江苏省苏州昆山、太仓市2024届中考数学最后一模试卷含解析

江苏省苏州昆山、太仓市2024届中考数学最后一模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣22．3的相反数是（）A．﹣3 B．3 C． D．﹣3．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．4．若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37根的情况是（）A．无实数根B．有两个正根C．有两个根，且都大于﹣3mD．有两个根，其中一根大于﹣m5．为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）中位数众数平均数方差9.29.39.10.3A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差6．下列实数中，无理数是（）A．3.14 B．1.01001 C． D．7．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，则不等式的解集为（）A．x＞2 B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞48．九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是()A． B．C． D．9．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（）A． B． C． D．10．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B．C． D．11．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（）A．1 B． C．2 D．12．下列各式计算正确的是（）A．a+3a=3a2 B．(–a2)3=–a6 C．a3·a4=a7 D．(a+b)2=a2–2ab+b2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．使有意义的的取值范围是__________．14．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．15．函数，当x＜0时，y随x的增大而_____．16．若点（，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则=_______．17．如图，在中，，，，，，点在上，交于点，交于点，当时，________．18．若分式a2-9a+3三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲车间加工时间x（天），y与x之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）所示．（1）甲车间每天加工零件为_____件，图中d值为_____．（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式．（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？20．（6分）如图,已知CD=CF,∠A=∠E=∠DCF=90°,求证:AD+EF=AE21．（6分）(1)计算：3tan30°+|2﹣|+（）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018.(2)先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x=，y=﹣1.22．（8分）2018年春节，西安市政府实施“点亮工程”，开展“西安年·最中国”活动，元宵节晚上，小明一家人到“大唐不夜城”游玩，看美景、品美食。在美食一条街上，小明买了一碗元宵，共5个，其中黑芝麻馅两个，五仁馅两个，桂花馅一个，当元宵端上来的时候，看着五个大小、色泽一模一样的元宵，小明的爸爸问了小明两个问题：（1）小明吃到第一个元宵是五仁馅的概率是多少？请你帮小明直接写出答案。（2）小明吃的前两个元宵是同一种馅的元宵概率是多少？请你利用你列表或树状图帮小明求出概率。23．（8分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长.24．（10分）已知平行四边形．尺规作图：作的平分线交直线于点，交延长线于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；在（1）的条件下，求证：．25．（10分）如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的长为；（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，tanB，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、E，得到DE弧．（1）求证：AB为⊙C的切线．（2）求图中阴影部分的面积．27．（12分）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°画出旋转之后的△AB′C′；求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解析】

根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．【详解】解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，由上可得，m的值为0或2或﹣2，故选：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．2、A【解析】试题分析：根据相反数的概念知：1的相反数是﹣1．故选A．【考点】相反数．3、A【解析】

根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4、A【解析】

先整理为一般形式，用含m的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.【详解】方程整理为，△，∵，∴，∴△，∴方程没有实数根，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5、A【解析】

根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．【详解】如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．故选A．点睛：本题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．6、C【解析】

先把能化简的数化简，然后根据无理数的定义逐一判断即可得．【详解】A、3.14是有理数；B、1.01001是有理数；C、是无理数；D、是分数，为有理数；故选C．【点睛】本题主要考查无理数的定义，属于简单题．7、C【解析】

看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【详解】∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，∴不等式(kx+b)(mx+n)＞0的解集为﹣1＜x＜4，故选C．【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．8、C【解析】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．考点：由实际问题抽象出分式方程．9、A【解析】分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2，然后化简即可．详解：连接OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2=．故选A．点睛：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．10、A【解析】

画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．【详解】这个几何体的主视图为：故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．11、B【解析】

连接AG、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．【详解】解：连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故=．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形的性质，正确作出辅助线是关键．12、C【解析】

根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式逐项计算即可.【详解】A.a+3a=4a，故不正确；B.(–a2)3=（-a）6，故不正确；C.a3·a4=a7，故正确；D.(a+b)2=a2+2ab+b2，故不正确；故选C.【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、【解析】

根据二次根式的被开方数为非负数求解即可.【详解】由题意可得：，解得：.所以答案为.【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.14、1【解析】

由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，即，解得：AB==1（米）．故答案为1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．15、减小【解析】

先根据反比例函数的性质判断出函数的图象所在的象限，再根据反比例函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵反比例函数中，∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小.故答案为减小.【点睛】考查反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，图象在第一、三象限.在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限.在每个象限，y随着x的增大而增大.16、．【解析】

∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴==．故答案为．考点：关于原点对称的点的坐标．17、1【解析】

如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=1：4：5，设PQ=4x，则AQ=1x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+1x=1，求出x即可解决问题．【详解】如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ．∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=1：4：5，设PQ=4x，则AQ=1x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+1x=1，∴x=，∴AP=5x=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．18、1．【解析】试题分析：根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．试题解析：∵分式a2∴a2解得a=1．考点：分式的值为零的条件．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、80770【解析】

（1）由图象的信息解答即可；（2）利用待定系数法确定解析式即可；（3）根据题意列出方程解答即可．【详解】（1）由图象甲车间每小时加工零件个数为720÷9=80个，d=770，故答案为：80，770（2）b=80×2﹣40=120，a=（200﹣40）÷80+2=4，∴B（4，120），C（9，770）设yBC=kx+b，过B、C，∴，解得，∴y=130x﹣400（4≤x≤9）（3）由题意得：80x+130x﹣400=1000，解得：x=答：甲车间加工天时，两车间加工零件总数为1000件【点睛】一次函数实际应用问题，关键是根据一次函数图象的实际意义和根据图象确定一次函数关系式解答．20、证明见解析.【解析】

易证△DAC≌△CEF，即可得证.【详解】证明：∵∠DCF=∠E=90°,∴∠DCA+∠ECF=90°,∠CFE+∠ECF=90°,∴∠DCA=∠CFE,在△DAC和△CEF中：,∴△DAC≌△CEF(AAS),∴AD=CE,AC=EF,∴AE=AD+EF【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.21、(1)3；(2)x﹣y，1．【解析】

（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）3tan30°+|2-|+（）-1-（3-π）0-（-1）2018=3×+2-+3-1-1，=+2−+3-1-1，=3；（2）（x﹣）÷，=，==x-y，当x=，y=-1时，原式=−+1=1．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．22、（1）;（2）.【解析】

（1）根据概率=所求情况数与总情况数之比代入解得即可.（2）将小明吃到的前两个元宵的所有情况列表出来即可求解.【详解】（1）5个元宵中，五仁馅的有2个，故小明吃到的第一个元宵是五仁馅的概率是；（2）小明吃到的前两个元宵的所有情况列表如下（记黑芝麻馅的两个分别为、，五仁馅的两个分别为、，桂花馅的一个为c）：由图可知，共有20种等可能的情况，其中小明吃到的前两个元宵是同一种馅料的情况有4种，故小明吃到的前两个元宵是同一种馅料的概率是.【点睛】本题考查的是用列表法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为:概率=所求:情况数与总情况数之比.23、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）直接利用直角三角形的性质得出，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，，得出DB的长，进而得出EC的长.【详解】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴.∴∠1＝∠2.∵DE∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴BD平分∠ABC.（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°.∴∠3＝∠2＝60°.∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°.∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°.在Rt△BCD中，∠3＝60°，，∴DB＝2.∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2.∴.【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键.24、（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠1．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠1，据此可得出结论．试题解析：（1）如图所示，AF即为所求；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠1．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠1，∴CE=CF．考点：作图—基本作图；平行四边形的性质.25、（4）4；（2）；（4）点E的坐标为（4，2）、（，）、（4，2）．【解析】分析：（4）过点B作BH⊥OA于H，如图4（4），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图4（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（4）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．详解：（4）过点B作BH⊥OA于H，如图4（4），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，∴tan∠BAH==4，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．故答案为4．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图4（2）．由（4）得：OH=2，BH=4．∵OC与⊙M相切于N，∴MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．∵BC⊥OC，OA⊥OC，∴BC∥MN∥OA．∵BM=DM，∴CN=ON，∴MN=（BC+OD），∴OD=2r﹣2，∴DH==．在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∴BD2=BH2+DH2，∴（2r）2=42+（2r﹣4）2．解得：r=2，∴DH=0，即点D与点H重合，∴BD⊥0A，BD=AD．∵BD是⊙M的直径，∴∠BGD=90°，即DG⊥AB，∴BG=AG．∵GF⊥OA，BD⊥OA，∴GF∥BD，∴△AFG∽△ADB，∴===，∴AF=AD=2，GF=BD=2，∴OF=4，∴OG===2．同理可得：OB=2，AB=4，∴BG=AB=2．设OR=x，则RG=2﹣x．∵BR⊥OG，∴∠BRO=∠BRG=90°，∴BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2，∴（2）2﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2．解得：x=，∴BR2=OB2﹣OR2=（2）2﹣（）2=，∴BR=．在Rt△ORB中，sin∠BOR===．故答案为．（4）①当∠BDE=90°时，点D在直线PE上，如图2．此时DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t．则有2t=2．解得：t=4．则OP=CD=DB=4．∵DE∥OC，∴△BDE∽△BCO，∴==，∴DE=2，∴EP=2，∴点E的坐标为（4，2）．