广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷(含答案)

广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.某市高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N075,52）.现随机选择一

名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（）（参考数据：

P（//-cr<x<〃+cr卜0.6827）

A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.15865

2.在△ABC中,5=30。*=2,0=2也，则角A的大小为（）

A.45°B.135。或45。C.15°D.105。或15。

3.已知｛叫是等比数列,a3a5=8%，且。2，。6是方程尤2-34x+w=0两根，则m=（）

A.8B.-8C.64D.-64

4.已知角c的终边上有一点则cos[]+a）=（）

22

5.设耳,工为双曲线C：3=1（。>0/>0）的左、右焦点，点A为双曲线的左顶点,

ab

以耳鸟为直径的圆交双曲线C的渐近线于MN两点，且点分别在第一、三象限，若

7

NK4N=：兀，则双曲线的离心率为（）

A.姮B.V21C.叵D.A/15

33

6.已知（l+x）4+（i+%）5++（1+X）"=%+4（2+尤）+。2（2+尤）2++知（2+尤）”,则

aQ+a7+a4++％。的值是（）

A.680B.-680C.1360D.-1360

7.已知9名女生的身高平均值为162（单位：cm）,方差为26,若增加一名身高172（单

位：cm）的女生，则这10名女生身高的方差为（）

A.32.4B.32.8C.31.4D.31.8

8.物理学家本・福特提出的定律：在6进制的大量随机数据中，以〃开头的数出现的概

率为Pb（„）=log,金.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错

n

误.若£见（“）=产竺（此N*）,则左的值为（）

v

自l+log25'

A.7B.8C.9D.10

二、填空题

9.下列说法正确的是（）

A.z-z=|z|2,zeC

B.i2024=-1

C.若忖=1,2GC,则|z-2|的最小值为1

D.若-4+3i是关于x的方程£+px+q=0（p,qeR）的根，则p=8

：

10.已知函数/（x）=sin^2a>x++s^n-+cos2〉0）,则下列结论

正确的是（）

A.若/（%）相邻两条对称轴的距离为]，则（0=2

B.当o=l,xe时,/（%）的值域为[—百,2]

C.当0=1时,八％）的图象向左平移:个单位长度得到函数解析式为y=2cos[2x+《]

D.若/（x）在区间05上有且仅有两个零点，则5W0<8

11.已知曲线E:胆+组=1,则下列结论正确的是（）

48

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为[-2,2]

C.曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第二象限

D.M（%,为）是曲线E上任意一点，则1J%。+y0|的取值范围为（0,4]

12.已知向量a=（1,0）力=（1,1）,若。+劝与b垂直，则4=1.

13.函数/（%）的定义域为R,对任意的和,恒有

71

f(x+y)=f(x)f--X/(y)成立.请写出满足上述条件的函数的一个

解析式

三、双空题

14.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得

到的(如图)，则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么该几何体

的表面积是cm2.

四、解答题

15.如图,四边形ABCD是圆柱底面的内接矩形，以是圆柱的母线.

⑴证明：在侧棱尸。上存在点E,使PBH平面AEC-,

(2)在(1)的条件下，设二面角£)-AE-C为60。,/皿=1,4。=6,求三棱锥£-4。>的体

积.

16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的

干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为

收至U0的概率为1—1：发送1时，收到0的概率为乃(0</<1),收到1的概

率为l-尸.假设发送信号0和1是等可能的.

(1)已知接收的信号为1,且。=0.1,，=0.05,求发送的信号是0的概率；

(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次

传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收

到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收

到1,0,1,则译码为1）.已知发送1,若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传

输方案译码为1的概率，求4的取值范围.

22/T

17.已知椭圆E:左+3=1（。〉6〉0）的离心率是学过点M（2,0）的动直线I与椭圆相

交于A,3两点,当直线/与x轴垂直时，直线/被椭圆E截得的线段长为手.

⑴求椭圆E的方程；

⑵是否存在与点”不同的定点N,使得"=」竺恒成立?若存在，求出点N的坐标；若

12VBMB

不存在，请说明理由.

18.已知关于x的方程=〃z（meR）有三个根,分别为花，了2，£,且王<%<七.

（1）求m的取值范围；

⑵设”-2,证明：/随着/的增大而减小.

19.将2024表示成5个正整数%],%2，*3，尤4，天之和，得到方程%+4+演+》4+/=2024

①，称五元有序数组（%,马，不，%%）为方程①的解，对于上述的五元有序数组

（%,兀2，％3，为4，兀5），当1±.，/<5时,若11^（匕-勺）=«/62,则称（石,毛,七,％4，$）是/-密集

的一组解.

⑴方程①是否存在一组解（%,%2，&，斗为5），使得%+1-匕（，=1,2,3,4）等于同一常数?若存

在，请求出该常数；若不存在,请说明理由；

（2）方程①的解中共有多少组是"密集的？

5

⑶记S=2x；,问s是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在,请说明理由.

1=1

参考答案

1.答案：D

解析：由题意,〃=175,0=5,

JIP（//-cr<x<//+cr）«0.6827,

所以P（XW170）=P（XW〃—b）J=o15865.

故选：D.

2.答案：D

解析：由题意知△ABC中,5=30。,6=2,°=2拒,

,rbc口口.「csinB20xsin30V2

故---,即smC==

sinBsinC----------------b-------------2T

由于c>仇故。>5=30。,则C=45。或135。，

故A的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°,

故选：D.

3.答案：C

解析：因为｛4｝是等比数歹U,所以%%=裙，%。6=*又a3a5=8%，所以。4=8,

又的，&是方程f-34%+/找=0两根，

所以根=a。％=若=64.

故选：C.

4.答案：A

解析：由题意知角a的终边上有一点P,得，则|OP|=+图=1,

4,兀)4

故sina=—，则cos—+a=-sintz=——,

512)5

故选：A.

5.答案：C

b

解析：根据已知条件，双曲线的渐近线方程为y=交于M、N两点，

a

以耳耳为直径的圆的方程为V+J?=,2,直线与圆方程联立有：『一

%2+y2=c2

解得X?=/，彳=土々,所以丁=坊，所以Af(a,b),N(—a,—b),

所以Ml垂直于x轴，设3为双曲线右顶点,MB垂直于x轴，所以NM10=',

2

又因为NMAN=2兀，所以/朋40=工所以tanC=2=^,b=228a,

3662a33

所以°?=/+/=/+(9q]=工/,所以3=2.，即e=£=叵.

(313a23a3

故选：C.

6.答案：B

:令x=-1,贝[10=%+%+。,++%]，即+q+/++。口=0

令"%=_3,则（—2）+（—2j++（—2）=%—q+%—/+,-,

即/-«ii=（-2）4[1~（~2）8]=-1360,

1一（一2）

两式相力口可得%+/+%++%o=--———680,

故选：B.

7.答案：A

i=9i=9

解析：令9名女生的身高为q.（QN*,，<9）,依题意=9x162,Z（q-162）2=9x26,

Z=1Z=1

1i=91

因此增加一名女生后身高的平均值为上（W>,+172）=±（9x162+172）=163,

10i=i10

所以这10名女生身高的方差为

1i=91i=9

—[^(a,.-163)2+Q72-163)2]=—-162)-I]2+81}

1UZ=11Ut

1i=91

=一{£[(q-162)2-2(4—162)+9]+81}=—(9x26+9+81)=32.4•

10i=]10

故选：A.

8.答案：C

解析：£/(〃)=几(左)+4(左+1)++/(80)=lgT+炮1:++ig=ig

MkK+180k

lg8141g3

ffi?Jog18£=J^4=2

l+log251+lg51+lg5

lg2lg2

故选：C.

9.答案：ACD

解析：对于A,zeC,设复数z=a+历，(a,Z?eR),则5=a-历，(a,Z?eR),|z|=1a2+>',

故z•彳=(a+bi)(a—bi)=a2+b2=|z|*,A正确;

对于B,由于I?=-1，=1,故i.=胃)5。6=1,B错误;

对于C,zeC,设z=x+yi,(x,yeR),由于目=1,则，4+J，=1,/+/=1,

故|z-2|=7(x-2)2+y=7(X-2)2+1-X2=J-4x+5,

由/+/=1,得—iwxwi,则-4x+5»i,

故当x=l时,|z-2|的最小值为1,C正确;

对于D,-4+3i是关于%的方程d+px+q=0（p,qeR）的根,

故(一4+3i)2+p(-4+3i)+q=0(p,qeR),即7—4p+q+(3p_24)i=0,

故—。p=8

,D正确,

<q=25

故选：ACD.

10.答案：BCD

解析：f(x)=sin2a)x+—+sin2a)x--+2\/3cos2OX-A/3

.c兀c•兀•c兀

二sinz^xcos—+cos2Gxsm—+sin2scos—-cos2ssin三+Gcos2a)x

333

=sin2ox+^3cos2s二2sinI2口%+三1,

对于A,若相邻两条对称轴的距离为工则T=2XEF=2L，故/=1,A错误,

222co

对于B,当①=l,/(x)=2sin(2x+/1,当XE0,^-时,2尤+：£

则/(%)的值域为[-6,2],B正确，

对于C,当°=1J(x)=2sin12x+/],

”司的图象向左平移聿个单位长度得到函数解析式为

/^x+^=2sin2(%+己)+m=2sin(2x+g)=2cos(2x+W),C正确,

对于D,当xe%时，2妙++洛+：

若“可在区间0*上有且仅有两个零点，则2兀＜2co-+-＜3兀，解得54。＜8,故口正

63

确，

故选：BCD.

11.答案：AD

解析：因为曲线E:――+JJ-=1,

48

2222

当龙之0,y20时L+2L=1,则曲线石为椭圆土+乙=1的一部分；

-4848

2222

当龙＞0,y＜0时土-乙=1,则曲线E为双曲线土-乙=1的一部分,

-4848

且双曲线的渐近线为y=+^2x；

2222

当尤＜0,y〉0时^——=1,则曲线E为双曲线^——=1的一■部分,

-8484

且双曲线的渐近线为y=士亚x；

可得曲线的图形如下所示:

由图可知y随着x增大而减小，故A正确；

曲线E的横坐标取值范围为凡故B错误；

因为-1.4〉-逝，所以曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第四象限，故C错误；

因为|也c0+%卜gxI2「即点”(为,%)到直线后+3=0的距离的G倍,

小可+F

当直线为+y+c=0与曲线二+匕=1（转0,丁20）相切时,

48

「22

土+匕=1

由48，消去y整理得4f+20B+C2—8=0,

A/2X+y+c=0

贝必=（2⑸2_16卜2_8）=0，解得C=4（舍去）或c=-4,

又也x+y=0与y/2x+y—4=0的是巨离d=,'==

g+F

所以%o+%|=y/3d=4,

IImax

所以|属0+y0|的取值范围为（0,4],故D正确；

故选：AD.

12.答案：-，/_0.5

2

解析：因为a=(1,0)/=(1,1)，所以a+劝=(1+4X),

故答案为：一

13.答案：/(x)=sinx(答案不唯一)

解析：依题意不妨令/(x)=sinx,

贝U/(x+y)=sin(x+y)=sin%cosy+cosxsiny,

又/(x)/l-yYfT~x=sinxsinjUsin^-xjsiny

=sinxcosy+cosxsiny,

所以/(》+丁)=/(》)/(今一"+/1"|-'|/。),故/(力=5近］符合题意.

同理可证明/(x)=sin5x,/(x)=sin9x,-,也符合题意.

故答案为：/(x)=sinx(答案不唯一).

14.答案：14；10800+360073

解析：由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥,8个底面三角形，

再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；

如果被截正方体的棱长是60cm,那么石凳的表面积是

S=8义g义300x3072xsin60°+6x3072x30底=(10800+360073)(cm2

故答案为：14,10800+360073.

15.答案：(1)证明见解析

⑵3

8

解析：⑴取的中点E,连接交AC于。，连接E0,

因为ABCZ)为矩形，所以。为5。的中点，

所以EO//PB，又EOu平面AEC,Pfia平面AEC,

所以P5〃平面AEC,

(2)设=中>0)，如图建立空间直角坐标系，则

4(0,0,0),。卜,百,0),£>(0,6,0),E0，5*，

、

1

所以AC=，,6,O),AD=(O,6,O),AE=u,—,—

22

7

又平面ADE的法向量可以为〃=(1,0,0),设平面AC£的法向量为加=(x,y,z),

m・AC=比+6y=0

则、hI，取m=(G,T,®),

m-AE=—y+—z=0

I22

m-n\解得人|(负值舍去),

因为二面角。—AE—C为60。,所以cos6(r=」a=尸

m-n.3+4产

3

所以AB=CZ)=—,

2

又点E至U平面ACD的距离d=-PA=-,

22

所以VE-ACD=~S^ACDd

J=9J4；Z=go.

7

16.答案：(1)—

21

⑵o<y

解析：(1)设A：发送的信号为1,3：接收到的信号为1,

则N：发送的信号为0,耳：接收到的信号为0,

则尸网=P(Z)=g,尸(6|A)=0.95,P(例可=0.1,

故P(B)=P(ABAB)=P(AB)+P(AB)

=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.5x0.95+0.5x0.1=0.525,

故「冈/5、）=篇Pp（AB\=」尸伍4）齐0.5x0」_2

0.525-II

（2）采用三次传输方案译码为1的概率为4=《尸（1—万丫+（1—月y=3分（1—万丫+（1—月），

采用单次传输方案译码为1的概率为鸟=1-，，

由题意得片_£=3月（1—尸）2+（1—月）3_（1—尸）=（1_尸）（一2月2+尸）=/?（1-尸）（1_2尸）＞0

而0<，<1,故1—24>0,.•.尸<g,

故0</<；.

22

17.答案：⑴?卜】

篇湍恒成立

⑵存在定点N（3,0）,使得

解析：（1）依题意可得点，，（］

在椭圆上,

44_

方―1

/=6

cA/32

所以e---——，解得/=4,所以椭圆的方程为今+）•

a3,6

2

a=Z?2+。2c?=2

（2）当/垂直于x轴时,设直线/与椭圆相交于A,3两点，如果存在点N满足条件,

则有^=1即gT网'所以点“在“轴上设

当I与x轴重合时,设直线I与椭圆相交于4,3两点,不妨设川-后,0）,3（新,0）

i即国"毋‘解得"0=2或%。=3,

则由凶=也

|N51\MB\

所以若存在不同于点M的定点N满足条件，则点N的坐标为（3,0）；

下面证明：对任意的直线/,均有凶=3=1,

\NB\\MB\

当/不平行于x轴且不垂直于x轴时,设直线/方程为y=左(1-2),8用,%),现々,%),

y=左(》-2)

联立%2y2，消去又得(3左2+2)/—12左2%+12左2—12=0,

因为直线/恒过椭圆内定点〃(2,0)，故A＞0恒成立,

nk-1242一12

所以西+々

3r+2'―3k2+2

ii%+%2—6

所以

%1-3x2-3(xj-3)(X2-3)x1x2-3(Xj+X2)+9

易知点3关于x轴的对称点9的坐标为(%,-%)，

Mi)=k+k一k(%2-2)

又L%

Xj—3Xj—3玉一3玉一3

%

所以左防=4NB，，则N,A,B'三点共线，所以

-

\NB|W|%

综上：存在与点〃不同的定点N(3,0),使―/=•渭恒成立.

(2)证明见解析

xex,x>0

解析：⑴令1(x)=e[x|=<0,x=0

-xex,x<0

当尤＞0时/'(%)=(x+1)e、＞0,所以〃尤)在(0,+8)上单调递增,

当*<0时/'(x)=—(%+1)/>0,所以一1<%<0时/'(力<0,

尤<—1时/'(x)>0,

所以/(%)在(-1,0)上单调递减，在(-00,-1)上单调递增，

又/'(-1)=2，当天<0时/(%)>0,且工->7时/(尤)30,

e

当Xf转时/(%)f+8,

则“外的图象如下所示:

因为关于x的方程e'W=〃z(meR)有三个根，即y=/(%)与y=加有三个交点,

由图可知0<根<，，即实数机的取值范围为

(2)由(1)可知石<-1<%<0<%3，X/(O)=O,y(l)=e>-,

2e

且“X)在(0,转)上单调递增,所以玉'oG(0,1),使得〃X。)='

e

所以毛e(O,xo),

由e"】(一%)=e"3"3=私所以=-五，即%3―玉=ln

x1

令％=一一，贝！1%£—,+00,

%3I%0>

匚匚i、iIn%I

所以忍=