计数原理讲义-2024届高考数学三轮复习冲刺

2024年高考数学三轮冲刺之计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

【知识梳理】

1、一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中

有阳种不同的方法，在第2类方案中有几种不同的方法，那么完成这件事共有

N=7"+〃种不同的方法.

2、一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中

有加种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法，那么完成这件事共有

N=种不同的方法.

3、一般地，我们有：几元集合A={4,a2,}的不同子集有2"个.

【针对性训练】

1.从A地到3地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到3地有四条路，则

从A地到8地不同的走法种数是（）

A.7B.9C.12D.16

2.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c（允

许重复），则不同编号的书共有（）

A.8本B.9本C.12本D.18本

3.在如图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有一种不同的方法；在

如图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有一种不同的方法.

图1图2

4.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学

科的书2本，则不同的选法有（）种.

A.21B.315C.143D.153

5.（多选）下列说法中正确的有（）

A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有4?种报名方法

B.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法

C.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有43种可

能结果

D.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有34种可

能结果

6.如图所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A出

发，送信到西南角的5地，且经过C地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？

7.立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果.王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水

果.李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，卿猴桃4种水果.小华可以在两个老师的果篮

里分别选一个水果.小华拿到两种不同的水果的情况有（）

A.6种B.7种C.11种D.12种

8.某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有（）

A.10种B.2,种C.5?种D.24种

9.用0,1,2,3,9十个数字可组成多少个不同的.

（1）三位数？

(2)无重复数字的三位数？

(3)小于500且没有重复数字的自然数？

10.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个

公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个

宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

二.排列与组合

【知识梳理】

4、一般地，从九个不同元素中取出加(加《〃)个元素，并按照一定的顺序排成一列，

叫做从〃个不同元素中取出帆个元素的一个排列.

5、我们把从九个不同元素中取出加(加＜〃)个元素的所有不同排列的个数，叫做从九

个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.

6、排列数公式：/£="("一1)("-2).(77-m+1),其中n&N*,并且加＜〃.特

别地，我们把九个不同元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列.这时排

列数公式中m=〃，即有="(〃-1)(”-2)xx3x2xl.也就是说，将〃个不同的元

素全部取出的排列数，等于正整数1到九的连乘积.正整数1至IJ〃的连乘积，叫做"的

阶乘，用加表示.于是，九个元素的全排列数公式可以写成当=加.另外，我们规定，

0!=1.

7、排列数公式还可以写成=—J,它还有另一个变形A：=.

8、一般地，从几个不同元素中取出加(加＜〃)个元素作为一组，叫做从〃个不同元素

中取出m个元素的一个组合.

9、从九个不同元素中取出加（加＜"）个元素的所有不同组合的个数，叫做从几个不同

元素中取出机个元素的组合数，用符号表示.

10、根据分步乘法计数原理，有

因此，组合数公式：丁=里=〃（〃-1）（〃-2）6-〃z+1）,这里加，n®N*,

"A：m\

并且加＜〃.

n、因为些=-儿nI，所以上面的组合数公式可以写成c；=nI.另外，我们

规定《=1.

12、常见排列组合变形公式:

rrj1

⑴(2)C：=C；m;

⑶―1⑷筌-号="铲与3

【针对性训练】

11.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

12.下列问题中，是排列问题的为（）

A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组

B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动

C.从a,b,c,d中选出3个字母

D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数

13.下列各式中等于〃！的是（）

A.娼B.A：+IC.C：D.端

14.从5人中选派2人去参加某个会议，则不同的选派方法的种数为（）

A.9B.10C.20D.25

15.计算2露+3&的值是（）

A.72B.102C.5070D.5100

16.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人

输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A.10种B.15种C.20种D.30种

17.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是（）

A.恰好取到一件次品有C；C：7不同取法

B.至少取到一件次品有C；C：7不同取法

C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有反不同取法

D.把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式

18.从1,2,3,4,7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多

少个对数值？

19.如图，一环形花坛分成A,B,C,。四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块

里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（)

A.96B.84C.60D.48

20.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆,

且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）

A.12B.24C.30D.36

三.二项式定理

【知识梳理】

13、二项式定理：（a+”'=C；a"+C"”++Cy-kbk++C»",nwN*.右

边的多项式叫做（。+与"的二项展开式，其中各项的系数G（左=0,1,2,n）

叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用，+i表示，即通项为展开

kk

式的第4+1项:Tk+l=Cy-b.

14、二项式系数有以下性质：

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；这一性质可以直接由

C：=得到.直线r=］将函数/（厂）=C：的图象分成对称的两部分，它是图象的对

称轴.

（2）增减性与最大值：因为。：=如工(n—k)(n—k+l)n—%+1

*即

（左一1）!左k

1nk-I-1V1-I-1

/=,所以当。>1时,即左<匕时，C随人的增加而增大；由

Cnkk2

对称性知，当左〉岁时，C：随左的增加而减小.当〃是偶数时，中间的一项取得

n-\n+1

最大值；当九是奇数时，中间的两项C/与c/相等，且同时取得最大值.

（3）各二项式系数的和：若令二项式的a=l,b=l,得

2"=C：+C：+C；++C；.这就是说，（。+6）"的展开式的各二项式系数的和等于

2".

（4）奇数项和偶数项：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

15、杨辉三角的特征：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上

的两个数相加.杨辉三角的第九行的第r个数可以表示为Cl,第九行就是（a+与”的展

开式的二项式系数.把上述特征用公式表示，有C：=C：［；+C：_i.

【针对性训练】

21.（1-2x）6的展开式的第3项为（）

A.-120B.-120x2C.60D.60x2

22.二项式（x+l）"（〃eN*）的展开式中/项的系数为15,则〃=（）

A.4B.5C.6D.7

23.若（1+3了）"（“€/）的展开式中，第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为（）

A.4B.27C.36D.108

24.（l+x+f）（l-x尸的展开式中含丁的项为（）

A.-85B.175C.一85fD.175%3

25.（尤+匕）（x+y）5的展开式中丁）？的系数为（）

X

A.5B.10C.15D.20

26.在3+勾”的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则〃=（）

A.6B.7C.8D.9

27.已知二项式（如,-A"的展开式中各项的二项式系数和为512,且展开式中的常数项为

X

27C；，则。=（）

A.1B.2C.3D.4

28.在二项式（浮-gx）"的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第4项

为（）

1235—7

A.7x6B.-7x3C.—x3D.--x1

84

29.（6+工）9的展开式中的常数项为—.

X

30.右(2+X)"=Cl。+q(1+X)+4(1+X)2+...+"17(1+%)"，则

%+%+/+/+—+%6=•

2024年高考数学三轮冲刺之计数原理

参考答案与试题解析

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.从A地到3地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到3地有四条路，则

从A地到B地不同的走法种数是（）

A.7B.9C.12D.16

【考点】03：计数原理的应用

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；50：排列组合；65：数学运算；

49：综合法

【分析】根据题意，依次分析从A到C和从C到3的走法数目，由分步计数原理计算可得

答案.

【解答】解：根据题意，从A地到3地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，则从A

到C有3种不同的走法，

从C地到3地有四条路，则从C到3有4种不同的走法，

则从A地到3地不同的走法种数有3x4=12种；

故选：C.

【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步计数原理与分类计数原理的不同，属于基

础题.

2.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A,B,后两个字符用a,6,c（允

许重复），则不同编号的书共有（）

A.8本B.9本C.12本D.18本

【考点】D2：分步乘法计数原理

【专题】11：计算题

【分析】首先确定首字符，不重复，然后再确定第二和第三个字符，允许重复，最后利用分

布乘法原理求值.

【解答】解：分两步：

第一步：选定首字符，有2种可能；

第二步：选后两个字符，又分两小步：第二字符，有3种可能，第三个字符，也有3种可

能，

所以利用乘法原理，最终就有2x3x3=18种不同的组合情况，也就是说可以编18本书.

故选：D.

【点评】本题考查了分步乘法原理，解答的关键是明确首字符不重复，后两个字符允许重

复，是基础题也是易错题.

3.在如图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有5种不同的方法;在

如图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有一种不同的方法.

【答案】5；6.

【考点】排列、组合及简单计数问题

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】利用计数原理，求解结果即可.

【解答】解：如图1所示的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有5种不同的方法；

在如图2所示的电路中，合上两个开关可以接通电路，有3x2=6种不同的方法.

故答案为：5；6.

【点评】本题考查分类计数原理与分步计数原理的应用，是基础题.

4.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学

科的书2本，则不同的选法有（）种.

A.21B.315C.143D.153

【考点】03：计数原理的应用

【专题】50：排列组合

【分析】根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：①一本语文、一本

数学，②一本语文、一本英语，③一本数学、一本英语，分别计算各种情况下对的取法

数目，再由分类计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：

①一本语文、一本数学，有9x7=63种取法，

②一本语文、一本英语，有9x5=45种取法，

③一本数学、一本英语，有7x5=35种取法，

则不同的选法有63+45+35=143种；

故选：C.

【点评】本题考查分类计数原理的运用，是简单的题目；解题时需要注意准确计算即可.

5.（多选）下列说法中正确的有（）

A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有4?种报名方法

B.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法

C.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有43种可

能结果

D.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有34种可

能结果

【答案】BC

【考点】计数原理的应用

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】利用计算原理，转化求解判断选项的正误即可.

【解答】解：对于A、B,4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每人都

有3种选择，共有34种报名方法，所以A错误；3正确；

对于C、D,4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），每个

冠军有4种可能，共有43种可能结果，所以C正确，。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查计数原理以及排列组合的简单应用，是中档题.

6.如图所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局A出

发，送信到西南角的3地，且经过C地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？

B

【考点】计数原理的应用

【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合

【分析】根据题意，从A经C到5的最短路程，只能向左、向下运动，将原问题转化为排

列、组合问题，分别讨论计算从A到C与从C到3的最短路程的情况数目，由分类计数原

理，计算可得答案.

【解答】解：根据题意，从A经C到3的最短路程，只能向左、向下运动；

从A到C,最短的路程需要向下走3次，向左走2次，即从5次中任取2次向左，剩下3

次向下，有点=10种情况,

从C到3,最短的路程需要向下走2次，向左走2次，即从4次中任取2次向左，剩下2

次向下，有C：=6种情况，

则从A经C到3的最短路程，共有10x6=60种.

【点评】本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步

计数原理计算得到答案.

7.立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果.王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水

果.李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，舜猴桃4种水果.小华可以在两个老师的果篮

里分别选一个水果.小华拿到两种不同的水果的情况有（）

A.6种B.7种C.11种D.12种

【答案】C

【考点】分类加法计数原理

【专题】分类讨论；综合法；排列组合；数学运算

【分析】分两种情况：①小华拿到的水果里没有苹果，②小华拿到的水果里有苹果，再结合

分步乘法和分类加法计数原理，得解.

【解答】解：分两种情况：

①小华拿到的水果里没有苹果，则在王老师的果篮里有2种选法，在李老师的果篮里有3

种选法，共有2x3=6种选法；

②小华拿到的水果里有苹果，再分苹果来自王老师还是李老师的果篮，共有lx3+2xl=5

种选法，

由分类加法计数原理知，共有6+5=11种选法.

故选：C.

【点评】本题考查计数原理的应用，熟练掌握分步乘法和分类加法计数原理是解题的关键，

考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

8.某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有()

A.10种B.2、种C.52种D.2,种

【答案】D

【考点】分步乘法计数原理

【专题】计算题

【分析】通过层与层之间的走法，利用分步计数原理求解一层到五层的走法.

【解答】解：共分4步：■层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五

层2种,一共2"=16种.

故选：D.

【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，理解好题意，从一层到五层共分四步.

9.用0,1,2,3,9十个数字可组成多少个不同的.

(1)三位数？

(2)无重复数字的三位数？

(3)小于500且没有重复数字的自然数？

【答案】(1)900个.

(2)648个.

(3)379个.

【考点】分类加法计数原理

【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】分别根据分步计数原理可求出(1),(2),根据分类计数原理可可求出(5).

【解答】解：(1)百位不能为0,有9种选法，十位和个位各有10种选法，

故有9x10x10=900种，.

(2)百位上的数字有9种选法，

十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，

个位上的数字应从剩余8个数字中选取，

所以共有9x9x8=648个无重复数字的三位数.

(3)满足条件的一位自然数有10个，

两位自然数有9x9=81个，

三位自然数有4x9x8=288个，

由加法计数原理知共有10+81+288=379个小于500且无重复数字的自然数.

【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.

10.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个

公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个

宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

【考点】D3：计数原理的应用

【专题】11：计算题；5（9：排列组合

【分析】首先排列3个商业广告，有国种结果，再在三个商业广告形成的四个空中排列三

个元素，注意最后一个位置一定要有广告共有种结果，根据乘法原理得到结果.

【解答】解：由题意知，这里是元素不相邻的问题，

首先排列3个商业广告，有禺=6种结果，

再在三个商业广告形成的四个空中排列三个元素，注意最后一个位置一定要有广告，

共有小=18种结果，

根据分步计数原理知共有6x18=108种结果，

【点评】本题考查分步计数原理，注意题目中对于元素要不同的限制条件，一是有不相邻，

二是有一个位置不能是一种元素，并且还不能空着，注意这几种不同要求要同时满足.

二.排列与组合

11.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

【答案】C

【考点】排列、组合及简单计数问题

【专题】转化思想；综合法；排列组合；逻辑推理

【分析】利用排列组合的性质即可求解.

【解答】解：从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法列举如下：

甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙，共6种，

故C正确，

故选：C.

【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题.

12.下列问题中，是排列问题的为()

A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组

B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动

C.从a,b,c,d中选出3个字母

D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成•个两位数

【答案】AD

【考点】排列及排列数公式

【专题】应用题；转化思想；综合法；排列组合；数学抽象

【分析】根据排列组合定义分析即可.

【解答】解：A中3名同学不同，参加兴趣小组科目也不同，可知是排列问题，对；

3中从甲、乙、丙三名同学中选出两人只参加一项活动，可知和选人顺序无关，.13错；

C中从a,b,c,d中选出3个字母没说干啥，可知选字母与顺序无关，错；

。中从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，可知选出的两位数在

十位还是个位结果是不同的是排列问题，。对.

故选：AD.

【点评】本题考查排列组合定义，考查数学抽象能力，属于基础题.

13.下列各式中等于〃！的是()

A.娼B.心C.喝二;D.端

【答案】C

【考点】排列及排列数公式

【专题】对应思想；转化法；排列组合；数学运算

【分析】根据排列数的公式，进行化简，逐一判断即可.

【解答】解：^=(«-l)x(n-2)x...x2xl=(n-l)!,故A错误；

A^+1=(n+1)xz?x(n-1)x...x3x2=(«+1)!,故3错误;

研：二；=〃x(w-l)x(〃-2)x...x2xl=〃！，故C正确;

砍：=（〃+l）x〃x（〃-l）x...x3x2xl=（〃+l）!,故Z）错误.

故选：C.

【点评】本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题目.

14.从5人中选派2人去参加某个会议，则不同的选派方法的种数为（）

A.9B.10C.20D.25

【答案】B

【考点】排列、组合及简单计数问题

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算

【分析】利用排列组合知识求解.

【解答】解：由题意可知，不同的选派方法的种数为C；=10,

故选：B.

【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

15.计算2露+3号的值是（）

A.72B.102C.5070D.5100

【考点】D5：组合及组合数公式；ZM：排列及排列数公式

【专题】11：计算题；49：综合法；35：转化思想；50：排列组合

【分析】利用排列以及组合数公式求解即可.

【解答】解：2C：+3&=2x23+3x5x4=102.

2x1

故选：B.

【点评】本题考查排列数以及组合式公式的应用，是基本知识的考查.

16.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人

输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A.10种B.15种C.20种D.30种

【答案】C

【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题

【专题】计算题

【分析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计

数，最后三类求和即可得结果

【解答】解：第一类：三局为止，共有2种情形；

第二类：四局为止，共有2xC；=6种情形；

第三类：五局为止，共有2xC：=12种情形；

故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形

故选：C.

【点评】本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想

方法，属基础题

17.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是（）

A.恰好取到一件次品有C；C%不同取法

B.至少取到一件次品有C；C：7不同取法

C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有息不同取法

D.把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式

【答案】AC

【考点】排列、组合及简单计数问题

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A：在含有3件次品的10件产品中，任取2件，

恰好取到1件次品包含的基本事件个数为GC%,A正确，

对于B：至少取到1件次品包括两种情况：

只抽到一件次品，抽到两件次品，

所以共有至少取到一件次品有C；-C*7+Cl-Cl,3错误，

对于C：两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有7M不同取法，C正

确，

对于。：有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有

C^C^+Cf-Cl，Z）错误，

故选：AC.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

18.从1,2,3,4,7,9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多

少个对数值？

【考点】排列、组合及简单计数问题

【专题】分类讨论；定义法；排列组合；数据分析

【分析】根据对数的定义，分别讨论真数为1时，以及排除对数值相同的两个对数值即可.

【解答】解：若真数为1,此时对数值为0,此时有一个，

2,3,4,7,9,任取两个不同的数有若=20个对数值，其中log；=log；=2,

log；=logg=1,log；=log；,log；=log；,对数重复4个，

故总共有1+20-4=17个不同的对数值.

【点评】本题主要考查简单的计数问题，对应要进行分类讨论，去掉重复的是解决本题的关

键.比较基础.

19.如图，一环形花坛分成A,B,C,。四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块

【答案】B

【考点】等可能事件和等可能事件的概率

【专题】压轴题

【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别

种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果.

【解答】解：分三类：种两种花有种种法；

种三种花有2禺种种法；

种四种花有用种种法.

共有式+2A：+£=84.

故选：B.

【点评】本题也可以这样解：按。顺序种花，可分A、C同色与不同色有

4x3x(lx3+2x2)=84.

20.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，

且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是()

(XXDCXDO

A.12B.24C.30D.36

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题

【专题】50：排列组合

【分析】先涂前三个圆，再涂后三个圆.若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种

数.若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所

求.

【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆.

因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，

分两类，

第一类，前三个圆用3种颜色，后三个圆也用3种颜色，

若涂前三个圆用3种颜色，有用=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C；C；=4种方

法，

此时，故不同的涂法有6x4=24种.

第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，

若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C；C；=6种方法.

综上可得，所有的涂法共有24+6=30种.

故选：C.

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.

三.二项式定理

21.(1-2x)6的展开式的第3项为()

A.-120B.-120x2C.60D.60x2

【答案】D

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算

【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出(l-2x)6的展开式的第3项.

【解答】解：(l-2x)6的展开式的第3项为4=*・(-24=60f,

故选：D.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

22.二项式(x+1)"(〃eN*)的展开式中犬项的系数为15,则〃=()

A.4B.5C.6D.7

【考点】DA：二项式定理

【专题】34：方程思想；40：定义法；5P：二项式定理

【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出〃的值.

【解答】解：二项式(x+l)"(aeN*)的展开式中/项的系数为15,

C；=15,

即"("1)=15,

2

解得〃=6或，=一5(不合题意，舍去),

n的值是6.

故选：C.

【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题.

23.若(1+3幻"("€乂)的展开式中，第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为()

A.4B.27C.36D.108

【答案】D

【考点】二项式定理

【专题】方程思想；分析法；计算题；二项式定理；数学运算

【分析】利用C；=6求出〃，再利用展开式求出第四项.

【解答】解：展开式的第左+1项为几|=C>(3x)\

因为第三项的二项式系数为6,所以C；=6,解得〃=4.

所以第四项为C[(3无彳=108/.

故选：D.

【点评】本题考查二项式定理的展开式，属于基础题.

24.(l+x+x2)(i_x)i。的展开式中含丁的项为()

A.-85B.175C.-85x3D.175?

【答案】C

【考点】二项式定理

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算

【分析】将条件式子变形为(1-W°+尤(1-无尸+人(1-方。,求出(1-x尸的展开式，进一步

计算可得含有丁的项.

【解答】解：(1+X+X2)(1-X)10=(1-X)10+%(1-X)10+X2(1-%)10,

210

又(1-方°=Go+C；O(T)+Cf0(-x)++C1(T)9+C；：(―x),

3333

所以含%的项为1X(-x)+x•C*(-尤)2+尤2,c10(-%)=(-120+45-10)%=-85%.

故选：C.

【点评】本题考查了二项式定理中求指定项的问题，属于基础题.

2

25.(x+上)(x+y)5的展开式中的系数为()

x

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算

【分析】先把条件整理转化为求(/+>2)(x+丫彳展开式中//的系数，再结合二项式的展开

式的特点即可求解.

【解答】解：因为(X+L)(尤+y)5="+—+炉；

XX

要求展开式中X3/的系数即为求(X2+/)(%+y)5展开式中X4/的系数；

324

（丁+丁2）（芯+丁）5展开式含了4,3的项为:%2.窗/,y+y..y=15%/；

2

故（彳+*）。+〉）5的展开式中V了3的系数为15；

X

故选：C.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，

属基础题.

26.在（4+切”的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则〃=（）

A.6B.7C.8D.9

【考点】ZM：二项式定理

【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理

【分析】直接由题意得到C：=C；,再由组合数公式的性质得到〃值.

【解答】解：由（。+6）”的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，

得C：=C；,即“=1+5=6.

故选：A.

【点评】本题考查二项式系数的性质，考查了组合数公式的应用，是基础题.

27.已知二项