安徽省合肥市庐江县2022-2023学年高二下学期期末教学质量抽测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省合肥市庐江县2022-2023学年高二下学期期末教学质量抽测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的〖答案〗涂在答题卡上）1.设集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗,选B.2.复数(i为虚数单位)在复平面内对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由题意，复数，可得复数对应点为，即复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.3.算盘是我国一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位､十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．基本事件为：，5500共14种，事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050，则，所以．故选：A．4.是定义在R上的奇函数且单调递减，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数是定义在上的奇函数且单调递减，又由得，所以，即为，故〖答案〗选B.5.随机变量，且，则（）A.64 B.128 C.256 D.32〖答案〗A〖解析〗随机变量服从二项分布，且，所以，则，因此.故选A.6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（）A. B. C.9 D.6〖答案〗D〖解析〗如图，设E、F在底面的投影分别为，过分别作交正方形对应边于I、J、K、L，易知该刍甍被分割为四棱锥E-ADJI和F-BCLK，及三棱柱EIJ-FKL，设，则，故则该刍瞢的体积为：．故选：D．7.如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，则从正方形开始，连续15个正方形的面积之和等于（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，第个正方形的面积为，设第个正方形的边长为，则第个正方形的对角线长为，所以第个正方形的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列，，则，当时，，又，数列是首项为，公比为的等比数列，连续15个正方形的面积之和等于故选：B8.下列说法中正确的是（）①设随机变量服从二项分布，则②已知随机变量服从正态分布且，则③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；④；.A.①②③ B.②③④ C.②③ D.①②〖答案〗A〖解析〗对于①：随机变量服从二项分布，则，故①正确；对于②：随机变量服从正态分布且，则，故②正确；对于③：事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，，所以，故③正确；对于④：，，故④错误．故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确的〖答案〗涂在答题卡上）9.下列说法中正确的是（）A.分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的B.正态分布在区间和上取值的概率相等C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D.若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2〖答案〗BD〖解析〗对于A，根据抽样的意义，对每个个体都是公平的．A错误；对于B，正态分布的曲线关于对称，区间和与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，B正确；对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于，C错误；对于D，一组数据的平均数是，则，所以该组数据的众数和中位数均为，D正确．故选：BD10.若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项〖答案〗CD〖解析〗由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.故选：CD11.已知随机变量，若使的值最大，则k等于（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗BC〖解析〗令，得，即当时，；当时，；当时，，所以和的值最大.故选：BC.12.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.函数在区间内单调递增B.当时，函数取得极小值C.函数在区间内单调递增D.当时，函数有极小值〖答案〗BC〖解析〗对于A，函数在区间内有增有减，故A不正确；对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；对于C，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，当时，，故D不正确.故选：BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.设向量，若，则______________.〖答案〗5〖解析〗由可得，又因为，所以，即，故〖答案〗为：5.14.已知，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗由，可得则，即，解得．故〖答案〗为：.15.某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：，其中）〖答案〗有〖解析〗依题意，可得出如下列联表：国内代表国外代表合计不乐观乐观合计，所以有以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.故〖答案〗为：有.16.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)〖答案〗0.087〖解析〗因为，所以，因为，所以，所以由全概率公式可得，因为所以．故〖答案〗为：．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设__________，求数列的前项和为．①，②，③．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．解：（1）设数列的公差为，数列的首项为，由题知，，因为，解得，所以，又，即，解得，所以．所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．（2）选条件①：，则，故，两式相减得，．选条件②：，，．选条件③：，．18.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，面积为2，求．解：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴．19.四棱锥中，底面是矩形，平面．以的中点为球心为直径的球面交于点，交于点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；解：（1）证法一：依题设知，是所作球面的直径，则.又因为平面，平面，则，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，则，由，，平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面；证法二：因为平面，所以，又以的中点为球心为直径的球面交于点，所以，故为的中点，建立空间直角坐标系如图，则．，设平面的法向量为，则即取，则，平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，即取，则，所以平面的一个法向量为．即平面平面．（2）设平面的一个法向量，又，，由，可得：，令，则，设所求角为，则，故所求角的正弦值为．20.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解：（1）因为，，，，，因此相关系数，所以可用线性回归模型拟合与的关系.（2）由（1）知，，，因此，当时，，所以预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．21.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．解：（1）设直线，，，．∴由得，∴，．∴直线的斜率，即．即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（2）四边形能为平行四边形．∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．∴由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且