2024年新高考数学一轮复习-圆的方程（学生版）

专题50圆的方程

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

【考点预测】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

标圆心C〈a,一

(X—a)2+(y—Z?)2=r(r>0)

准半径为二

方

圆心(J一§

程

x+y+Ey+F=0(1^+—4F>0)

般

半径力+万一4尸

2.点与圆的位置关系

平面上的一点〃(xo,㈤与圆C：(x—a)?+(y—人尸二步之间存在着下列关系：

(1)仞7|＞X=＞〃在圆外,即(荀一a”+(%—在圆外；

(2)|MC\在圆上,即(为一a)，+(%—6)2=封台〃在圆上；

(3)|加1＜代＞〃在圆内,即(刘一a)?+(%—方＞在圆内.

【常用结论】

1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为/+/=/

2.以A(xi,yi),3{X2,㈤为直径端点的圆的方程为(x—XI)•(x—兹)+(y—%)(y—㈤=0.

【方法技巧】

1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在

过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共

线；

(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.

2.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结

合求解.

(2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法.

①形如〃=口型的最值问题，可转化为过点(a,6)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；

x-a

②形如(X—a)?+(y—6)2型的最值问题，可转化为圆上动点到定点(a,6)的距离的平方的最值问题.

3.求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；

(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；

⑷代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

二、【题型归类】

【题型一】圆的方程

【典例1］已知圆〃与直线3x—4y=0及3x—4y+10=0都相切，圆心在直线y=—x—4上，则圆〃的方程

为()

A.(x+3)~+(y—1)2=1B.(x—3)2+(y+1)2=1

C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(X—3)?+5—1)2=1

【典例2】已知圆的圆心在直线X—2y—3=0上，且过点4(2,-3),庾一2,—5),则圆的一般方程为

【典例3】已知圆£经过三点4(0,1),6(2,0),C(0,-1),则圆£的标准方程为()

A.|)+/=,B.0+|)+/=||

【典例1】已知〃(x,y)为圆C：V+/—4x—14y+45=0上任意一点，且点0(—2,3).

⑴求1嗣的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值；

(3)求y—x的最大值和最小值.

【典例2】设点Rx,力是圆(x—3>+/=4上的动点，定点力(0,2),6(0,—2),则|行+无］的最大值为

【典例3】(多选)若户是圆C：(x+3)2+(y—3)2=1上任一点，则点户到直线尸履一1距离的值可以为()

A.4B.6

C.3-\/2+1D.8

【题型三】与圆有关的轨迹问题

【典例1】设定点〃(一3,4),动点儿在圆f+/=4上运动，以。如为邻边作平行四边形掰勿庐，求点尸

的轨迹方程.

【典例2］已知Rt4/回的斜边为9且/(一1,0),以3,0),求:

（1）直角顶点C的轨迹方程；

（2）直角边切的中点〃的轨迹方程.

【典例3】已知线段的端点6的坐标为（8,6）,端点/在圆C：9+/+4x=0上运动，求线段四的中点

产的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.

三、【培优训练】

【训练一】（2023秋•高二单元测试）已知A（2,0）,点户为直线无->+5=0上的一点，点。为圆/+；/=1

上的一点，则|PQ|+；|AQ|的最小值为（）

.572+2口5A/2-2„1172n11点

2224

【训练二】（2024•安徽黄山•屯溪一中校考模拟预测）图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时

的嘴唇可看作半径为1的圆。的一段圆弧E,且弧E所对的圆周角为I.设圆C的圆心C在点。与弧E中点

的连线所在直线上.若存在圆C满足：弧E上存在四点满足过这四点作圆。的切线，这四条切线与圆C也相

切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为（）

A.（0,^-1]B.（0,6]

C.（0,A/5-1）D.（0,75）

【训练三】（多选题）（2024•江西•校联考模拟预测）加斯帕尔•蒙日（图1）是18〜19世纪法国著名的

几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.

22

我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆C：工+匕=1的左、右焦点分别为月，4，点P，

43

。均在。的蒙日圆。上，PA,依分别与。相切于A,B,则下列说法正确的是（

A.C的蒙日圆方程是f+y2=4

B.设N（l,l）,则|4V|+|A闾的取值范围为［4-上,4+君］

C.若点尸在第一象限的角平分线上，贝I直线A8的方程为3g+4而y-24=0

D.若直线尸。过原点。，且与C的一个交点为G,|G耳卜仁耳|=3,则|GH-|GQ|=4

UUU

【训练四】（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知向量。4,O8,OP满足|。4|=1,|。8|=2，

OA-OB=0，。尸=404+〃。反则下列说法正确的是（）

A.若点尸在直线上运动，当初取得最大值时，|。尸|的值为行

B.若点尸在直线四上运动，在。尸上的投影的数量的取值范围是（-

C.若点尸在以r=手为半径且与直线46相切的圆上，|。门取得最大值时，几+〃的值为3

D.若点尸在以r=半为半径且与直线相切的圆上，力+〃的范围是［-1,3］

【训练五】（2023•江苏无锡•辅仁高中校考模拟预测）已知A8,r＞三点在圆C:（x+2）2+y2=36上，△ABD

的重心为坐标原点。，则△ABD周长的最大值为.

【训练六】（2023•重庆万州•统考模拟预测）设抛物线ay2=2px（p＞。）的焦点为尸,点尸（。,4）在抛物

线。上，POF（其中。为坐标原点）的面积为4.

（1）求LPOF外接圆的方程；

⑵若过点（1,0）的直线/与抛物线。交于4B两点,延长力片即分别与抛物线。交于〃，“两点，证明：直

线腑过定点，并求出此定点坐标.

四、【强化测试】

一、单选题

1.（2023•北京•模拟预测）当圆。:f+丫2-4彳+6丫一3=0的圆心到直线/:癖+y+加一1=0的距离最大时,

m=（）

A.-B.-C.--D.--

4343

2.（2023•全国•高三专题练习）己知4（-2,0）,3（2,0）,点户满足|巳4「+忸砰=16,直线

Z:（/w+l）x-y+l-3/n=0（meR）,当点户到直线/的距离最大时，此时加的值为（）

4173

A.-B.-C.——D.——

3344

3.（2023•全国•高二专题练习）已知点”（1,3）在圆C:/+y2=〃7上，过M作圆C的切线/,贝心的倾斜

角为（）

A.30B.60C.120D.150

4.（2023•江西•校联考一模）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus,公元3世

纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直

线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线4,4,4,且4,4均与4垂

直.若动点〃到44的距离的乘积与到4的距离的平方相等，则动点〃在直线44之间的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

5.（2023•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知A（3,O）,3（0,。（”0）,若该平面中不存在

点尸，同时满足两个条件|以『+2|PO|2=12与归。|=夜|冏，则f的取值范围是（）

6.（2023春•四川宜宾•高二校考阶段练习）已知圆q：（x+3『+y2=i,圆Q：（x-l）2+/=1,过动点产

分别作圆。I、圆的切线为,PB（A,8为切点），使得|PA|=0|PB|,则动点户的轨迹方程为（）.

22

A.土+二=1B.炉=4〉

95

r2

C.D.（x-5）+/=33

7.（2023•全国•高二专题练习）已知直线y+l=%（%-2）与圆（％—l）2+（y_i）2=9相交于必N两点.则|MN|

的最小值为（）

A.#B.2&C.4D.6

8.（2023•河北邢台•校联考模拟预测）已知点P（0,4）,圆M:（x-4）2+y2=i6,过点N（2,0）的直线/与

圆M交于A,3两点，则|总+尸耳的最大值为（）

A.80B.12C.6也D.9近

二、多选题

9.（2023春•江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习）已知抛物线C:f=4y的焦点为尸，直线乙，

4过点/与圆E：（x-2y+y2=l分别切于A,B,两点，交C于点M,N和P,Q,贝U（）

A.C与E没有公共点

B.经过尸，A,3三点的圆的方程为尤2+y2-2x-y=0

C.网=¥

D.\MN\+\PQ\=^

10.（2023春•江苏南京•高二金陵中学校考期中）已知圆C过点A（l,3）,3（2,2）,直线位3x-2y=O平

分圆C的面积，过点。（0,1）且斜率为A的直线/与圆。有两个不同的交点弘儿则（）

A.圆心的坐标为C（2,3）

B.圆C的方程为（x-2y+（y_3）2=l

C.A的取值范围为、,g]

D.当A=g时，弦腑的长为乎

11.（2023•全国•高三专题练习）己知圆C:（x—2）2+[y—|）=/，点A（O,1）,5（4,4）,点〃在x轴上，则

（）

A.6不在圆C上B.y轴被圆C截得的弦长为3

C.A,B,。三点共线D.N/UWB的最大值为g

12.（2023•全国•模拟预测）在平面直角坐标系中，圆C的方程为/+丁-2卜-1=0,若直线y=xT上存

在一点弘使过点〃所作的圆的两条切线相互垂直，则点〃的纵坐标为（）

A.1B.百C.-1D.-如

三、填空题

13.(2023春•上海闵行•高三上海校考阶段练习)已知动圆N经过点4(-6,0)及原点0,点尸是

圆N与圆M:V+(,-4)2=4的一个公共点,则当/OPA最小时，圆N的半径为.

14.(2023•内蒙古赤峰•校联考一模)己知圆的圆心在直线x—2y—3=0上，且过点/(2,—3),6(—2,

-5),则圆的一般方程为.

15.(2023•全国•高三专题练习)过点尸(4,5)作圆C:(x-l)2+(y-2)2=4的两条切线，切点分别为A8,

则AB的直线方程为.

16.(2023春•江苏南京•高二校考期末)直线/经过点P(2,-3),与圆C:Y+y2+2x+2y-i4=0相交截得

的弦长为2近，则直线/的方程为.

四、解答题

17.(2023秋•山东临沂•高二山东省临沂第一中学校考期末)已知直线/经过两条直线2彳-〉-3=0和

4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直.

(1)求直线/的一般式方程；

(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线/被该圆所截得的弦长为2应，求圆C的标准方程.

18.(2022•全国•高一专题练习)点N(%,%)是曲线「小+外2=1上任一点，已知曲线「在点处

的切线方程为"°x+Z%y=l.如图，点户是椭圆C:5+y2=l上的动点，过点户作椭圆C的切线/交圆

。:/+丁2=4于点4B,过/、6作圆。的切线交于点”.

⑴求点〃的轨迹方程；

⑵