第六章 平面向量及其应用小结 教学设计 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计

课程基本信息课题第六章平面向量及其应用小结教学目标1.复习巩固平面向量在平面几何和物理中的应用，掌握通过数学建模解决实际问题的基本方法，培养学生的直观想象、数学建模、逻辑推理和数学运算素养2.进一步熟悉应用正余弦定理解三角形问题的基本方法和技巧，并体会化归与转化的数学思想在这一问题中的应用。教学内容教学重点：1.复习巩固平面向量在平面几何和物理中的应用，熟悉数学建模的基本步骤2.进一步熟悉应用正余弦定理解三角形问题的基本方法和技巧教学难点：学会通过数学建模将较为复杂的平面几何问题和物理实际问题转化为向量问题来完成教学过程课程导入图片引入，激发学生的学习兴趣向量来源于生活，向量理论具有丰富的物理背景和深刻的数学内涵。通过6.4节的学习，我们知道可以应用向量这个工具解决一些简单的平面几何问题、物理问题，以此提升我们的直观想象、数学建模，逻辑推理和数学运算素养。这节课，我们主要复习本章第四节的内容即平面向量的应用复习巩固问题1：请同学们梳理本节知识结构向量的应用包括：1.平面几何中的向量方法2.向量在物理中的应用3.正余弦定理及其应用问题2：用向量方法可以解决平面几何和物理中的哪些问题？利用向量可以解决平面几何中长度、角度的计算问题以及两直线平行和垂直关系的判断问题利用向量可以计算力对物体所做的功，位移以及速度的合成与分解例1：在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=600,BC，AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求∠MPN的余弦值追问1：用什么方法求∠MPN的余弦值呢？我们可以先求的夹角的余弦值追问2：求两个向量夹角的余弦值要先计算什么？又设M,N分别是BC,AC的中点，则AM,BN分别是△ABC中BC,AC边上的中线，并且所以，∠MPN的余弦值为由于向量能够运算，通过数学建模，我们把原本较为复杂的思辨过程转化为较为简单的运算过程，降低了思考问题的难度，让我们感受到向量在解决某些平面几何问题中的优势请你归纳数学建模的基本步骤(1)将实际问题转化为向量问题(2)进行向量运算(3)回归到实际问题例2：一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正方向并且与B相距m的码头C处卸货。若水流的速度与小船航行速度的合速度的大小为6km/h，则当小船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小船航行速度的大小追问1：请你尝试将此实际问题转化为向量问题追问2：如何求合速度的方向？追问3：要使小船的航程最短，小船航行的合速度应该是什么方向？求小船航行速度的大小需要转化为哪个向量的模？AABC250小船航行速度的大小即为的模所以小船的航程最短时，合速度的方向为北偏西600，小船的航行速度的大小为km/h结论：向量来源于生活向量服务于生活追问1：用正余弦定理化简条件等式常采取的手段是什么？追问2：本题中的条件等式有何特征，怎么化简？追问3：应用正余弦定理解三角形问题的常用办法有哪些以及体现了什么数学思想？总结：边角关系化角边角关系化边化归与转化的数学思想课堂小结：1.物理问题几何问题--------向量方法2.数学建模的基本步骤（1）将实际问题转化为向量问题（2）进行向量运算（3）回归到实际问题3.用正余弦定理解三角形问题的常用办法（1）边角关系化角边角关系化边（2）化归与转化的数学思想课后作业：如图，为了测量两山顶M,N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅锤平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中指出）；②用文字和公式写出计