；(C)、可逆矩阵；(。)、正交矩阵。

(A)04、设Ae7?2x2,则卜2d=

⑷、4|4⑻、(C)、2|4⑷)、-2网。

(A)O5、设A,5CR3*3,而B可逆，且AB=0,则必有

(A)、A=0；(5)、A可逆；(C)、r(A)=3；(0、|A产0。

(C)06、设A,Be则必有

(4)、|A+B|=|A|+|B|;⑻、AB=BA.

(C)、|AB|=|A||B|;(£))、(A+B)-i=A-i+B-io

(A)07、方阵AeR”"可逆的充要条件是

(4)、牛0；⑻、A=E.(C)、r(A)>n­(£))、r(A)<no

(3)08、设a22,AeR^n,则固=

(A)、|A|"-2；(B).|A|"-I；©、|A|";(0、网o

注：若|A|HO,则A4*=|A|E,两边取行列式得[A||A*|=|A|",故|A*卜皆“。，r(A*)=a；

若r(A)<”-l,则A的任一(九一1)阶子式恒为o,故由定义知A*=0,(4*)=0,|A*|=0=|A[T

若r(A)=〃-l,则A("-1)至少有一个("-1)阶子式20,故由定义知人丰0，且A*A=|A|E=0

故1Wr(A*)W〃-r(A)=a--1)=1,r(A*)=l,口*|=0=网"一；

248

《线性代数》历届试题详解口

若厂(A)=n

故=恒成立，而r(A*)=<l,若*A)=〃-l。

0,若厂⑷<〃-1

(C)09>设〃>2,，且r(A)=〃一1,r(5)="，则r(A*5*)=

⑷、几；(8)、〃-1；(C)、l；(。)、°。

注：由题设知(A*B*)=(84)*,r(BA)=n-l,故r(A*5*)=r((8A)*)=1。

(4)10、设A*是可逆阵AeR-的伴随矩阵，贝iJ(A*)-i=

(A)、|ApA；(8)、因&(C)、|A|TA-I；(。)、固41。

注：A-i=|A|-'A*,即4=|臼4-1,故(A*)T=|A『IA。

(8)11、设A,3eR""",则下面结论错误的是

(A)、r(AB)<r(A)；⑻、r(A)<r(A+B)；

(C)、r(A3)=r(3rAr)；(。)、若43=0,则r(A)+r(3)(“。

(8)12、向量组a=(0,0,0,0)%a=(0,0,1』)ja=(0,0,1,0”,a=(0,0,0,1”的极大无关组为

1234

(A)、a,a；(B)、a,a；(C)>a,a,a.(。)、a,a,a,a。

1234123'1234

(0)13、设向量组a=(l+k,l,l)r,a=(1,1+九,l)r,a=(1,1,1+九)丁的秩为2,则九=

123

(A)、l;(8)、T;(C)、3；⑷)、一3。

‘1+九11>f111+/

注：(a,a,a)=11+九1—交换第三行->11+九1

1231J

111+X7J+九1

11+1、<111+X、

------第二」去第一行----->0X-X—先将第二加到第三行》0X-1

第三行减去第一行的G+I)倍再(-1)用乘第三行

I。-X-1(1+2)；100九(入+3),

'11r

若九=0,则(a,a,a)―J000此时叫牝%)=1;

123

^00oj

’11-2、(\0-P

若九=一3,则(a,a,a)——0-33—01-1此时弋弋弋)=2；

123

(000；、000；

249

《线性代数》历届试题详解口

00、

若入手0,—3,则(a,a,a)行>010,此时r(a,a,a)=3；

1231010213J

故r(oc,a,a)=2<=n九=—3。

123

(5)14、向量组a,a，…,a线性无关的充要条件是

12m

(A)、a,a中有一向量不能由其余向量线性表示；

12m

(8)、向量组a,a的秩为机；

12m

(C)、a,a，…,a中任意两个向量线性无关；

12m

(。)、存在不全为零的数%,左，…,k,是左a+ZaH---\-ka。0。

12m1122mm

(8)15、向量组a,a，…,a秩为"的充要条件是

12n

⑷、a,a，…,a线性相关；(B)、a,a，…,a线性无关；

12n12n

(C)、a,a，…,a中无零向量；(0、a,a，…,a中有零向量。

12n12n

(4)16、设向量a=(1,3,—2,0,1)7与P=(-3,-9,6,。,一3)7线性相关，则

(A)、〃=0；(5)、a。。；(C)、〃〉。；(D)、。任意。

注：两个向量线性相关O此两个向量的对应分量成正比。

(D)17、设24£尺》〃,8£7?53。=(45)的秩依次为人5/,则方程AX=5有解的充要条件为

(A)、r=s=t>(5)、r=s-(C)>s=t；(£))、r=to

(。)18、设AEH-的秩为「(其中。<r<几)，则方程组心=。的基础解系中包含的向量之个数为

(A).m-r;⑻、r；(C)、■几;(。)、〃一一。

(\2、

(0)19、下面向量是人=12J之特征向量的是

(A)、(l,0)r；⑻、(0,。)7；(C)、(0,1)7；(£>)、(UM。

在J

(4)20、设4eR3x3的特征值为一1,2,2,则8=(A-E”的特征值为

(A)、4,1,1；⑻、1,4,4；(C)、TJ,4；(0、1/2,1,1„

250

《线性代数》历届试题详解口

注：若（P（九）=，）+%入+。2屹+…而入是人心*，，的特征值Y片。是相应的特征向量，则

（P（九）=a+a九+〃九2H-------1-a九”是（p（A）=aE+aA+aAi-\-------baAm的特征值,

012m012m

因此将九=一1,2,2代入中（九）二1一2九+九2=（九一1）2即得B=E-2A+A2=（A-E）2的特征值。

填空题

01、排列1・2・3.7・4・6・5的逆序数为t=4

02、四阶排列34—4-2的逆序数为t=3

1200

3400

03、行列式。==10。

**18

**13

05、设AeR”*"且囿=a,则12Al=2"a。

设九是正交阵的特征值，

06、AcR-M|A-i|±1,内=1o

注:若九是正交阵AER曲的特征值，是相应的向量，贝4:=九自，故

|绅=|A||Ar|=|A4r|=|A4-i|=|E|=l,从而=仲|=圄=±1；

又㈣2根『=（匹『（九匕）=（瑟）r（A匕）=gr（ArA）匕=/（班=京=冏|2>0,

故|斗=1,即网=1。

251

《线性代数》历届试题详解口

00、

07、设4=220,则|A4*|=|A|3=8。

1321J

08、A=［；)的逆矩阵为AT=A*=；

.、.、

(cosa-sina)-1(cosasina)

09、注：正交阵A的逆矩阵AT=AT。

、sinacosa-sinacosa)

7

(\i

10、i212o

i0fl0

注:121第三行分别减去第一行》010—第一行减去第，行——>010

第二行的2倍加到第三行

-11°-20J000J

(2-13、

11、当九=-3时,A=14的秩为2。

(T2

(2-13、(i-3fl-34、

注:A14交换第一、二行》2-13第二行减去第一行的2倍>05

第一行加到第三行

2-121°-1X+4J

fl-34、01、

第二行除以5>01-1将第二行的3倍加到第一行》01-1

第二行加到第三行

0-1入+4,(00X+3j

12、若向量a=(a,l,-1)7■与(3=(1,1,9)/■正交，则。=8。

注：aJ_P<==>内积(a,P)=a+1—9=0<=na=8。

13、向量a=(1,0,0,1)2■与。=(1,-1,0,0)7间的夹角为0=K/3。

注：a,B间的夹角e满足cosO==

llalll|P||2

14、设向量组a,a,a线性无关，则向量组P=a+a,(3=a+2a+a,(3=『七的秩为上。

123221233

qini11flir

注：(P,P,P)=(a,a,a)12o,而120=8+1-4=5工0,即120可逆。

123123I。14)014101"

252

《线性代数》历届试题详解口

15、设p=(0,左,左2)7可由a=(l+hl,l)r,a=(l,l+k,l)T,a=(1,1,1+左)丁唯一地线性表示，则常数上

123

应满足上w0,-3。

注：P=(0次，左2)7可由a=(1+Nl,l)r,a=(l,l+^,l)r,a=(1/」+女)丁唯一地线性表示

123

Z+3

1

1+左

11

k0=h(左+3)。

0k

16、设A£R〃X〃，则方程组AX=。有非零解的充要条件为|川=2。

17、设AEH泌〃,/?£；?机，则。=匕有解的充要条件是«A,Z?)=r(A)o

2x-x+x+x=l

1234

18、若方程组〈x+2x-x+3x=-2有解，则。=-7

1234---------

x+7x-4x+8x=a

l1234

<2-1111)(12-13-2、

注:(A,b)=12-13-2——交换第r”二行~>2-1111

J7-48a)[17-48

(\2-13-2、<12-13-2)

第一行施以,加利第一行、0-53-55—第二行加到第三行》01-3/51-1

第三行减去第一行第二行除以(一5)

5-35a+2,000a+7,

001/510、

第一行减去第二行的2倍>01-3/51-1

0000〃+7,

原方程组有解<=nr(A,b)=r(A)=2<==>a=-7。

19、设“且方程组AX=0有非零解&片0,贝强是A相应于特征值入=0的特征向量。

注：由题设知41=0=。4，其中自70。

"100、

20、设4=220的特征值为1,1,2o

2J

253

《线性代数》历届试题详解口

X-100

注：特征值九满足「£一臼=-2X-20=（入-2）（九-1）2=0

-3-21-1

三、计算行列式

a00b

ii

0ab0

1、D=22

0ba0

33

b00a

44

解:按第一行展开，得

00ab

22

0-b0ha

i33

ab00

44

=（aa-bba-bb）o

14142323

a100

-1b10

2、D=

0-11

00-1d

解:按第一行展开,得

a100

b1010

-1b10

D==a-1101=l+ab-\-ad-\-cd+abed

0-11o

0-1d0-1d

00-1d

x+aaaa

1234

—xX00

3、D=

0-x%0

00-xX

解:从第4列起,各列加到前一列,得

x+aaaax+a+a+a+aa+a+aa+aa

i2341234234344

-xX000X00

D=

0-XX000X0

00-XX000X

=x3（x+a+a+a+a）。

1234

254

《线性代数》历届试题详解口

Xy0・・00

0Xy・・00

00X・・00

4、。=

n

000・・Xy

y00・.0X

解：按最后一行展开,得

Xy0…00Xy0...00y00…00

0Xy・・・000Xy...00Xy0…00

00X…0000X...000Xy...00

D==X+(—l)〃+iy

n

000…Xy000...Xy000…y0

y00・・・0000...0X000…Xy

n—1n—1

=Xn+(―l)n+lyn=Xn—(—o

1+aaa

i2n

a1+aa

5、D=i2n

n

aa1+a

i2n

解：各列加到第一列、第一列提出公因式（i+4+%+…+、）后,再各行减去第一行,得

1+aa・・a1aa

i2n2n

a1+〃・♦a11+aa

D=i2n=(1+〃+CL+•••+4)2n

n2n

aa・-1+a1a1+a

i22n

1aa

2n

010

=(1+a+a+…+a)=1+。+CI+…+。O

i2i12

001

四、矩阵的运算

12、

1、A=224的秩、特征值及其行列式。

00J

(\12、(\12、12、

解：A=224第二行减去第一行的2倍->000交换第=•,三行~~>001

01J1°01J00OJ

255

《线性代数》历届试题详解口

10、

第一行减去第二行的2倍>001,故r(A)=2<3,|A|=0,

、°00,

k-1-1

1-1-1

又肥_.=-2X-2_4按第三行展开（九一八

九一2

00x-i一一

按对角线法展开（九-1）［（1.1）（入_2）—21=九（九一1）（九-3）,

故A的特征值为九=0,九=1,九=3。

123

,100、

2、设4=0-20求8G尺3»3,使A>BA=2BA-SEo

[0。1

,100、’-200、

解：4*=四仙=-20-1/20010,(2E-A*)B=8A-i,

、0°b、00—2,

’400800、<100200、

(2£—A*,84i)=0100-40—第一”三行各除以4>0100-40

、004008J(001002,

，200、

故_B=8(2£—A*)-iA-i=0-40。

02）

、0

11r

3、设AER3X3且A-1=121求伴随矩阵A*的逆矩阵。

J13,

111111

解：叫・田|=121010=2,

113002

‘111100、’111100、

9/41Z17\_1o1n1n辱.一二在次占油土笆一行、010-110

11

13001；^002-1017

‘111100、"1005/2-1-1/2、

第二行隐口c、n1n11n___谊一后迷上位——;石、n1n11n

、001-1/201/2J(001-1/201/2,

256

《线性代数》历届试题详解口

1(5-2-P'5-2-1、

,1

故4=5-220,而(A*)-i=|"4=-220

2Uo17

「10L

(25、(4

4、求解方程X=

I13)(，

「25、(4-6、,,「3-5、

解：令人=|1J'=01,则四=2-3-卜5=1,4=°|，故

[15)I，1J(T2)

3-5V4-6、(1-23、

X=A-iB=网tA*5=2121H)8j

,033、

5、设4=110求8使之满足A3=4+28。

[—123)

解：AB=A+2B<==>(A—2E)B=A,而

<-233033、r1-10110]

(A-2E,A)=1-10110—交换第一,二行》-233033

Li3)

(T21-123)21-12

-10110)<1-10110、

—第一行乘2后加到第二行->013253—第三行减去第二行》013253

第一行加到第三行10第三行除以(-2)

11030111”

<1-10110、<100033)

第二行减去第三行的3倍＞010-123—第二行加到第一行》010-123

^001110；100111oj

033、

故8=(A-2E)”=-123

U10J

/102)0

6、设人=-12-3,B=01-2求方程AX=5的解。

-J卜

01-5

解：利用矩阵的初等行变换，得

p02103、P02103、

(A,B)=-12-301-2—第一行加到第二行》02-1111

1。

；01-13-50;

1-13-50?

257

《线性代数》历届试题详解口

'102103、’102103、

赤弟笆-二在、n1124n位二片泡土的一在触c