经济数学微积分 第4版 课件 2-6 中值定理

一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理四、小结三、柯西中值定理2.6中值定理经济数学——微积分一、罗尔定理例1使

如果函数y=f(x)(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,

(3)f(a)=f(b)则至少存在一点ξ∈(a,b),使得函数在该点的导数等于零，即

f'(ξ)=0

定理几何解释:AB如果在闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)上每一点（除端点外）处都有不垂直于x轴的切线，且两个端点A、B的纵坐标相等，那么曲线y=f(x)上至少存在一点C，使曲线在C处的切线与x轴平行，即导数为0.例如,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立，也可能成立.定理中的条件是充分非必要的.但f(-1)≠f(2)，虽不满足罗尔定理的部分条件，但也有f'(0)=0.例如,f(x)=x2在[-1,2]上连续，在(-1,2)内可导，例2证明方程x3+x-1=0有且只有一个小于1的正实根.证有——存在性，只有一个——唯一性(1)设f(x)=x3+x-1，f(x)在[0,1]上连续，f(0)=-1,f(1)=1，由零点定理，在(0,1)内至少存在x1,使f(x1)=0,即x1为小于1的正根.(2)用反证法.假设x2∈(0,1),x2≠x1,f(x2)=0易验证，f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上满足罗尔定理.则在该闭区间上存在ξ使f'(ξ)=0,而f'(x)=3x2+1>0,矛盾因此，f(x)在(0,1)上不可能有两个不相等的实根.综上，命题得证.二、拉格朗日中值定理

如果函数y=f(x)(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得定理例如,在[0,3]上连续，在(0,3)内可导在x=3/2处，恰有f'(3/2)=[f(3)-f(0)]/3=1几何解释:思路分析:弦AB方程为作辅助函数注意:(1)式表明，闭区间上的平均变化率一定等于区间内某点的瞬时变化率，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.证(1)(2)拉格朗日中值公式(2)式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.F(x)满足罗尔定理的条件拉格朗日中值定理又称有限增量定理.由于其在微分学中的重要地位，也称为微分中值定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1推论2若则证由推论1，如果函数f(x)在区间I上的导数恒等于0，那么f(x)在区间I上为常数，即f(x)=C(C为常数).例3证又f(x)在x=±1处连续，f(±1)例4证明时，设则至少存在一点使得证即满足微分中值定理的条件.在[0,x]上，f(x)（本题还可以利用函数的单调性证明）例5证思考：本题的闭区间的选择有无其他方案？三、柯西中值定理

如果函数f(x)、g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g'(x)≠0，那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得当g(x)=x时，柯西中值定理即为拉格朗日中值定理.柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.定理几何解释:证*作辅助函数四、小结

R